第10讲 概率初步（9个知识点+8种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第10讲 概率初步（9个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点2．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点3．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点4．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点5．几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点6．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点7．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点8．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 知识点9．模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 题型强化 题型一、事件的分类 1．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．购买一张彩票中奖 B．射击一千次，命中靶心 C．太阳每天从西方升起 D．任意画一个三角形，其内角和是 2．（九年级·安徽阜阳·期末）“任意打开我们的九上数学书，正好是第60页”，这是 （选填“随机”或“必然”）事件. 3．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个. （1）先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于，求m的值. 题型二、概率的意义理解 4．（21-22九年级下·安徽芜湖·开学考试）下列说法中正确的是（　　　） A．检测某批次华为手机的使用寿命，适宜用全面调查 B．“打开电视机，正在播《我和我的祖国》”是必然事件 C．数据，，，，的中位数是 D．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现反面朝上的概率为二分之一 5．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是 6．某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 题型三、根据概率公式计算概率 7．（2024·安徽合肥·三模）全班共有名学生，其中有名女生，位男生，班级需选出一名女生参加升旗仪式，在女生中选到王芳的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23·安徽宿州·期末）小芳掷一枚质地均匀的硬币10次，7次正面向上，当掷第11次时，正面向上的概率 ． 9．（2024·安徽·模拟预测）某校为了解初三年级的近视情况，在初三年级随机抽取五个班级的学生进行调查，统计结果如表所示： 所抽取的班级 班级 班级 班级 班级 班级 总学生数 近视学生数 (1)在这五个班级随机抽取一名学生，求抽中近视学生的概率； (2)该校初三年级共有学生人，估计该校初三年级近视的学生数． 题型四、列表法或树状图法求概率 10．（2024·安徽六安·模拟预测）小明向不透明的袋子中装入1个红色弹珠和1个黄色弹珠，这两个弹珠除颜色外都相同，小明从口袋中任意摸出1个弹珠，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．则3次摸到的弹珠颜色都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽·中考真题）不透明的袋中装有大小质地完全相同的个球，其中个黄球、个白球和个红球．从袋中任取个球，恰为个红球的概率是 ． 12．（2024·安徽合肥·三模）深化素质教育，促进学生全面发展，合肥市50中开展了丰富多彩的社团活动．为了了解七年级新生对选择社团的意向，对该校600名七年级新生进行了抽样调查． 调查问卷1．你最喜欢的社团 （单选） A．机器人社团     B．足球、篮球社团    C．模拟联合国    D．民乐社团 秦奋同学根据有效问卷绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题： (1)求扇形统计图中的值，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为 ； (3)在社团招新生时，七（2）班的甲同学从他喜欢的A．机器人社团、B．足球、篮球社团、C．模拟联合国中随机选择了一个社团，乙同学也从他喜欢的A．机器人社团、C．模拟联合国、D．民乐社团中随机选择了一个社团，求他们进入了同一社团的概率． 题型五、列举法求概率 13．（2023·安徽宿州·模拟预测）某校为了增强学生对“垃圾分类”重要性的认识，举办了一场“垃圾分类”知识竞赛．八（1）班共有3名学生（2名男生，1名女生）获奖，班主任老师若从获奖的3名学生中任选两名作为班级的“环保标兵”，则恰好是一名男生、一名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（2023·安徽蚌埠·一模）某地区2月上旬的空气质量指数（AQI）（单位：）如下表所示： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AQI/（） 28 31 44 37 41 78 45 113 50 29 AQI不高于表示空气质量优良．如果小李2月上旬在该地区度假三天，那么在他度假期间该地区的空气质量都是优良的概率是 ． 15．（2023·安徽滁州·一模）如图，某同学在物理课中设计了两种控制小灯泡的电路图，电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，按要求完成下列问题： (1)如图1，电路图中有3个开关、、，随意闭合2个开关，求小灯泡能发光的概率； (2)如图2，电路图中有2个开关、，两个开关中间有三条导线，每次旋转开关都能接通一条导线，若随意调整开关、，求小灯泡发光的概率． 题型六、已知概率求数量 16．（2023·安徽宿州·一模）在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 17．（2023·安徽安庆·一模）为弘扬中华文化，鼓励学生多读书，读好书，九年级(4)班班主任精选了《朝花夕拾》《平凡的世界》《长征》《红岩》《文化苦旅》5种书，准备送给学生. (1)若由上述5种书各3本，小明同学从中任选一本，选中《红岩》的概率是多少? (2)若小明同学从上述5种书中任选一本，选中《长征》的概率是，则在(1)的基础上， 班主任老师只需要增加几本《长征》书？ 题型七、几何概率 18．（2024·安徽亳州·一模）如图，一个圆内接于一个正六边形，若随机向正六边形内部投掷一粒大米，则大米落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 题型八、由频率估计概率 19．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同，从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是8的概率为（    ） A． B． C． D． 20．（2022·安徽蚌埠·二模）在一个不透明的袋子里有1个红球，2个白球和若干个黑球．小宇将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个，记下颜色后放回袋中，在多次重复以上操作后，小宇统计了摸到红球的频率，并绘制了如图折线图．