专题三 平行线的性质与判定 素养培优训练-2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

专题三　平行线的性质与判定 　　 平行线的性质与判定是学习几何证明的初步，培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力、图感意识，提高学生分析问题、解决问题的能力.本专题包括平行线的性质，平行线的判定及性质与判定的综合，意在厘清证明逻辑，是后续几何证明应有的思维基础. 类型一　平行线的性质 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝2∠ABC，∠C＝∠ABC. （1）求∠ADB的大小； 解：（1）因为AD∥BC， 所以∠A＋∠ABC＝180°. 因为∠A＝2∠ABC， 所以∠A＝120°，∠ABC＝60°. 因为BD平分∠ABC， 所以∠ABD＝∠DBC＝30°. 因为AD∥BC， 所以∠ADB＝∠DBC＝30°. （2）线段BD与DC有怎样的位置关系？为什么？ 解：（2）BD⊥DC，理由如下： 因为∠C＝∠ABC＝60°，∠DBC＝30°， 所以∠BDC＝180°－30°－60°＝90°， 所以BD⊥DC. 2.已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系. （1）如图1，AB∥CD，BE∥DF，则∠1与∠2的关系是　相等　； （2）如图2，AB∥CD，BE∥DF，则∠1与∠2的关系是　互补　； （3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角　相等或互补　； （4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？ 解：（4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x－60°， 当x＝3x－60°时，x＝30°，则这两个角的度数分别为30°，30°； 当x＋3x－60°＝180°时，x＝60°，则这两个角的度数分别为60°，120°. 类型二　平行线的判定 3.如图，AB⊥BC，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3，求证：BE∥DF. 证明：因为AB⊥BC， 所以∠3＋∠4＝90°. 又因为∠1＋∠2＝90° ，∠2＝∠3， 所以∠4＝∠1，所以BE∥DF. 4.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E.求证：AD∥BE. 证明：方法一：如图，因为∠1＝∠2，∠3＝∠E， 所以∠1＋∠3＝∠2＋∠E. 因为∠2＋∠E＝∠5， 所以∠1＋∠3＝∠5， 所以∠ADC＝∠5， 所以AD∥BE. 方法二：因为∠1＝∠2， 所以BD∥EC， 所以∠4＝∠E. 因为∠3＝∠E， 所以∠3＝∠4， 所以AD∥BE. 5.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为点F. （1）CD与EF平行吗？为什么？ 解：（1）CD∥EF，理由：因为CD⊥AB，EF⊥AB， 所以∠EFB＝∠CDB＝90°，所以CD∥EF. （2）如果∠1＝∠2，且∠3＝120°，求∠ACB的度数. 解：（2）因为CD∥EF，所以∠2＝∠DCB. 因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠DCB， 所以DG∥BC，所以∠ACB＝∠3. 因为∠3＝120°，所以∠ACB＝120°. 6.如图，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE. （1）若∠2∶∠3＝2∶5，求∠AOF的度数； 解：（1）因为∠2∶∠3＝2∶5，∠2＝∠DOE，所以∠DOE∶∠3＝4∶5. 因为∠DOE＋∠3＝180°，所以∠DOE＝180°×＝80°，∠3＝180°×＝100°，所以∠COE＝∠3＝100°. 因为OA平分∠COE，所以∠AOC＝∠AOE＝∠COE＝50°，所以∠AOF＝180°－∠AOE＝130°，即∠AOF的度数为130°. （2）在（1）的条件下，若∠1＝50°，AB∥CD吗？请说明理由. 解：（2）平行. 理由：由（1）可知∠AOC＝∠AOE＝50°. 因为∠1＝50°，所以∠AOC＝∠1，所以AB∥CD. 类型三　平行线的性质与判定综合 7.如图，已知∠1＝∠BDC，∠1＝70°，∠2＋∠3＝180°，若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，求∠FAB的度数. 解：因为∠1＝∠BDC，∠1＝70°，所以AB∥CD，∠BDC＝∠1＝70°， 所以∠2＝∠ADC. 因为∠2＋∠3＝180°，所以∠ADC＋∠3＝180°，所以AD∥EC，所以∠FAD＝∠AEC. 因为CE⊥AE，所以∠AEC＝90°，∠FAD＝90°. 因为DA平分∠BDC， 所以∠ADC＝∠BDC＝35°，所以∠2＝35°，所以∠FAB＝∠FAD－∠2＝90°－35°＝55°. 8.如图，点D，E，F分别在△ABC的三条边上，且DE∥AB，∠1＝∠2. （1）求证：DF∥AC； 解：证明：因为DE∥AB，所以∠A＝∠2. 因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠A，所以DF∥AC. （2）若∠B＝40°，DF平分∠BDE，求∠C的度数. 解：因为DE∥AB，所以∠FDE＝∠1. 因为DF平分∠BDE，所以∠FDB＝∠FDE， 所以∠1＝∠FDB，所以∠FDB＝（180°－∠B）＝×（180°－40°）＝70°. 因为DF∥AC，所以∠C＝∠FDB＝70°. 