辽宁省沈阳市辽中区2024-2025学年七年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市辽中区七年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）（2024秋•辽中区期末）下列方程是一元一次方程的是（　　） A．2＝0 B．x2﹣1＝2x C．x+2y＝5 D．2x＝1 2．（3分）（2024秋•辽中区期末）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A．调查某班学生的身高情况 B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况 C．调查某批汽车的抗撞击能力 D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量 3．（3分）（2024秋•辽中区期末）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图是从三个不同方向看到的形状图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（3分）（2024秋•辽中区期末）下列说法正确的是（　　） A．角的度量中，1°＝100′，1′＝100″ B．射线AB的长度为3cm C．经过两点可以画并且只能画一条直线 D．延长直线AB 5．（3分）（2024秋•辽中区期末）若3πa2b的次数是关于x的方程mx﹣3＝2x的解，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 6．（3分）（2024秋•辽中区期末）下列结论正确的是（　　） A．﹣3ab2和b2a是同类项 B．a不是单项式 C．a一定比﹣a大 D．x＝3是方程﹣x+1＝4的解 7．（3分）（2024秋•辽中区期末）如果整个地区的观众中青少年、成年人、老年人的人数比为3：4：3，要抽取容量为1000的样本，则成年人抽取（　　）合适． A．300 B．400 C．500 D．1000 8．（3分）（2024秋•辽中区期末）如图，OC是∠AOB的平分线，，∠BOD＝20°，则∠AOB的度数为（　　） A．100° B．60° C．80° D．40° 9．（3分）（2021•宁波模拟）一次秋游活动中，有x辆客车共乘坐y位师生．若每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位．给出下列4个方程：①60x+10＝62x﹣8；②60x﹣10＝62x+8；③；④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 10．（3分）（2024秋•辽中区期末）小明计划和爸爸一起自驾游，图A是这月份的日历，用图B框住5个日期，他们的和是50，图B中x是出行日期，爸爸的车牌尾号是“9”，则出行日期是几号，这天能出行吗？（　　）（注：北京市限行政策：周一到周五限行，周末和节假日不限行，每周一限行尾号为1和6，每周二限行尾号为2和7，每周三限行尾号为3和8，每周四限行尾号为4和9，每周五限行尾号为0和5） A．11，不能 B．11，能 C．10，能 D．10，不能 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）（2024秋•辽中区期末）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为　 　度． 12．（3分）（2024秋•辽中区期末）折扇主要由扇骨和扇面两部分构成．明明家有三把相同的折扇．完全打开后刚好可以拼成一个半径为20cm的圆形，则一把折扇完全打开所对应的扇形的圆心角为 　 　，面积为 　 　．（结果保留π） 13．（3分）（2024秋•辽中区期末）如图，三棱柱的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，用含m的代数式表示三棱柱的棱上小球总数为 　 　． 14．（3分）（2024秋•辽中区期末）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右移动3个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为 　 　． 15．（3分）（2024秋•辽中区期末）如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段长度是另外一条长度的2倍，则称点C是线段AB的“好点”．如图2，已知AB＝16cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设运动的时间为t（s），当t＝ 　 　s时，Q为线段AB的“好点”． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）（2024秋•辽中区期末）计算： （1）3x+3＝x﹣（2x﹣1）； （2）1． 17．（8分）（2024秋•辽中区期末）如图，已知平面上三点A，B，C． （1）请画出图形： ①画直线AC； ②画射线BA； ③画线段BC． （2）在（1）的条件下，图中共有 　 　条射线． （3）从点B到点C的最短路径是 　 　，依据是 　 　． 18．（8分）（2024秋•辽中区期末）我们规定：若关于a的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，且﹣2＝﹣4+2，则2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答以下问题： 已知关于x的一元一次方程﹣2x＝ab+b是“和解方程”，并且它的解是x＝b，求b的值． 19．（9分）（2024秋•辽中区期末）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy． （1）化简2A﹣3B； （2）当，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值； （3）若2A﹣3B的值与y的取值无关，求2A﹣3B的值． 20．（8分）（2024秋•辽中区期末）我们应该积极学习和关注疫情防控的知识，勤洗手，戴口罩，保持清洁及消毒的习惯．某单位计划用2680元购买A，B，C三种不同的口罩共360包，各种口罩的单价如下表． 口罩种类 A B C 价格/（元/包） 7 8 10 若该单位先用一部分资金购买了m包A种口罩，再用剩下的资金购买B，C两种口罩，且这两种口罩购买的数量相同，此时正好剩余40元，求m的值． 21．（8分）（2021•武汉）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“t＜5”，B组“5≤t＜7”，C组“7≤t＜9”，D组“t≥9”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 　 　，C组所在扇形的圆心角的大小是 　 　； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 22．（12分）（2024秋•辽中区期末）已知O是AB上的一点，从O点引出射线OC、OE、OD，其中OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠COD是直角，∠DOE＝15°，求∠AOC的度数． （2）如图2，若∠BOD＝60°，∠AOC＝3∠DOE，求∠AOC的度数． （3）将图1中的∠COD（∠COD仍是直角）绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，设∠AOE＝α，∠DOE＝β，请猜想α与β之间存在什么样的数量关系，并说明理由． 23．（12分）（2024秋•辽中区期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，． 解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10 线段AB的中点表示的数为 当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t ∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）| 当时， ∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5 解得，t＝1或t＝3 ∴当t为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求当t为何值时，； 【综合运用】 （2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合； 【拓展提升】 （3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长． 2024-2025学年辽宁省沈阳市辽中区七年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C A A B C A A 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）（2024秋•辽中区期末）下列方程是一元一次方程的是（　　） A．2＝0 B．x2﹣1＝2x C．x+2y＝5 D．2x＝1 【考点】一元一次方程的定义．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；符号意识． 【分析】根据一元一次方程的定义逐一判断即可． 【解答】解：A．2＝0不是整式方程，此选项方程不是一元一次方程； B．x2﹣1＝2x未知数的最高次数是2，不是一元一次方程； C．x+2y＝5含有2个未知数，不是一元一次方程； D．2x＝1是一元一次方程； 故选：D． 【点评】本题考查的是一元一次方程的定义，即只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 2．（3分）（2024秋•辽中区期末）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A．调查某班学生的身高情况 B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况 C．调查某批汽车的抗撞击能力 D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量 【考点】全面调查与抽样调查．版权所有 【专题】数据的收集与整理；应用意识． 【分析】根据全面调查和抽样调查的适用范围判断各个选项即可． 【解答】解：A、调查某班学生的身高情况，适合使用全面调查，故该选项不符合题意； B、调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况，适合使用全面调查，故该选项不符合题意； C、调查某批汽车的抗撞击能力，适合使用抽样调查，故该选项符合题意； D、调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量，适合使用全面调查，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3．（3分）（2024秋•辽中区期末）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图是从三个不同方向看到的形状图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】由三视图判断几何体．版权所有 【专题】常规题型；投影与视图． 【分析】根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”的原则解答可得． 【解答】解：几何体分布情况如图所示： 则小正方体的个数为2+1+1+1＝5， 故选：B． 【点评】本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 4．（3分）（2024秋•辽中区期末）下列说法正确的是（　　） A．角的度量中，1°＝100′，1′＝100″ B．射线AB的长度为3cm C．经过两点可以画并且只能画一条直线 D．延长直线AB 【考点】度分秒的换算；直线的性质：两点确定一条直线．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【分析】直接利用直线的性质以及度分秒换算、射线的定义分别分析得出答案． 【解答】解：A、角的度量中，1°＝60′，1′＝60″，故此选项错误； B、射线AB没有长度，故此选项错误； C、经过两点可以画并且只能画一条直线，故此选项正确； D、延长直线AB，直线无法延长，故此选项错误． 故选：C． 【点评】此题主要考查了直线的性质以及度分秒换算、射线的定义，正确掌握相关性质是解题关键． 5．（3分）（2024秋•辽中区期末）若3πa2b的次数是关于x的方程mx﹣3＝2x的解，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【考点】一元一次方程的解；单项式．版权所有 【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】先根据单项式的次数是所有字母的指数和，求出3πa2b的次数，再根据3πa2b的次数是关于x的方程mx﹣3＝2x的解，求出x，最后把x的值代入方程mx﹣3＝2x，得到关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：∵3πa2b的次数是3，3πa2b的次数是关于x的方程mx﹣3＝2x的解， ∴x＝3， 把x＝3代入关于x的方程mx﹣3＝2x得： 3m﹣3＝6， 3m＝9， m＝3， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解和单项式，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义和单项式的有关概念． 6．（3分）（2024秋•辽中区期末）下列结论正确的是（　　） A．﹣3ab2和b2a是同类项 B．a不是单项式 C．a一定比﹣a大 D．x＝3是方程﹣x+1＝4的解 【考点】一元一次方程的解；同类项；单项式．版权所有 【专题】整式；一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】根据同类项、单项式、有理数的大小比较、一元一次方程的解逐个判断即可． 【解答】解：A、﹣3ab2和b2a是同类项，原说法正确，故本选项符合题意； B、a是单项式，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当a＝0时，a＝﹣a，原说法错误，故本选项不符合题意； D、x＝﹣3是方程﹣x+1＝4的解，原说法错误，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了同类项、单项式、有理数的大小比较、一元一次方程的解，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 7．（3分）（2024秋•辽中区期末）如果整个地区的观众中青少年、成年人、老年人的人数比为3：4：3，要抽取容量为1000的样本，则成年人抽取（　　）合适． A．300 B．400 C．500 D．1000 【考点】总体、个体、样本、样本容量．版权所有 【专题】数据的收集与整理；数据分析观念． 【分析】根据青少年、成年人、老年人的人数比约为3：4：3，所以成年人的人数所占总人数的 ，则根据这个条件就可以求出成年人的人数． 【解答】解：因为样本容量为1000，某地区青少年、成年人、老年人的人数比约为3：4：3， 所以成年人的人数所占总人数的 ， 故成年人应抽取1000400（人）， 故选：B． 【点评】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 8．（3分）（2024秋•辽中区期末）如图，OC是∠AOB的平分线，，∠BOD＝20°，则∠AOB的度数为（　　） A．100° B．60° C．80° D．40° 【考点】角的计算；角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【分析】由已知，∠BOD＝20°，可得出∠BOC＝2∠BOD，再根据角平分线的定义可得出∠AOB＝2∠BOC，计算即可得出答案． 【解答】解：∵，∠BOD＝20°， ∴∠BOC＝2∠BOD＝2×20°＝40°， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOB＝2∠BOC＝2×40°＝80°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义及角的计算，熟练掌握角平分线的定义进行求解是解决本题的关键． 9．（3分）（2021•宁波模拟）一次秋游活动中，有x辆客车共乘坐y位师生．若每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位．给出下列4个方程：①60x+10＝62x﹣8；②60x﹣10＝62x+8；③；④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【分析】有x辆客车共乘坐y位师生，根据“每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位”列方程即可得到结论． 【解答】解：根据总人数列方程，应是60x+10＝62x﹣8， 根据客车数列方程，应该为：， 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，能够根据不同的等量关系列方程． 10．（3分）（2024秋•辽中区期末）小明计划和爸爸一起自驾游，图A是这月份的日历，用图B框住5个日期，他们的和是50，图B中x是出行日期，爸爸的车牌尾号是“9”，则出行日期是几号，这天能出行吗？（　　）（注：北京市限行政策：周一到周五限行，周末和节假日不限行，每周一限行尾号为1和6，每周二限行尾号为2和7，每周三限行尾号为3和8，每周四限行尾号为4和9，每周五限行尾号为0和5） A．11，不能 B．11，能 C．10，能 D．10，不能 【考点】一元一次方程的应用．版权所有 【专题】数字问题；应用意识． 【分析】日历中相邻的两个数，下方的数比上方的数大7，后面的数比前面的数大1，按此规律，框住的5个数从小到大分别是x﹣8、x﹣2、x﹣1、x、x+6，根据它们的和为50列方程并且解方程求出x的值，判断出是星期几以及这天的限号即可得到问题的答案． 【解答】解：根据题意得x﹣8+x﹣2+x﹣1+x+x+6＝50， 解得x＝11， 所以出行日期是11号， 因为11号这天是星期四，限行尾号4和9，且爸爸的车牌尾号是“9”， 所以这天不能出行， 故选：A． 【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示框住的5个数中的每个数是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）（2024秋•辽中区期末）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为　75　度． 【考点】钟面角．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【分析】根据每2个数字之间相隔30度和时针1分钟走0.5度可得夹角度数． 【解答】解：时针30分钟所走的度数为30×0.5＝15°， 8点30分时刻，分针与8点之间的夹角为2×30＝60°， ∴此时时钟面上的时针与分针的夹角是60°+15°＝75°． 故答案为：75． 【点评】本题考查钟面角的计算；用到的知识点为：钟面上每2个数字之间相隔30度；时针1分钟走0.5度． 12．（3分）（2024秋•辽中区期末）折扇主要由扇骨和扇面两部分构成．明明家有三把相同的折扇．完全打开后刚好可以拼成一个半径为20cm的圆形，则一把折扇完全打开所对应的扇形的圆心角为 　120°　，面积为 　πcm2　．（结果保留π） 【考点】扇形面积的计算．版权所有 【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力． 【分析】根据三把相同的折扇完全打开后刚好可以拼成一个半径为20cm的圆形，可得一把折扇完全打开所对应的扇形的圆心角度数，根据扇形的面积公式可得一把折扇的面积． 【解答】解：一把折扇完全打开所对应的扇形的圆心角为360°÷3＝120°， 面积为π（cm2）． 故答案为：120°，πcm2． 【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则S扇形或S扇形lr（其中l为扇形的弧长）． 13．（3分）（2024秋•辽中区期末）如图，三棱柱的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，用含m的代数式表示三棱柱的棱上小球总数为 　9m﹣12　． 【考点】认识立体图形；列代数式．版权所有 【专题】整式；投影与视图；空间观念；运算能力；模型思想． 【分析】根据三棱柱的棱的条数，顶点的个数，进而得出答案． 【解答】解：三棱柱有9条棱，6个顶点， 因为每条棱上有m个小球，9条棱上就有9m个小球，这样每个顶点处的小球多计算了2次，因此多计算2×6＝12个， 所以小球的总个数为9m﹣12， 故答案为：9m﹣12． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握三棱柱的形体特征是解决问题的前提，理解每个顶点处的小球重复计算的次数是解决问题的关键． 14．（3分）（2024秋•辽中区期末）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右移动3个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为 　﹣5或﹣1　． 【考点】绝对值；数轴．版权所有 【专题】实数；推理能力． 【分析】先用含a的式子表示出点C，根据CO＝BO列出方程，求解即可． 【解答】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为2， C点表示的数为a+3 因为CO＝BO， 所以|a+3|＝2， 解得a＝﹣5或﹣1 故答案为：﹣5或﹣1 【点评】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C，是解决本题的关键． 15．（3分）（2024秋•辽中区期末）如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段长度是另外一条长度的2倍，则称点C是线段AB的“好点”．如图2，已知AB＝16cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设运动的时间为t（s），当t＝ 　8或　s时，Q为线段AB的“好点”． 【考点】一元一次方程的应用；两点间的距离．版权所有 【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力． 【分析】根据“好点“的定义，分三种情况分别进行计算：①点Q是AB中点；②AQ＝2BQ；③BQ＝2AQ． 【解答】解：∵动点P运动速度快， ∴动点P先到达终点， ∴动点P到达终点需要16÷2＝8（s），当到达8秒时，运动停止． ①当点Q是AB中点时，AB＝2AQ＝2BQ， 此时，AQ＝BQAB＝8， ∴t＝8； ②当AQ＝2BQ时， BQAB， ∴t； ③当BQ＝2AQ时， BQAB， 此时t8，不合题意，舍去； 综上所述，t＝8s或s． 故答案为：8或． 【点评】本题考查了中点的定义，体现了分类讨论的数学思想，恰当地分类是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（10分）（2024秋•辽中区期末）计算： （1）3x+3＝x﹣（2x﹣1）； （2）1． 【考点】解一元一次方程．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可． （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可． 