则从袋子中随机摸出两个球，这两个球一红一白的概率为 ． 21．（2022·安徽·模拟预测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外，其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表． 摸球次数 白球频率 (1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______（精确到）左右，从箱子中摸一次球，估计摸到蓝球的概率是______． (2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列举法求摸到个蓝球、个白球的概率． 分层练习 一、单选题 1．某班从4名男生和2名女生中任选1人参加演讲比赛，则选中男生的概率是（    ） A． B． C． D． 2．下列事件中，属于不确定事件的是（　　） A．科学实验，前10次实验都失败了，第11次实验会成功 B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点 C．太阳从西边升起来了 D．用长度分别是3 cm，4 cm，5 cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形 3．为了更好地推进中小学劳动教育的实施，教育部制定了《初中劳动教育课程标准》．某校为了促使学生积极参与家庭劳动，在学期初组织了“家庭劳动比赛”活动，九年级一班有两名女生和一名男生在本次活动中被评为“家庭劳动小能手”，学校邀请其中两名学生在全校学生大会上分享参与家庭劳动的感悟，则该三名学生中被学校邀请到的恰好是两名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 4．如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的正方形卡纸上绘制的辽宁省地形图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将正方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝正方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 5．如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是（　　）    A． B． C． D． 6．下列成语描述的事件是必然事件的是（    ） A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．画饼充饥 D．水中捞月 7．已知实数，则下列事件中是必然事件的是（ ） A． B． C． D． 8．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 则绿豆发芽的概率估计值是(   ) A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90 9．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①某次实验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 10．按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（    ） A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大 C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大 二、填空题 11．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是 ． 12．在一个不透明的盒子里有五个分别写有，，数字的小球，它们除数字不同外其余全部相同，现从盒子里随机取出一个小球，将小球上的数字记为，然后在剩下的小球中随机再取出一个，将小球上的数字记为，则的值为非负数的概率是 ． 13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 个． 14．如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 . 三、解答题 15．一个口袋中放有290个涂有红、白两种色的质地相同的小球，若从袋中任取一个球是白球的概率是，求袋中红球的个数． 16．某校的一个社会实践小组对本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表： 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 频数 20 35 41 4 （1）请根据调查结果，若该校有学生人，请估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数. （2）在“比较了解”的调查结果里，其中九（1）班学生共有人，其中名男生和名女生，在这人中，打算随机选出位进行采访，求出所选两位同学恰好是1名男生和1名女生的概率.（要求列表或画树状图） 17．一个盒子里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球． (1)从盒子里摸出两个球，用树状图或列表求出摸到一个红球一个白球的概率； (2)甲和乙玩游戏，让乙选择下列方式摸球，①直接摸两个球．②先摸一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球．如果乙摸到“一个红球一个白球”就有礼物，请你帮乙算一下，他该选哪种方式，赢得礼物的概率更大？ 18．为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”和“小说之趣”三组（依次记为A，B，C）．彤彤和祺祺两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组． (1)彤彤抽到A组题目的概率是______； (2)请用列表法或画树状图的方法，求彤彤和祺祺抽到相同题目的概率． 19．某超市“五一”大酬宾，设立购物抽奖活动，奖项设置面值不同的购物卡，分别是：一等奖元，二等奖元，三等奖元，参与奖元，凡购物满元及以上者，每元可抽奖一次（不足元一概不计入），每次抽奖过程如下：在一个不透明的袋了里装有三个小球，球面上分别标注数字“”，“”，“”，它们除数字不同外没有任何区别抽奖顾客先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为“”，则获一等奖，数字之和为“”，则获二等奖，数字之和为“”，则获三等奖，其余均为参与奖． (1)试利用树状图或列表法求顾客获得一等奖、二等奖、三等奖的概率； (2)若此次超市大酬宾中，超市业绩调查部门抽查了位顾客的消费金额绘制成条形统计图如下（尾数不足，全部去尾折算为的倍数）： ①求上述顾客消费金额样本的平均数； ②据“五一节”当天统计，购物顾客一共在超市进行了次抽奖，超市每销售元，平均可获利元，请根据上述样本数据分析，扣除兑现的购物卡金额外，估计这一天超市共盈利多少元？（精确到元） 20．袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6． （1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率； （2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球， 求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解） 21．