9.【探究】（1）如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE，CE，试说明：∠BAE＋∠DCE＝∠AEC.请完成下面的解题过程. 解：如图1，过点E作EF∥AB， ∴∠1＝∠　BAE　（　　两直线平行，内错角相等　　）. ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴CD∥EF（　　平行于同一条直线　　）， ∴∠2＝∠　ECD　， ∴∠BAE＋∠DCE＝∠1＋∠2， ∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC. 【应用】（2）如图2，AB∥CD，点F在AB，CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N.若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，求∠DNG的度数； 解：由（1）中探究可知，∠MFN＝∠AMF＋∠CNF， 因为∠AMF＝∠EMB＝55°，且∠MFN＝115°， 所以∠CNF＝115°－55°＝60°， 所以∠DNG＝∠CNF＝60°. 【拓展】（3）如图3，直线CD在直线AB，FE之间，且AB∥CD∥EF，点G，H分别在AB，FE上，Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连接QG，QH.若∠GQH＝70°，直接写出∠AGQ＋∠EHQ的度数. 解：如图1，当∠AGQ为钝角时， 由（1）中结论可知，∠GQH＝∠BGQ＋∠FHQ＝70°， 所以∠AGQ＋∠EHQ＝360°－（∠BGQ＋∠FHQ）＝290°； 当∠AGQ为锐角时，如图2， 由（1）中结论可知，∠GQH＝∠AGQ＋∠EHQ， 即∠AGQ＋∠EHQ＝70专题三　平行线的性质与判定 1.解：（1）因为AD∥BC， 所以∠A＋∠ABC＝180°. 因为∠A＝2∠ABC， 所以∠A＝120°，∠ABC＝60°. 因为BD平分∠ABC， 所以∠ABD＝∠DBC＝30°. 因为AD∥BC， 所以∠ADB＝∠DBC＝30°. （2）BD⊥DC，理由如下： 因为∠C＝∠ABC＝60°，∠DBC＝30°， 所以∠BDC＝180°－30°－60°＝90°， 所以BD⊥DC. 2.解：（1）相等　（2）互补　（3）相等或互补 （4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x－60°， 当x＝3x－60°时，x＝30°，则这两个角的度数分别为30°，30°； 当x＋3x－60°＝180°时，x＝60°，则这两个角的度数分别为60°，120°. 3.证明：因为AB⊥BC， 所以∠3＋∠4＝90°. 又因为∠1＋∠2＝90° ，∠2＝∠3， 所以∠4＝∠1，所以BE∥DF. 4.证明：方法一：如图，因为∠1＝∠2，∠3＝∠E， 所以∠1＋∠3＝∠2＋∠E. 因为∠2＋∠E＝∠5， 所以∠1＋∠3＝∠5， 所以∠ADC＝∠5， 所以AD∥BE. 方法二：因为∠1＝∠2， 所以BD∥EC， 所以∠4＝∠E. 因为∠3＝∠E， 所以∠3＝∠4， 所以AD∥BE. 5.解：（1）CD∥EF，理由：因为CD⊥AB，EF⊥AB， 所以∠EFB＝∠CDB＝90°，所以CD∥EF. （2）因为CD∥EF，所以∠2＝∠DCB. 因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠DCB， 所以DG∥BC，所以∠ACB＝∠3. 因为∠3＝120°，所以∠ACB＝120°. 6.解：（1）因为∠2∶∠3＝2∶5，∠2＝∠DOE， 所以∠DOE∶∠3＝4∶5. 因为∠DOE＋∠3＝180°， 所以∠DOE＝180°×＝80°，∠3＝180°×＝100°， 所以∠COE＝∠3＝100°. 因为OA平分∠COE， 所以∠AOC＝∠AOE＝∠COE＝50°， 所以∠AOF＝180°－∠AOE＝130°， 即∠AOF的度数为130°. （2）平行. 理由：由（1）可知∠AOC＝∠AOE＝50°. 因为∠1＝50°， 所以∠AOC＝∠1， 所以AB∥CD. 7.解：因为∠1＝∠BDC，∠1＝70°， 所以AB∥CD，∠BDC＝∠1＝70°， 所以∠2＝∠ADC. 因为∠2＋∠3＝180°， 所以∠ADC＋∠3＝180°， 所以AD∥EC， 所以∠FAD＝∠AEC. 因为CE⊥AE， 所以∠AEC＝90°，∠FAD＝90°. 因为DA平分∠BDC， 所以∠ADC＝∠BDC＝35°， 所以∠2＝35°， 所以∠FAB＝∠FAD－∠2＝90°－35°＝55°. 8.（1）证明：因为DE∥AB， 所以∠A＝∠2. 因为∠1＝∠2， 所以∠1＝∠A， 所以DF∥AC. （2）解：因为DE∥AB， 所以∠FDE＝∠1. 因为DF平分∠BDE， 所以∠FDB＝∠FDE， 所以∠1＝∠FDB， 所以∠FDB＝（180°－∠B）＝×（180°－40°）＝70°. 因为DF∥AC， 所以∠C＝∠FDB＝70°. 9.解：（1）BAE　两直线平行，内错角相等　平行于同一条直线 （2）由（1）中探究可知，∠MFN＝∠AMF＋∠CNF， 因为∠AMF＝∠EMB＝55°，且∠MFN＝115°， 所以∠CNF＝115°－55°＝60°， 所以∠DNG＝∠CNF＝60°. （3）如图1，当∠AGQ为钝角时， 由（1）中结论可知，∠GQH＝∠BGQ＋∠FHQ＝70°， 所以∠AGQ＋∠EHQ＝360°－（∠BGQ＋∠FHQ）＝290°； 当∠AGQ为锐角时，如图2， 由（1）中结论可知，∠GQH＝∠AGQ＋∠EHQ， 即∠AGQ＋∠EHQ＝70°. 综上，∠AGQ＋∠EHQ＝70°或290°. °. 综上，∠A 学科网（北京）股份有限公司 $$