精品解析：重庆市暨华中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年重庆市渝北区暨华中学高一（上） 期中数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由A与B，找出两集合的交集即可. 【详解】，，， 故选：C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式可得正确答案. 【详解】命题“，”的否定就是把任意改为存在且大于零改为小于等于零， 故其否定为：，， 故选：A. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案. 【详解】由可得或，不一定是； 当时，必有成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：D 4. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入点坐标求出解析式再代入值. 【详解】设幂函数，由于图象经过点，所以，即， 所以，则. 故选：D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 6. 下列命题中正确的有（ ）个 ①的最小值是2 ②当时，的最小值是3 ③当时，的最大值是5 ④若正数x，y满足，则的最小值为3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及对勾函数单调性检验各选项即可判断. 【详解】令，， 故，而在上单调递增， 故，即，①错误； 时，， 当且仅当，即时取等号，②正确； 当时，， 当且仅当，即时取等号，③正确； 正数x，y满足，则， 当且仅当时取等号，④正确. 故选：C. 7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的解析式，可得函数为奇函数，排除C选项，在上函数值大于0，排除D选项，再由接近8，排除A，只有B的图象接近函数的图象. 【详解】解：设函数在上，定义域关于原点对称， 又因为， 所以函数为奇函数，排除C选项， 当时，，排除D选项， 当时，，所以A不正确，B正确. 故选：B. 8. 已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数，则不等式等价于，解得的取值范围，即可得答案. 【详解】解:因为函数为偶函数， 所以函数的图象关于对称， 因为对任意， ，都有， 所以函数在上为减函数， 则， 解得：. 即实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可得答案. 【详解】，是偶函数，且在上单调递增 是奇函数，在上单调递减 故选：AC 10. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，若且，取，，则，故A不正确； 对于B选项，若，则，故B正确； 对于C选项，若且，则，则，故，故C不正确； 对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：BD. 11. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数定义域，值域，则满足条件的有个 D. 若函数，且，则实数的值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用分离常数法结合不等式的基本性质可判断A选项；利用抽象函数定义域的求解原则可判断B选项；求出满足条件的集合，结合函数的概念可判断C选项；利用配凑法求出函数的解析式，结合求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则， 此时，， 则，则， 所以，函数的值域为，A对； 对于B选项，对于函数，，则， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则，解得， 所以，函数的定义域为，B对； 对于C选项，由，可得， 所以，函数的定义域可以是：或或， 故满足条件的有个，C对； 对于D选项，由， 当时，，当且仅当时，即当时，等号成立， 当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，，其中或， 由可得，合乎题意，D错. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 13. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减，得得范围，且注意分界处函数值大小，即可得实数的取值范围. 【详解】解：函数在上单调递减， 则可得，解得：，所以实数的取值范围是 故答案为：. 14. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 【答案】 ①. 130. ②. 15. 【解析】 【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值. 【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元, 元时,李明得到的金额为,符合要求. 元时,有恒成立,即,即元. 所以的最大值为. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）结合指数的运算性质即可求解. （2）结合对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知集合，，． （1）求，． （2）若______，求实数m的取值范围． 请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成（2）问的解答． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的运算得出集合，根据集合的交并补运算得出答案； （2）根据各条件分析可得，即可根据集合间的包含关系得出答案. 【小问1详解】 ，， ，， 或， 【小问2详解】 若选①：，则， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上，则， 若选②：， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上，则， 若选③：，则， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上，则， 故实数m的取值范围为：. 17. 已知二次函数（a，且），，若函数的最小值为. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在上的最小值； （3）当时，恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1）； （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴，最值列方程组求解； （2）由对称轴与给定区间的关系分类讨论求得最小值； （3）不等式用分离参数法变形后转化为求新函数的最值． 【小问1详解】 由题意且，解得， ∴； 【小问2详解】 由（1）， 当，即时，， 当时，在上单调递增，， 当即时，在上单调递减，， 综上，． 【小问3详解】 ，恒成立，即，， 易知出函数在上是增函数，当时，取得最小值， 所以． 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求、的值； （2）判断的单调性并证明； （3）若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 函数为上的减函数，理由如下： 任取，，且，则， 所以， ，即， 故函数在上为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合奇函数性质，列式求参数值，即可得答案； （2）将化为，结合指数函数单调性，即可得出结论； （3）结合函数奇偶性以及单调性，将原不等式化简为存在，成立，结合二次函数的最值，即可求得答案. 【小问1详解】 因为函数是定义域为的奇函数，则，解得， 所以，， 因为，， 由奇函数的定义可得，可得，解得， 故，则，下面验证函数为奇函数， 因为函数的定义域为， 则，即函数为奇函数， 因此，满足题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，使， 则，所以，，则， 由题意可得，因此，实数的取值范围是. 19. 函数对任意实数恒有，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1）奇函数 （2） 任取，且，则， ∵当时，，∴， 由得， ∴， ∴， ∴是上的减函数. （3） 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. 【小问1详解】 解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：. 取，则由得， ∴，即， ∴函数是奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由得， 由得， 则， ∴不等式可化为， ∵是上的减函数， ∴，即………①. （i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】方法点睛： 1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年重庆市渝北区暨华中学高一（上） 期中数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充要条件 D. 必要不充分条件 4. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的有（ ）个 ①的最小值是2 ②当时，的最小值是3 ③当时，的最大值是5 ④若正数x，y满足，则的最小值为3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意， ，都有，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 11. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数定义域，值域，则满足条件的有个 D. 若函数，且，则实数的值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域是_________． 13. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________. 14. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 16. 已知集合，，． （1）求，． （2）若______，求实数m的取值范围． 请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成（2）问的解答． 17. 已知二次函数（a，且），，若函数的最小值为. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在上的最小值； （3）当时，恒成立，求k的取值范围. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求、的值； （2）判断的单调性并证明； （3）若存在，使成立，求实数的取值范围. 19. 函数对任意实数恒有，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $