精品解析：河北省邯郸市部分学校2024-2025学年高三上学期12月高考模拟数学试题

绝密★启用前 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 某班为了解学生在学习之余的自由活动开展情况，统计了甲､乙两名同学的近十周每周的自由活动时长（单位：），得到下表： 周数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 12 16 31 8 20 22 7 14 12 20 乙 14 20 5 17 11 26 9 30 18 23 则下面说法正确的是（ ） A. 甲同学的每周自由活动时间平均值等于该同学每周自由活动时间中位数 B. 乙同学的每周自由活动时间平均值等于该同学每周自由活动时间中位数 C. 甲同学的每周自由活动时间平均值高于乙同学的每周自由活动时间平均值 D. 甲同学的每周自由活动时间中位数低于乙同学的每周自由活动时间中位数 4. 已知矩形中，为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知圆，，动圆与圆相内切，与圆相外切，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台的侧面积为，上､下底面的面积比为，高为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若有两个解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 二､多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数满足，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下面说法正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上有两个极值点 10. 已知抛物线第一象限上的点，过点的直线与抛物线交于两点，则下面说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，直线与抛物线的另一个交点为，则 C. 若，则 D. 11. 已知函数和的定义域均为，函数，若均为奇函数，则下面说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，则___________. 13. 已知，则___________. 14. 一名小朋友在玩游戏，游戏规则如下：该小朋友在原地，他每次活动可以向前或向后走一步或走两步，且每一步步幅大小相同.若这名小朋友经过5次活动后，停在了原点向前两步的地方，则小朋友不同的活动方式共有______种. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正四棱柱中，. （1）证明：平面平面； （2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值. 16. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若有两个不同的解，求的值. 17. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求的周长； （3）若角的平分线交于点，且，求的值. 18. 已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. （1）求双曲线的离心率； （2）过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 19. 记为有穷数列的前项和，若满足下列两个条件则称为阶“期待数列”：①；②.形如的数表表示2行列的矩阵，设是由阶“期待数列”中的项任意排列组成的2行列的矩阵，记为阶“期待数列”组成的所有2行列的矩阵的集合.设为的第行各数之和为的第列各数之和，记为，中的最小值. （1）若等差数列是递增的2023阶“期待数列”，且，求； （2）对所有的矩阵，求的最大值； （3）给定，对所有的矩阵，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对复数化简，然后求出其共轭复数，从而可求出的虚部. 【详解】因为， 所以， 所以的共轭复数的虚部为. 故选：D 2. 已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，是的子集，利用子集思想求解即可. 【详解】是的必要不充分条件，则是的子集， 又因为，或，所以. 故选：C. 3. 某班为了解学生在学习之余的自由活动开展情况，统计了甲､乙两名同学的近十周每周的自由活动时长（单位：），得到下表： 周数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 12 16 31 8 20 22 7 14 12 20 乙 14 20 5 17 11 26 9 30 18 23 则下面说法正确的是（ ） A. 甲同学的每周自由活动时间平均值等于该同学每周自由活动时间中位数 B. 乙同学的每周自由活动时间平均值等于该同学每周自由活动时间中位数 C. 甲同学的每周自由活动时间平均值高于乙同学的每周自由活动时间平均值 D. 甲同学的每周自由活动时间中位数低于乙同学的每周自由活动时间中位数 【答案】D 【解析】 【分析】求出甲乙同学的每周自由活动时间平均值以及甲乙同学的每周自由活动时间中位数，从而可得答案. 【详解】甲同学的每周自由活动时间平均值为： ， 乙同学的每周自由活动时间平均值为： ， 甲同学每周自由活动时间从小到大排序，中位数为， 乙同学每周自由活动时间从小到大排序，中位数为， 所以，所以ABC错误，D正确. 故选：D. 4. 已知矩形中，为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由再结合数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故选：C. 5. 已知圆，，动圆与圆相内切，与圆相外切，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合圆与圆的位置关系与椭圆定义可得结果. 