第7章 锐角三角函数（单元测试·培优卷）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第7章 锐角三角函数（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列三角函数值是有理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）下列式子中不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东中山·模拟预测）如图，在中，，点D是边上一点，将沿翻折后，点A的对应点E恰好落在上，若点E为的中点，则（   ） A． B．1 C． D． 4．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（） A． B． C． D． 5．（2023·重庆渝中·三模）如图，是的直径，延长至切于点，过点作交于点，连接．若，则的长为(    )    A．3 B． C． D． 6．（2025九年级下·全国·专题练习）若，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 7．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 8．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，直线分别与x轴、y轴交于点B，A，直线分别与x轴、y轴交于点C，A，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）如图，矩形中，，点E在上，且，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作以为直角的，使得，连接，当最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（辽宁省名校联盟2024-2025学年九年级上学期12月份联合考试数学试卷）计算： ． 12．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）在中，若，为锐角，且，的形状是 三角形． 13．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象与轴有两个交点M、N，顶点为R，若恰好是等边三角形，则 ． 14．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是 ． 15．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，是边的中点．点，分别是边，，上一点，且，连接，则的值为 ． 16．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知角α，β为锐角，，,则 17．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 18．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，四边形内接于，，， ，则的半径长为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，于点，，求的值． 21．（本小题满分10分）（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，是的弦，C是延长线上一点，过点B作交于E，交于F，． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求的长． 22．（本小题满分10分）（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·浙江湖州·期末）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．在“综合与实践”活动中，瑶瑶计划借助无人机测量月亮酒店大楼的高度，她设计了如下测量方案： 如图，瑶瑶站在离月亮酒店大楼水平距离为40米的广场高地处，处高出湖面的距离米，无人机旋停在点正上方的点处，测得月亮酒店大楼的顶部处的俯角的正切值是，此时无人机离湖面的高度为120米，已知瑶瑶的目高（眼睛到地面的距离）米． (1)求月亮酒店大楼的高度． (2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过12秒时，无人机是否离开瑶瑶的视线？请说明理由． 24．（本小题满分12分）（24-25九年级上·全国·期末）【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．）    【得出结论】 ． 【基础应用】 在中，，，，利用以上结论求的长； 【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）． 请利用图1证明：． 【拓展应用】 如图2，四边形中，，，，． 求过A，B，D三点的圆的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D D C A B D B 1．B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，有理数．熟练掌握特殊角的三角函数值，有理数是解题的关键．分别求出各选项中特殊角的三角函数值，然后进行判断即可． 【详解】解：由题意知，A、中，是无理数，故不符合要求； B、中，是有理数，故符合要求； C、中，是无理数，故不符合要求； D、中，是无理数，故不符合要求； 故选：B． 2．D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案． 【详解】解：A．，，原式成立，故此选项不合题意； B．，，原式成立，故此选项不合题意； C．，故原式成立，故此选项不合题意； D．，，原式不成立，故此选项符合题意； 故选：D． 3．D 【分析】根据题意得到，，然后证明出，求出，进而求解即可． 【详解】∵，将沿翻折后，点A的对应点E恰好落在上， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数，折叠的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是求出． 4．D 【分析】本题考查了根的判别式以及特殊锐角的三角函数值，熟练掌握当时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角的度数，继而得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， 锐角等于， 则锐角的余角等于， 故选：D． 5．D 【分析】连接，利用平行线的性质和圆周角定理得到，利用切线的性质定理得到，在中，利用直角三角形的边角关系定理求得，则． 【详解】解：连接，如图，   ， ， ． 切于点， ． ，是的直径， ， 在中， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 6．C 【分析】本题考查实数的综合运算能力，先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 在中，，且， ∴是直角三角形． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 先根据锐角三角函数值求出，再由勾股定理求出，过点作于点，根据锐角三角函数值得到，，由即可求出，进而根据勾股定理可求出，即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴ ， ， 过点作于点，如图， ∴， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形的应用；设中午和下午某时刻光线与地板的交点分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，设中午和下午某时刻光线与地板的交点分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，则， ∵， ∴， 根据对称性可得， ∴ 故选：B． 9．D 【分析】令，则，于是可求得直线、与轴的交点，进而可求得的长，令，则，解方程即可求出直线与轴的交点，进而可求得的长，令，则，解方程即可求出直线与轴的交点，进而可求得与的长，然后利用勾股定理可求得与的长，进而可求得，过点作于点，由三角形的面积公式可得，即，据此可求得的长，然后利用勾股定理可求得的长，进而可求得，据此即可判断选项；又可求得，，据此即可判断选项；又可求得，，据此即可判断选项；又可求得，，据此即可判断选项；综上，于是可得答案． 【详解】解：令，则， ， ， 令，则， 解得：， ， ， 令，则， 解得：， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点， ， ， ， ， ，故选项不符合题意； ， ， ，故选项不符合题意； ，     ， ，故选项不符合题意； ，     ， ，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数的函数值，解一元一次方程，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差，勾股定理，求角的正弦值，三角形的面积公式，等式的性质，求角的余弦值，求角的正切值等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 10．B 【分析】由题可知点四点共圆，点在直线上运动，当时，最小，此时，设，则，设，则，过作交于点，由，得到，则（舍）或，即可求． 【详解】解：∵， ∴点四点共圆， ∴，， ∴点在直线上运动， 当时，最小，此时， ∵， 设，则， ∴， 过作交于点， 则， ∴， 设，则，， ∵， ， ∴（舍）或， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，四点共圆，勾股定理，直角三角形的性质，含30度角的直角三角形等知识点，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识． 11． 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角的正弦与余弦的关系，根据特殊角的三角函数值，同角的正弦与余弦的关系进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 12．等边 【分析】本题主要考查了非负数的性质，三角形内角和定理，根据特殊角三角函数值求角的度数，先根据非负数的性质得到，则，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ，， ， 的形状是等边三角形， 故答案为：等边． 13． 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，不妨假设，如图，作轴于H， 设M、N点坐标分别为，可得，而的长为，由恰好是等边三角形，可得，结合，再进一步解题即可． 【详解】解：不妨假设，如图，作轴于H， 设M、N点坐标分别为， ∴当时， ，， 则， 抛物线顶点坐标为， 则的长为， ∵恰好是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴； 当时，同理可得：， 综上：． 故答案为： 14．/150度 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，解题的关键是证明三角形． 证明，得出，根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查三角函数定义，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．熟练掌握是解题的关键． 作于，于，构造三角形，可得，根据，即得． 【详解】解：作于，于， ， 四边形是矩形， ，， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．/45度 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的外角性质，熟练掌握知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． 构造如图，使得，过点作交延长线于点D，过点B作于，，，则设，则，再由同角三角函数值相等得到，再解直角三角形即可． 【详解】解：构造如图，使得，过点作交延长线于点D，过点B作于， ∵， ∴，， 则设， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接，证明为的直径，，证明，得出，，推出为等腰直角三角形，进而得出，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴为的直径，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂，以及合并同类二次根式，是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数幂，代入特殊三角函数值计算即可； （2）先计算零指数幂，化简二次根式，求绝对值，代入特殊三角函数值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20． 【分析】本题考查了平行四边形是性质，等腰三角形的判定及性质，三角函数，勾股定理等；过作交的延长线于，由平行四边形的性质得 ，，由平行线之间的距离处处相等得，由余弦函数得，由勾股定理得， 由等腰三角形的性质得，由正切函数即可求解； 平行四边形是性质，等腰三角形的判定及性质，三角函数，勾股定理，并能熟练利用勾股定理及三角函数求解是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、解直角三角形． （1）连接，等边腰三角形的性质和三角形外角性质可得，于是，得到，进而，以此即可得到证明； （2）由，得到，代入，即可解得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， 解得． 22．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由三角形全等的性质得到，，再进一步得到，得出，再由即可求解； （2）先证明，得到，再由，即可求解； （3）根据，设，，得到，再得到，由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，， ，， ∵，， ， ∴， 在中，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中， ， 又∵， ， ∴； （3）解：，设，， ， ， ∵ ∴， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 23．(1)100米 (2)无人机还未离开瑶瑶的视线 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． （1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，米，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解； （2）连接并延长，交于点M，先求出米，米，在中，，进而在中，（米），再求出无人机飞行12秒的路程，与比较即可得出结论． 【详解】（1）解：过点B作于点G， 根据题意可得：，米，，米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴米． 答：月亮酒店大楼的高度为100米． （2）解：连接并延长，交于点M， ∵米，米，米，米， ∴（米）， （米）， ∵米， ∴在中，， ∴在中，（米）， ∵无人机以4米/秒的速度飞行， ∴飞行12秒时，飞行了（米） ∵， ∴无人机还未离开瑶瑶的视线． 24．教材呈现：见解析；基础应用：；推广证明：见解析；拓展应用： 【分析】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数．添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 教材呈现：分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 基础应用：利用三角形内角和定理求得，利用公式，代入数据求解即可； 推广证明：作直径，连接，利用圆周角定理求得，，推出，即，同理，，据此即可证明结论成立； 拓展应用：连接，作于点，证得四边形是矩形，利用勾股定理求得和，证明，利用三角函数的定义求得，再根据，据此即可求解． 【详解】解：教材呈现：如图，分别作，垂足分别为，   在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 基础应用：∵中，，， ∴， 由题意得， ∴， 解得； 推广证明：作直径，连接，    ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴； 拓展应用：连接，作于点，     ∵， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$