一个不透明的盒子中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． （1）从盒子里随机摸出一个小球，其中标号是奇数的概率是 　 　； （2）先从盒子中随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法求两次摸出的小球标号的和小于5的概率； （3）从盒子中随机同时摸出两个小球，则摸出的小球标号的和大于4的概率是 　 　． 22．在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为﹔②函数表达式为﹔③函数的图像经过点；④函数的图像上任意一点到x轴、y轴的距离相等；⑤函数值y随x的增大而减小．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． (1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到②的概率是______； (2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率． 23．在1个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外，其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白色的概率为0.5． (1)求口袋中红球的个数； (2)若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球，不放回，再摸出一个，请用画树状图的方法求甲摸出两个球且得2分的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 概率初步（9个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 知识点2．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点3．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点4．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点5．几何概率 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 知识点6．列表法与树状图法 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 知识点7．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点8．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 知识点9．模拟试验 （1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验． （2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果． （3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可． 题型强化 题型一、事件的分类 1．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．购买一张彩票中奖 B．射击一千次，命中靶心 C．太阳每天从西方升起 D．任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查必然事件、随机事件的意义和判定方法，根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此选项A不正确； 射击运动员射击一次，可能命中靶心，也可能命不中靶心，因此选项B不正确； 太阳每天只从东方升起，不会从西方升起，因此选项C不正确； 任意三角形的内角和都是180°，因此选项D正确； 故选：D． 2．（九年级·安徽阜阳·期末）“任意打开我们的九上数学书，正好是第60页”，这是 （选填“随机”或“必然”）事件. 【答案】随机 【知识点】事件的分类 【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可解决． 【详解】解：根据随机事件的概念直接得出答案；任意打开我们的九上数学书，正好是第60页， 虽然几率很小，但也存在可能，故此事件是随机事件． 故答案为：随机． 【点睛】此题主要考查了随机事件的概念，解决本题需要正确理解不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个. （1）先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出一个球是黑球的概率等于，求m的值. 【答案】(1) 4；2或3；（2）m=2. 【知识点】已知概率求数量、事件的分类 【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可． 【详解】解：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件； 当摸出2个或3个时，摸到黑球为随机事件， 故答案为4；2或3. （2）根据题意得：， 解得：m=2， 所以m的值为2. 题型二、概率的意义理解 4．（21-22九年级下·安徽芜湖·开学考试）下列说法中正确的是（　　　） A．检测某批次华为手机的使用寿命，适宜用全面调查 B．“打开电视机，正在播《我和我的祖国》”是必然事件 C．数据，，，，的中位数是 D．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现反面朝上的概率为二分之一 【答案】D 【知识点】概率的意义理解、事件的分类、求中位数 【分析】根据随机事件的意义，中位数，概率的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、检测华为手机的使用寿命，由于数量较多，因此适合抽样调查，所以选项A不符合题意； B、打开电视机，正在播我和我的祖国”是随机事件，因此选项B是错误的，不符合题意； C、数据，，，，的中位数是3，因此选项C不正确，不符合题意； D、抛掷枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率为二分之一，因此选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查随机事件，中位数，概率，掌握随机事件的意义，中位数和概率的意义是正确判断的前提 5．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是 【答案】5. 【知识点】概率的意义理解 【分析】根据题意可以求得事件A平均每100次发生的次数，本题得以解决. 【详解】∵事件A发生的概率为0.05， ∴事件A平均每100次发生的次数是：100×0.5=5. 故答案为5. 6．某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 【答案】（1）；（2） 【知识点】列表法或树状图法求概率、概率的意义理解 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案； （2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为， 故答案为： （2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能， 所以：两名同学均来自八年级的概率 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键． 题型三、根据概率公式计算概率 7．（2024·安徽合肥·三模）全班共有名学生，其中有名女生，位男生，班级需选出一名女生参加升旗仪式，在女生中选到王芳的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．直接根据概率公式解答即可，注意“选出一名女生参加升旗仪式”这个事件中事件总数是女生总数． 【详解】解：由有名女生，王芳是其中一人， 则班级需选出一名女生参加升旗仪式，在女生中选到王芳的概率为：， 故选：D． 8．（22-23·安徽宿州·期末）小芳掷一枚质地均匀的硬币10次，7次正面向上，当掷第11次时，正面向上的概率 ． 【答案】/0.5 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了简单概率计算，熟练掌握简单概率计算公式是解题关键．根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：小芳掷一枚质地均匀的硬币10次，7次正面向上，当掷第11次时，正面向上的概率． 故答案为：． 9．（2024·安徽·模拟预测）某校为了解初三年级的近视情况，在初三年级随机抽取五个班级的学生进行调查，统计结果如表所示： 所抽取的班级 班级 班级 班级 班级 班级 总学生数 近视学生数 (1)在这五个班级随机抽取一名学生，求抽中近视学生的概率； (2)该校初三年级共有学生人，估计该校初三年级近视的学生数． 【答案】(1) (2)378人 【知识点】根据概率公式计算概率、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查了概率公式、统计表、样本估计总体等知识；熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）由概率公式求解即可； （2）由该校初三年级总人数乘以该校初三年级近视的概率即可． 【详解】（1）解：这五个班级的学生中随机抽取一名学生，抽中近视的学生为事件A， 则； （2）解：（人）， 即估计该校初三年级近视的学生为人． 题型四、列表法或树状图法求概率 10．（2024·安徽六安·模拟预测）小明向不透明的袋子中装入1个红色弹珠和1个黄色弹珠，这两个弹珠除颜色外都相同，小明从口袋中任意摸出1个弹珠，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．则3次摸到的弹珠颜色都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了用树状图求等可能事件的概率，方法是用树状图列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：根据题意画树状图为： 根据树状图可知，共有8种等可能的结果，其中3次摸到的弹珠颜色都是红色的有1种可能． ∴3次摸到的弹珠颜色都是红色的概率为． 故选：D． 11．（2024·安徽·中考真题）不透明的袋中装有大小质地完全相同的个球，其中个黄球、个白球和个红球．从袋中任取个球，恰为个红球的概率是 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中恰为个红球的结果有种， ∴恰为个红球的概率为， 故答案为：． 12．（2024·安徽合肥·三模）深化素质教育，促进学生全面发展，合肥市50中开展了丰富多彩的社团活动．为了了解七年级新生对选择社团的意向，对该校600名七年级新生进行了抽样调查． 调查问卷1．你最喜欢的社团 （单选） A．机器人社团     B．足球、篮球社团    C．模拟联合国    D．民乐社团 秦奋同学根据有效问卷绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题： (1)求扇形统计图中的值，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为 ； (3)在社团招新生时，七（2）班的甲同学从他喜欢的A．机器人社团、B．足球、篮球社团、C．模拟联合国中随机选择了一个社团，乙同学也从他喜欢的A．机器人社团、C．模拟联合国、D．民乐社团中随机选择了一个社团，求他们进入了同一社团的概率． 【答案】(1)＝20，见解析 (2)144° (3) 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形的圆心角，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）由C类人数除以其占比可得总人数，再求解A类人数，补全图形即可； （2）由B类的占比乘以即可得到圆心角； （3）先画树状图得到所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：总人数（人）． A类人数（人）． ∵， ∴； 条形统计图如图： ． （2）∵， ∴“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为； （3）画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中甲乙进入同一社团的有2种结果． 所以（甲乙进入同一社团）． 题型五、列举法求概率 13．（2023·安徽宿州·模拟预测）某校为了增强学生对“垃圾分类”重要性的认识，举办了一场“垃圾分类”知识竞赛．八（1）班共有3名学生（2名男生，1名女生）获奖，班主任老师若从获奖的3名学生中任选两名作为班级的“环保标兵”，则恰好是一名男生、一名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列举法求概率 【分析】利用列举法即可求解． 【详解】解：可能的情况有：，，， 则恰好是一名男生、一名女生的概率为：， 故选A． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握其方法是解题的关键． 14．（2023·安徽蚌埠·一模）某地区2月上旬的空气质量指数（AQI）（单位：）如下表所示： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AQI/（） 28 31 44 37 41 78 45 113 50 29 AQI不高于表示空气质量优良．如果小李2月上旬在该地区度假三天，那么在他度假期间该地区的空气质量都是优良的概率是 ． 【答案】/ 【知识点】列举法求概率 【分析】先求出3天中空气质量都是优良的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵由图可知，当1号到达时，停留的日子为1、2、3号，此时3天空气质量均为优良； 当2号到达时，停留的日子为2、3、4号，此时3天空气质量均为优良； 当3号到达时，停留的日子为3、4、5号，此时3天空气质量均为优良； 当4号到达时，停留的日子为4、5、6号，此时2天空气质量均为优良； 当5号到达时，停留的日子为5、6、7号，此时2天空气质量均为优良； 当6号到达时，停留的日子为6、7、8号，此时1天空气质量为优良； 当7号到达时，停留的日子为7、8、9号，此时2天空气质量为优良； 当8号到达时，停留的日子为8、9、10号，此时2天空气质量均为优良； ∴小王该月上旬该地区度假三天那么他在该地区度假期间空气质量都是优良的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 15．（2023·安徽滁州·一模）如图，某同学在物理课中设计了两种控制小灯泡的电路图，电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，按要求完成下列问题： (1)如图1，电路图中有3个开关、、，随意闭合2个开关，求小灯泡能发光的概率； (2)如图2，电路图中有2个开关、，两个开关中间有三条导线，每次旋转开关都能接通一条导线，若随意调整开关、，求小灯泡发光的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、列举法求概率 【分析】（1）利用列举法求出概率即可； （2）利用列表法求出概率即可． 【详解】（1）解：共有三种等可能的情况：，；，；，；其中小灯泡能发光的有，；，，共2种情况， ∴（小灯泡能发光）； （2）设三条导线左侧端口依次为，，，右侧端口依次为，，，由题意列表，得 由列表可知随意调整开关，有9种等可能结果，其中使得小灯泡发光有，，共有3种， ∴（小灯泡发光）． 【点睛】本题考查列举法以及列表法求概率．熟练掌握列表法和概率公式，是解题的关键． 题型六、已知概率求数量 16．（2023·安徽宿州·一模）在一个桌子上放着若干张背面向上的扑克牌，这些扑克牌背面图案相同，正面为3张方块、2张红桃和张梅花．若从这些打乱的扑克牌中任意摸出1张扑克牌，这张扑克牌是梅花的概率为，则的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】已知概率求数量 【分析】由这张扑克牌是梅花的概率为得到，计算即可得到的值． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了简单概率计算中的已知概率求数量，根据题意得出是解题的关键． 17．（2023·安徽安庆·一模）为弘扬中华文化，鼓励学生多读书，读好书，九年级(4)班班主任精选了《朝花夕拾》《平凡的世界》《长征》《红岩》《文化苦旅》5种书，准备送给学生. (1)若由上述5种书各3本，小明同学从中任选一本，选中《红岩》的概率是多少? (2)若小明同学从上述5种书中任选一本，选中《长征》的概率是，则在(1)的基础上， 班主任老师只需要增加几本《长征》书？ 【答案】(1) (2)要增加1本《长征》 【知识点】分式方程的实际应用、已知概率求数量、根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可求解； （2）根据概率列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：总共有15本书，其中《红岩》有3本，所以从这15本书中任选一本，选中《红岩》的概率为= （2）设要增加x本《长征》，由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意. ∴要增加1本《长征》. 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，已知概率求数量，掌握概率公式是解题的关键． 题型七、几何概率 18．（2024·安徽亳州·一模）如图，一个圆内接于一个正六边形，若随机向正六边形内部投掷一粒大米，则大米落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何概率、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了概率计算问题，关键是计算出阴影面积与正六边形面积的比值是解题的关键， 根据圆内接六边形的性质，求出阴影部分面积与正六边形的比，然后利用概率公式计算即可． 【详解】如图： 圆内接于一个正六边形， ， ， ， ， 为等边三角形，且 ， ， ， ， ， 大米落在阴影部分的概率是． 故选：B． 题型八、由频率估计概率 19．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，0~9这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同，从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是8的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据概率公式计算概率、由频率估计概率 【分析】从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字8的只有1种结果，利用概率公式求解即可． 【详解】∵随着小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同， ∴从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字8的只有1种结果， ∴估计数字是8的概率为． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 20．（2022·安徽蚌埠·二模）在一个不透明的袋子里有1个红球，2个白球和若干个黑球．小宇将袋子中的球摇匀后，从中任意摸出一个，记下颜色后放回袋中，在多次重复以上操作后，小宇统计了摸到红球的频率，并绘制了如图折线图．则从袋子中随机摸出两个球，这两个球一红一白的概率为 ． 【答案】/0.2 【知识点】由频率估计概率、列表法或树状图法求概率 【分析】根据折线图可知摸到红球的概率为0.2，然后可得不透明袋子中球的个数，进而根据列表法可进行求解． 【详解】解：由折线图可知摸到红球的概率为0.2， ∴不透明袋子中球的个数为（个）， ∴黑球的个数为5-1-2=2（个）， 列表如下： 红 白1 白2 黑1 黑2 红 / √ √ √ √ 白1 √ / √ √ √ 白2 √ √ / √ √ 黑1 √ √ √ / √ 黑2 √ √ √ √ / 由表可知随机摸出两个球的可能性有20种，摸出两个球为一红一白的可能性有4种，则摸出两个球为一红一白的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率及用频率估计概率，熟练掌握利用列表法求解概率是解题的关键． 21．（2022·安徽·模拟预测）一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共个，它们除颜色外，其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表． 摸球次数 白球频率 (1)当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于______（精确到）左右，从箱子中摸一次球，估计摸到蓝球的概率是______． (2)从该箱子里随机摸出个球，不放回，再摸出个球．用列举法求摸到个蓝球、个白球的概率． 【答案】(1)；（或） (2)摸到个蓝球、个白球的概率为 【知识点】列表法或树状图法求概率、由频率估计概率 【分析】（1）运用频率估算概率的方法即可求解；根据概率和为即可求解； （2）运用列表或画树状图求随机事件的概率的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，摸到白球的频率将会稳定于，摸到蓝球的概率是， 故答案为：；（或） （2）解：由（1）知，袋中白球的个数约为，蓝球的个数约为， 列表如下： 蓝 蓝 由表知，共有种等可能的结果，其中摸到1个蓝球、1个白球的结果有6种， 摸到1个蓝球、1个白球的概率为． 分层练习 一、单选题 1．某班从4名男生和2名女生中任选1人参加演讲比赛，则选中男生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据简单地概率公式计算解答即可．本题考查了简单地概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得选中男生的概率是：． 故选：D． 2．下列事件中，属于不确定事件的是（　　） A．科学实验，前10次实验都失败了，第11次实验会成功 B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点 C．太阳从西边升起来了 D．用长度分别是3 cm，4 cm，5 cm的细木条首尾顺次相连可组成一个直角三角形 【答案】A 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A、是随机事件，故 A 符合题意； B、是不可能事件，故 B 不符合题意； C、是不可能事件，故 C 不符合题意； D、是必然事件，故 D 不符合题意． 故选: A ． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．为了更好地推进中小学劳动教育的实施，教育部制定了《初中劳动教育课程标准》．某校为了促使学生积极参与家庭劳动，在学期初组织了“家庭劳动比赛”活动，九年级一班有两名女生和一名男生在本次活动中被评为“家庭劳动小能手”，学校邀请其中两名学生在全校学生大会上分享参与家庭劳动的感悟，则该三名学生中被学校邀请到的恰好是两名女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法求概率，根据列表法求出所有可能结果，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：列表如下， 女1 女2 男 女1 女1女2 女1男 女2 女2女1 女2男 男 男女1 男女2 共有中等可能结果，其中该三名学生中被学校邀请到的恰好是两名女生的有2种可能， ∴该三名学生中被学校邀请到的恰好是两名女生的概率为 故选：B． 4．如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的正方形卡纸上绘制的辽宁省地形图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将正方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝正方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或正方形区域外不计试验结果），他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到球落在不规则图案上的概率为，据此根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，随着试验次数的增加，球落在不规则图案上的频率逐渐稳定在， ∴球落在不规则图案上的概率为， ∴估计不规则图案的面积大约为 ， 故选：B． 5．如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有：，共8种， ∴能使小灯泡L发光的概率为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． 6．下列成语描述的事件是必然事件的是（    ） A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．画饼充饥 D．水中捞月 【答案】B 【分析】根据必然事件指在一定条件下一定发生的事件对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、守株待兔，是随机事件； B、瓮中捉鳖，是必然事件； C、画饼充饥，是不可能事件； D、水中捞月，是不可能事件； 故选：B． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 7．已知实数，则下列事件中是必然事件的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据不等式的性质1可由a＜0，可知a+3＜3，故A不是必然事件；由此可知a-3＜-3＜0，故B是必然事件；由不等式的性质2，可知3a＜0，故C不是不可能事件；由乘方的性质可知＜0，故是不可能事件. 故选B 考点：1、不等式的性质，2、事件发生的可能性 8．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 则绿豆发芽的概率估计值是(   ) A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90 【答案】B 【详解】试题解析：=（0.960+0.940+0.955+0.950+0.948+0.956+0.950）÷7≈0.95， 当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是0.95． 故选B． 9．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．下面有三个推断：①某次实验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616；②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620．其中合理的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以这次“钉尖向上”的概率是：308÷500=0.616，故①正确. 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618.故②正确， 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误， 故选A. 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答. 10．按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（    ） A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大 C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大 【答案】D 【分析】先分析小王抽到空白纸条和“主持人”纸条的可能性，再在小王抽到空白纸条的基础上分析小李抽到“主持人”纸条的可能性，注意小李如果没有抽到主持人，则小马必然抽到“主持人”，由此可以求出三人抽到“主持人”的可能性． 【详解】解：小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白纸条，则分为两种情况： 小王抽到“主持人”可能性为， 小王抽到空白纸条的可能性为：，在此基础上，小李抽取情况分为抽到“主持人”或抽到空白纸条， 抽取“主持人”可能性为：， 抽取空白纸条可能性为：（当此种情况出现时，则小李必抽到“主持人”）， 故小李抽到“主持人”的可能性为：， 小马抽到“主持人”的可能性为：， 故选：D． 【点睛】本题考查概率计算，能够根据事件分析出某个事件发生的概率是解决本题的关键． 二、填空题 11．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，正确列举符合条件的等可能性结果是解答本题的关键．根据题意画出树状图，列举符合条件的等可能性结果，再利用概率的计算公式计算即可． 【详解】 如图，先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，共有4种等可能性结果，即正正，正反，反正，反反，其中结果为正反的只有1种，所以抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，第二次反面朝上的概率为， 故答案为：． 12．在一个不透明的盒子里有五个分别写有，，数字的小球，它们除数字不同外其余全部相同，现从盒子里随机取出一个小球，将小球上的数字记为，然后在剩下的小球中随机再取出一个，将小球上的数字记为，则的值为非负数的概率是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，画树状图求概率即可求解． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中的值为非负数的有12种， 故的值为非负数的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了画树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球 个． 【答案】8 【详解】设红球有x个， 根据概率公式可得， 解得：x＝8， 故答案为：8 【点睛】考点：概率. 14．如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 . 【答案】 【分析】可运用相似三角形的性质求出GF、MN，从而求出OF、OM，进而可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图， ∵GF∥HC， ∴△AGF∽△AHC， ∴ ∴ 同理MN=，则有OM= 故答案为： 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，求得△OFM的面积是解决本题的关键． 三、解答题 15．一个口袋中放有290个涂有红、白两种色的质地相同的小球，若从袋中任取一个球是白球的概率是，求袋中红球的个数． 【答案】袋中红球约有261个 【分析】先用球的总个数乘以白球的概率求出其个数，继而可得答案． 【详解】解：由题意知，袋中白球的个数为（个）， 所以袋中红球的个数约为（个）， 答：袋中红球约有261个． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 16．某校的一个社会实践小组对本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表： 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 频数 20 35 41 4 （1）请根据调查结果，若该校有学生人，请估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数. （2）在“比较了解”的调查结果里，其中九（1）班学生共有人，其中名男生和名女生，在这人中，打算随机选出位进行采访，求出所选两位同学恰好是1名男生和1名女生的概率.（要求列表或画树状图） 【答案】（1）210；（2） 【分析】（1）用总人数乘以样本中“比较了解”人数占被调查人数的比例即可得； （2）画出树状图，然后根据概率的意义列式计算即可得解． 【详解】解：（1） （2）设A1，A2为男同学，B为女同学．画树状图如下: 则选两位同学恰好是1名男生和1名女生的概率为. 【点睛】本题考查了列表法与树状图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17．一个盒子里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球． (1)从盒子里摸出两个球，用树状图或列表求出摸到一个红球一个白球的概率； (2)甲和乙玩游戏，让乙选择下列方式摸球，①直接摸两个球．②先摸一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球．如果乙摸到“一个红球一个白球”就有礼物，请你帮乙算一下，他该选哪种方式，赢得礼物的概率更大？ 【答案】(1) (2)选择方式①赢得礼物的概率更大，理由见解析 【分析】（1）画表格展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球恰好颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解； （2）画表格展示所有16种等可能的结果数，找出两次摸出的球恰好颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解，最后和（1）中的结论比较求解即可． 【详解】（1）列表如下： 红1 红2 红3 白 红1 （红2，红1） （红3，红1） （白，红1） 红2 （红1，红2） （红3，红2） （白，红2） 红3 （红1，红3） （红2，红3） （白，红3） 白 （红1，白） （红2，白） （红3，白） ∴共有12种等可能的结果，其中摸到一个红球一个白球的结果有6种， ∴摸到一个红球一个白球的概率为； （2）列表表示先摸一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球的所有等可能的结果， 红1 红2 红3 白 红1 （红1，红1） （红2，红1） （红3，红1） （白，红1） 红2 （红1，红2） （红2，红2） （红3，红2） （白，红2） 红3 （红1，红3） （红2，红3） （红3，红3） （白，红3） 白 （红1，白） （红2，白） （红3，白） （白，白） ∴共有16种等可能的结果，其中摸到一个红球一个白球的结果有6种， ∴摸到一个红球一个白球的概率为， 由（1）得直接摸两个球时，摸到“一个红球一个白球”的概率为 ∵， ∴选择方式①赢得礼物的概率更大． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 18．为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”、“散文之韵”和“小说之趣”三组（依次记为A，B，C）．彤彤和祺祺两名同学参加比赛，其中一名同学从三组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组． (1)彤彤抽到A组题目的概率是______； (2)请用列表法或画树状图的方法，求彤彤和祺祺抽到相同题目的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率， （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过列表法，可得共有9种等可能结果，其中，彤彤和祺祺两名同学抽到相同题目的结果数有3种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：依题意，（彤彤抽到A组题目）， 故答案为：； （2）列表如下： 彤彤祺祺 由图得，共有种等可能结果，其中，彤彤和祺祺两名同学抽到相同题目的结果数有种， （彤彤和祺祺两名同学抽到相同题目）． 19．某超市“五一”大酬宾，设立购物抽奖活动，奖项设置面值不同的购物卡，分别是：一等奖元，二等奖元，三等奖元，参与奖元，凡购物满元及以上者，每元可抽奖一次（不足元一概不计入），每次抽奖过程如下：在一个不透明的袋了里装有三个小球，球面上分别标注数字“”，“”，“”，它们除数字不同外没有任何区别抽奖顾客先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为“”，则获一等奖，数字之和为“”，则获二等奖，数字之和为“”，则获三等奖，其余均为参与奖． (1)试利用树状图或列表法求顾客获得一等奖、二等奖、三等奖的概率； (2)若此次超市大酬宾中，超市业绩调查部门抽查了位顾客的消费金额绘制成条形统计图如下（尾数不足，全部去尾折算为的倍数）： ①求上述顾客消费金额样本的平均数； ②据“五一节”当天统计，购物顾客一共在超市进行了次抽奖，超市每销售元，平均可获利元，请根据上述样本数据分析，扣除兑现的购物卡金额外，估计这一天超市共盈利多少元？（精确到元） 【答案】(1)一等奖的概率是，二等奖的概率是，三等奖的概率是 (2)①每位顾客消费的金额的平均数为元；②这一天超市共盈利约为元 【分析】（1）运用树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解； （2）①根据加权平均数的计算公式即可求解；②根据题意，分别算出总营业额，兑奖金额，由此即可求解． 【详解】（1）解：列表法将所有可能表示出来如下表，          第一次 第二次 共有中等可能结果，其中和为的有种，即获得一等奖有种；和为的有种，即获得二等奖的有种；和为的有种，即获得三等奖的有种， ∴，，， ∴一等奖的概率是，二等奖的概率是，三等奖的概率是． （2）解：①根据题意，加权平均数的公式得， （元）， ∴每位顾客消费的金额的平均数为元； ②∵超市每销售元，平均可获利元， ∴获利率为， ∵每位顾客消费的金额的平均数为元，超市进行了次抽奖， ∴（元）， ∵尾数不足，全部去尾折算为的倍数， ∴一等奖的奖金为（元）， 二等奖的奖金为（元）， 三等奖的奖金为 ∴这一天的盈利为（元）， ∴这一天超市共盈利约为元． 【点睛】本题主要考查用列表法或画树状图法求随机事件的概率，加权平均数的计算方法，利润的计算方法等知识的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键． 20．袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6． （1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率； （2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球， 求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先列出摸出一个小球的所有可能的结果，再找出小球上数字小于3的结果，然后利用概率公式求解即可； （2）先用表格列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果，再计算两个小球数字之和，从而得出数字之和为偶数的结果，然后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）依题意，从袋中摸出一个小球的结果有6种，即，它们每一种出现的可能性相等 其中，小球上数字小于3的结果有2种，即 故小球上数字小于3的概率为； （2）依题意，用列表法列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果如下： 4 5 6 1 （1,4） （1,5） （1,6） 2 （2,4） （2,5） （2,6） 3 （3,4） （3,5） （3,6） 其中，数字之和为偶数的结果有4种，即 故两个小球上数字之和为偶数的概率为． 【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、利用列举法求概率，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键． 21．一个不透明的盒子中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4． （1）从盒子里随机摸出一个小球，其中标号是奇数的概率是 　 　； （2）先从盒子中随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法求两次摸出的小球标号的和小于5的概率； （3）从盒子中随机同时摸出两个小球，则摸出的小球标号的和大于4的概率是 　 　． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据概率的意义，共有4种等可能出现的结果情况，其中标号为奇数的有2种，可求出相应的概率； （2）用列表法表示先摸出一个小球放回后再随机摸出一个小球，所有可能出现的结果情况，得出两次摸出的小球标号的和小于5的结果数，进而求出概率； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）从标号为1、2、3、4的小球中，随机摸出一球，共有4种等可能出现的结果情况，其中标号为奇数的有2种， 所以随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率是， 故答案为：； （2）先从盒子中随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，所有可能出现的结果情况如下： 共有16种等可能出现的结果，其中两次摸出的小球标号的和小于5的有6种， 所以P两次摸出的小球标号的和小于5==， 故答案为：； （3）随机同时摸出两个小球，所有可能出现的结果情况如下： 共有12种等可能出现的结果，其中两次摸出的小球标号的和大于4的有8种， 所以P两次摸出的小球标号的和大于4==． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键． 22．在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为﹔②函数表达式为﹔③函数的图像经过点；④函数的图像上任意一点到x轴、y轴的距离相等；⑤函数值y随x的增大而减小．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． (1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到②的概率是______； (2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率． 【答案】(1) (2)抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率是 【分析】（1）利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从盒子A中任意抽出1支签，抽到②的概率是 （2）解：列表如下： ① ② ③ ①③ ②③ ④ ①④ ②④ ⑤ ①⑤ ②⑤ ． 所有等可能结果共有6种， 其中抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有：①③；①④；①⑤；②③，共4种， ∴（抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合）． 答：抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率是． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．在1个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外，其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白色的概率为0.5． (1)求口袋中红球的个数； (2)若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球，不放回，再摸出一个，请用画树状图的方法求甲摸出两个球且得2分的概率． 【答案】(1)口袋中红球的个数是1个； (2) 【分析】（1）首先设口袋中红球的个数为x；然后由从中任意摸出一个球，这个球是白色的概率为0.5，根据概率公式列方程即可求得口袋中红球的个数； （2）根据题意画树状图，可得共有12种等可能的情况，其中甲摸出两个球且得2分的情况有4种，然后根据概率公式可得答案． 【详解】（1）解：设口袋中红球的个数为x， 根据题意得：， 解得：， ∴口袋中红球的个数是1个； （2）画树状图得： 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中甲摸出两个球且得2分的情况有4种， ∴甲摸出两个球且得2分的概率为：． 【点睛】此题考查的是概率公式的应用，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 学科网（北京）股份有限公司 $$