【详解】设圆的半径为，根据题意得：，， 所以， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 设其方程为，其中，， ，，则， 所以点的轨迹方程为， 故选：B 6. 已知圆台的侧面积为，上､下底面的面积比为，高为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由底面面积比可得半径比，利用侧面积公式及母线、高、上下底面半径之差的关系求解半径与母线长，再由体积公式得解. 【详解】根据题意，上､下底面的面积比为，可得上､下底面的半径比为， 设该圆台上底面的半径为，下底面的半径为，母线长为， 因为圆台的侧面积为，所以，即， 又，求解可得， 所以该圆台的体积， 故选：B. 7. 已知函数，若有两个解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件将问题转化成与直线有两个交点，利用导数求出函数的单调区间及基本函数的图象，作出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】根据题意，有两个解等价于函数的图象与直线有两个交点，也即函数的图象与直线有两个交点， 其中函数， 当时，，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 又，，所以图象如图所示， 由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则， 故选：B. 8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，假设两曲线上线的切点，从而得到两曲线的切线，由共切线建立关于的方程组，求得，进而得到切线方程，从而得解. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导数为，的导数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，可得，解得， 所以切线方程为，即， 则. 故选：C. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为， 二､多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数满足，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下面说法正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. 函数在上单调递减 D. 函数在上有两个极值点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数对称性结合得判断A，先利用变换法则求出，进而利用奇函数定义判断B，根据正弦函数性质判断单调性判断C，结合极值点的概念利用余弦函数性质判断D. 【详解】根据题意，函数关于直线轴对称，所以， 所以，即， 又因为，可得，故A正确； 函数，显然，故B错误； 当时，，所以函数在上单调递增，故C错误； 因为函数，令，则， 根据余弦函数图象可知，D正确. 故选：AD. 10. 已知抛物线第一象限上的点，过点的直线与抛物线交于两点，则下面说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，直线与抛物线的另一个交点为，则 C. 若，则 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据焦半径公式计算得出判断A，联立方程组再结合韦达定理得出焦点弦计算判断B，应用焦半径性质计算判断C，应用焦点弦计算判断D. 【详解】根据题意，因为，所以，解得，故选项A正确； 当时，，，点的坐标为，所以直线的方程为， 联立整理得，所以，， 所以点的坐标为，所以两点间距离公式得，故选项B正确； 设，所以，解得， 所以，故选项C错误； 对于抛物线，所以，又，所以， 当为通径时取等号，故选项D错误， 故选：AB. 11. 已知函数和的定义域均为，函数，若均为奇函数，则下面说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为奇函数可判断AB；由为奇函数可判断C；由为奇函数和为奇函数可得出为周期函数即可判断D. 【详解】对于，因为为奇函数，所以，即，所以的图象关于点中心对称，则，故A正确； 对于，因为为奇函数，所以，所以的图象关于点对称，，即，即， 所以，所以的图象关于直线对称，但是不能确定的值，故B不正确； 结合的图象关于点对称，所以，周期， 所以，故D正确； 由，所以，所以，即， 令0，则，所以的图象关于直线对称，又的图象关于点对称， 所以的图象关于直线对称，所以，故C正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，则___________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式及等差数列性质求得答案. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故答案为：15 13. 已知，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式，以及二倍角的余数公式，化简等式，再利用两角和的正切公式，以及同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】根据题意，，即， 即，即，所以， 所以， 因为，所以，， 又，所以， 则. 故答案为： 14. 一名小朋友在玩游戏，游戏规则如下：该小朋友在原地，他每次活动可以向前或向后走一步或走两步，且每一步步幅大小相同.若这名小朋友经过5次活动后，停在了原点向前两步的地方，则小朋友不同的活动方式共有______种. 【答案】105 【解析】 【分析】根据小朋友向后走和向前走的次数和步数共4种情况分类讨论，然后利用组合数求解即可. 【详解】根据题意，分4种情况讨论： ①，小朋友向后走一次2步，向前走4次，每次1步，有5种活动方式； ②，小朋友向后走2次，每次2步，向前走3次，每次2步，有种活动方式； ③，小朋友向后走2次，一次2步，一次1步，向前走3次，2次2步，1次1步，有种活动方式； ④，小朋友向后走2次，每次1步，向前走3次，1次2步，2次1步，有种活动方式， 则一共有种不同的活动方式. 