【解答】解：（1）去括号，可得：3x+3＝x﹣2x+1， 移项，可得：3x﹣x+2x＝1﹣3， 合并同类项，可得：4x＝﹣2， 系数化为1，可得：x＝﹣0.5． （2）去分母，可得：2（2x﹣3）﹣3（3x﹣1）＝6， 去括号，可得：4x﹣6﹣9x+3＝6， 移项，可得：4x﹣9x＝6+6﹣3， 合并同类项，可得：﹣5x＝9， 系数化为1，可得：x＝﹣1.8． 【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 17．（8分）（2024秋•辽中区期末）如图，已知平面上三点A，B，C． （1）请画出图形： ①画直线AC； ②画射线BA； ③画线段BC． （2）在（1）的条件下，图中共有 　6　条射线． （3）从点B到点C的最短路径是 　线段BC　，依据是 　两点之间线段最短　． 【考点】作图—复杂作图；直线、射线、线段；线段的性质：两点之间线段最短．版权所有 【专题】作图题；几何直观． 【分析】（1）①根据直线的定义即可画直线AC； ②根据射线定义即可画射线BA； ③根据线段定义即可画线段BC． （2）在（1）的条件下，根据射线定义即可得图中射线条数； （3）根据两点之间线段最短即可得从点B到点C的最短路径． 【解答】解：（1）如图，①直线AC即为所求； ②射线BA即为所求； ③线段BC即为所求； （2）图中共有6条射线； 故答案为：6； （3）从点B到点C的最短路径是线段BC，依据是：两点之间线段最短． 故答案为：线段BC；两点之间线段最短． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，直线、射线、线段，线段的性质，解决本题的关键是掌握线段的性质：两点之间线段最短． 18．（8分）（2024秋•辽中区期末）我们规定：若关于a的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，且﹣2＝﹣4+2，则2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答以下问题： 已知关于x的一元一次方程﹣2x＝ab+b是“和解方程”，并且它的解是x＝b，求b的值． 【考点】一元一次方程的解．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】根据“和解方程”的定义得到x＝ab+b﹣2，再代入原方程即可求出b的值． 【解答】解：∵关于x的一元一次方程﹣2x＝ab+b是“和解方程”， ∴x＝ab+b﹣2， 又∵x＝b， ∴ab+b﹣2＝b， 即ab＝2， 把x＝b代入关于x的一元一次方程﹣2x＝ab+b得， ﹣2b＝ab+b， 即﹣2b＝2+b， 解得b． 【点评】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程解的定义是正确解答的关键． 19．（9分）（2024秋•辽中区期末）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy． （1）化简2A﹣3B； （2）当，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值； （3）若2A﹣3B的值与y的取值无关，求2A﹣3B的值． 【考点】整式的加减—化简求值．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）把，xy＝﹣1整体代入（1）中的计算结果中求解即可； （3）根据与y的取值无关即含y的项的系数为0求出x的值即可得到答案． 【解答】解：（1）∵A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy， ∴2A﹣3B ＝2（3x2﹣x+2y﹣4xy）﹣3（2x2﹣3x﹣y+xy） ＝7x+7y﹣11xy； （2）∵，xy＝﹣1， ∴； （3）∵2A﹣3B＝7x+7y﹣11xy＝7x+（7﹣11x）y的值与y的取值无关， ∴7﹣11x＝0， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． 20．（8分）（2024秋•辽中区期末）我们应该积极学习和关注疫情防控的知识，勤洗手，戴口罩，保持清洁及消毒的习惯．某单位计划用2680元购买A，B，C三种不同的口罩共360包，各种口罩的单价如下表． 口罩种类 A B C 价格/（元/包） 7 8 10 若该单位先用一部分资金购买了m包A种口罩，再用剩下的资金购买B，C两种口罩，且这两种口罩购买的数量相同，此时正好剩余40元，求m的值． 【考点】一元一次方程的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【分析】根据购买三种口罩数量间的关系，可得出购买了B，C两种口罩的数量，利用总价＝单价×数量，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵该单位购买A，B，C三种不同的口罩共360包，购买了m包A种口罩，且B，C两种口罩购买的数量相同， ∴购买了包B种口罩，包C种口罩． 根据题意得：7m+81040＝2680， 解得：m＝300． 答：m的值为300． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 21．（8分）（2021•武汉）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间t（单位：h），按劳动时间分为四组：A组“t＜5”，B组“5≤t＜7”，C组“7≤t＜9”，D组“t≥9”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的样本容量是 　100　，C组所在扇形的圆心角的大小是 　108°　； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数． 【考点】条形统计图；加权平均数；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．版权所有 【专题】统计的应用；应用意识． 【分析】（1）用D组的人数÷所占百分比计算即可，计算C组的百分比，用C组的百分数乘以360°即可得出C组所在扇形的圆心角的大小； （2）求出B组人数，画出条形图即可； （3）用 C，D 两组的百分数之和乘以1500即可． 【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是10÷10%＝100， C组所在扇形的圆心角的大小是360°108°， 故答案为：100，108°； （2）B组的人数＝100﹣15﹣30﹣10＝45（名）， 条形统计图如图所示， （3）1500600（名）． 答：估计该校平均每周劳动时间不少于7h的学生人数为600． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22．（12分）（2024秋•辽中区期末）已知O是AB上的一点，从O点引出射线OC、OE、OD，其中OE平分∠BOC． （1）如图1，若∠COD是直角，∠DOE＝15°，求∠AOC的度数． （2）如图2，若∠BOD＝60°，∠AOC＝3∠DOE，求∠AOC的度数． （3）将图1中的∠COD（∠COD仍是直角）绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，设∠AOE＝α，∠DOE＝β，请猜想α与β之间存在什么样的数量关系，并说明理由． 【考点】角的计算；角平分线的定义．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【分析】（1）易求∠COE＝75°，利用角平分线的定义和邻补角的定义可求结论； （2）设∠DOE＝x，利用角平分线的定义与已知条件列出方程即可求解； （3）由OE平分∠BOC可得∠COE＝∠BOE，设∠COE＝∠BOE＝x，则α＝180°﹣∠BOE＝180°﹣x，β＝90°﹣∠COE＝90°﹣x，将上面两式相减，结论可得． 【解答】解：（1）∵∠COD是直角，∠DOE＝15°， ∴∠COE＝90°﹣15°＝75°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠COE＝150°． ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝30°． （2）设∠DOE＝x， ∵∠AOC＝3∠DOE， ∴∠AOC＝3x， ∵∠BOD＝60°， ∴∠BOE＝60+x， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC＝2∠BOE＝120+2x． ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴120+2x+3x＝180． 解得：x＝12． ∴∠AOC＝12×3＝36°． （3）α与β之间存在的数量关系为：α﹣β＝90°．理由： ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOE， 设∠COE＝∠BOE＝x， 则α＝180°﹣∠BOE＝180°﹣x①， β＝90°﹣∠COE＝90°﹣x②， ①﹣②得：α﹣β＝90°． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算．利用已知条件设出恰当的未知数列出方程求解是解题的关键． 23．（12分）（2024秋•辽中区期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，． 解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10 线段AB的中点表示的数为 当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t ∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）| 当时， ∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5 解得，t＝1或t＝3 ∴当t为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求当t为何值时，； 【综合运用】 （2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合； 【拓展提升】 （3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长． 【考点】数轴．版权所有 【专题】阅读型；实数；运算能力． 【分析】（1）利用含t的代数式表示出点M，N运动t秒时表示的数，利用题干中的方法列出关于t的方程，解方程即可得出结论； （2）利用线段中点的关系式求得点C表示的数，列出关于t的方程，解方程即可得出结论； （3）用线段中点的关系式求得点E，F表示的数，利用题干中的方法求得EF的长度，化简即可得出结论． 【解答】解：（1）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t， ∴MN＝|﹣2+3t﹣8+4t|＝|﹣10+7t|； 又∵AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10且MNAB， ∴|﹣10+7t|＝5， 解得：t或t． ∴当t为或秒时，． （2）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t， ∴线段MN的中点C表示的数为， 由题意得：3， ∴t＝12． ∴当t为12秒时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合． （3）点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5．理由： ∵当点M运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8， ∴MA的中点E表示的数为，MB的中点F表示的数为， ∴EF＝||＝|﹣5|＝5． ∴点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5． 【点评】本题主要考查了数轴的简单应用，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$