故答案为：105 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正四棱柱中，. （1）证明：平面平面； （2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 因为，所以四边形和四边形都是正方形，可得， 又因为平面，平面，所以， 又，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得，由平面得，再利用线面垂直的判定定理得平面，进而根据面面垂直的判定定理证得平面平面； （2）根据空间中的垂直关系，证明或其补角就是平面与平面所成的角，利用余弦定理求即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点，连接，设与的交点为与的交点为，连接，取的中点，连接. 由（1）可知，平面，又平面，所以， 又平面，所以， 又平面，平面，平面平面， 所以或其补角就是平面与平面所成的角. 在直角三角形中，， 因为分别为的中点，所以是线段的四等分点，且， 所以， 因为，所以，又平面，所以平面， 又平面，所以， 所以在直角三角形中，， 在中，由余弦定理得： ， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 16. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）若有两个不同的解，求的值. 【答案】（1）极大值，极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，分析函数的单调性可得函数的极值； （2）根据是方程的两个不同的解，由韦达定理求出，将转化成与的关系代入求解即可. 【小问1详解】 ， 由，即，解得或， 由，即，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极大值，在处取得极小值 【小问2详解】 为方程的两个解， 即为的两个解， 则，可得， 由根与系数的关系可得， 所以 . 17. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求的周长； （3）若角的平分线交于点，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边，再由余弦定理得解； （2）由面积公式及（1）求出即可得解； （3）由角平分线，考虑，利用面积公式得出关系式，再由（1）中条件联立求解即可. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 结合题设，所以，即，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 根据（1）可知，可得，又，所以， 所以的周长为. 【小问3详解】 因为，所以，所以， 因为为内角的平分线，所以， 即， 可得，所以， 又由（1）中，可得，解得， 故，则. 18. 已知点分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线于两点，当直线的斜率不存在时，. （1）求双曲线的离心率； （2）过双曲线的右焦点向该双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，若的面积为，求该双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，若点分别为双曲线的左､右顶点，直线与直线相交于点，证明：点在一条定直线上. 【答案】（1） （2） （3） 证明：由（2）可知，，设， 则直线，直线， 联立 两式相除可得，所以， 当直线的斜率为0时，不满足题意，所以设直线， 则， 代入可得， 联立整理得，所以 所以， 则 ，注意到， 所以，解得， 所以点在直线上. 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得离心率； （2）由（1）可设，然后由题可得，据此可得答案； （3）设，将直线，直线联立，可得，然后将直线方程和双曲线方程联立，由韦达定理可得，结合，可得，解方程可完成证明. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，点，所以， 所以，即，所以，即， 所以，即，解得（舍去. 【小问2详解】 由（1）可得，，所以可设，计算可得，点， 该双曲线的一条渐近线的方程为，即， 利用点到直线的距离公式可得， 又，所以，可得，所以 因此，可得该双曲线的方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线问题，通常可设点，而不是设点所在的直线.对于表达式中出现非对称式，常利用韦达定理去找到两根之和与两根之积之间的联系，从而化简相关表达式. 19. 记为有穷数列的前项和，若满足下列两个条件则称为阶“期待数列”：①；②.形如的数表表示2行列的矩阵，设是由阶“期待数列”中的项任意排列组成的2行列的矩阵，记为阶“期待数列”组成的所有2行列的矩阵的集合.设为的第行各数之和为的第列各数之和，记为，中的最小值. （1）若等差数列是递增的2023阶“期待数列”，且，求； （2）对所有的矩阵，求的最大值； （3）给定，对所有的矩阵，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列求和公式可得，，即可根据求解公差，进而可求解， （2）根据，， 可得 即可结合绝对值的性质求解. （3）根据，相加可得求解.. 【小问1详解】 设等差数列的公差，由题意可得，即， 所以，即，所以，又，由可得， 所以，解得， 由可得. 【小问2详解】 设且， 若任意改变矩阵的行的次序或列的次序，或把中的每一个数都换成其相反数，得到新矩阵，则， 不妨设， 由定义可知，， 所以 ， 当且仅当时取等号，则的最大值为. 【小问3详解】 设， ， 由（2）不妨设， 由定义可知，， 相加可得 . 当且仅当，且时取等号，所以，的最大值为. 【点睛】. 方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解,对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $