9.3 公式法 第2课时 课件 2024-2025学年冀教版数学七年级下册

第九章 因式分解 七下数学 JJ 9.3 公式法 课时2 完全平方公式 1.经历通过乘法公式(a±b)2 =a2±2ab+b2的逆向变形得出利用公式法分解因式的过程，发展逆向思维和推理能力. 2.会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式. 3.掌握因式分解的一般步骤,并能进行相关恒等变形、计算与求值. . 学习目标 1.因式分解： 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法 2.平方差公式法 a2-b2=(a+b)(a-b) 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式. 课堂导入 多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？你能试着将它们分解因式吗？ a2＋2ab＋b2 =a2＋ab＋ab＋b2 =a(a＋b)＋b(a＋b) =(a＋b)(a＋b) a2－2ab＋b2 =a2－ab－ab＋b2 =a(a－b)－b(a－b) =(a－b)(a－b) =(a＋b)2 =(a－b)2 提公因式 提公因式 分组 课堂导入 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 整式乘法 (a＋b)2=a2＋2ab＋b2 (a－b)2=a2－2ab＋b2 a2＋2ab＋b2=(a＋b)2 a2－2ab＋b2=(a－b)2 因式分解 课堂导入 a2+2ab+b2 a2－2ab+b2 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 知识点1 完全平方公式的结构特征 新知探究 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2 a b + b2 ± =(a ± b)² a2 首2 + +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 知识点1 完全平方公式的结构特征 新知探究 全品文教初中 例 1 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 知识点1 完全平方公式的结构特征 新知探究 对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： ③ a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )² ② m²-6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )² ① x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x+2 a a 2b a + 2b 2b m m - 3 3 x 2 m 3 知识点2 用完全平方公式分解因式 . . . 新知探究 例2 把下列各式分解因式： (1)t2＋22t＋121； (2)m2＋ n2－mn. 解：(1)t2＋22t＋121 =t2＋2×11t＋112 =(t＋11)2. 知识点2 用完全平方公式分解因式 新知探究 跟踪训练 下面的多项式能否用完全平方公式分解因式?请说明理由. (1)x2＋10x＋25； (2)4m2－4m＋l； (3)4a2＋18ab＋9b2； (4)m2－4mn＋4n2. 解：(1)能，x2＋10x＋25=x2＋2×5x＋52=(x＋5)2. (2)能，4m2－4m＋1=(2m)2－2×2m×1＋12=(2m－1)2. (3)不能，4a2＋18ab＋9b2≠(2a)2＋2×2a×3b＋(3b)2. (4)能，m2－4mn＋4n2=m2－2×m×2n＋(2n)2=(m－2n)2. 知识点2 用完全平方公式分解因式 新知探究 思考：具有什么特征的多项式能用完全平方公式分解因式? 具有a2＋2ab＋b2或a2-2ab＋b2特征的多项式能用完全平方公式分解因式. 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方的形式，就能用完全平方公式因式分解. 知识点2 用完全平方公式分解因式 新知探究 解：(1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4 =(x＋y)2－2·(x＋y)·2＋22 =(x＋y－2)2 运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫作公式法. 例3 把下列各式分解因式： (1)(x＋y)2－4(x＋y)＋4； (2)(3m－1)2＋(3m－1)＋ . 知识点2 用完全平方公式分解因式 新知探究 本题将（x+y)和（3m-1）看作一个整体，体现了整体思想的运用. 例4 把下列各式因式分解： (1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy. 解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ＝ 3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2； a2 ＋ 2ab ＋ b2 ＝ (a+b)2 (2)－x2－4y2＋4xy＝ －(x2＋4y2－4xy) ＝ －(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝ －(x－2y)2. a2 － ＋ b2 ＝ (a-b)2 2 a b 知识点2 用完全平方公式分解因式 新知探究 方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点， 一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号． 注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 知识点2 用完全平方公式分解因式 新知探究 在此处老师要强调的是因式分解的顺序：先提公因式，再用公式法 例 5 用完全平方公式分解因式： (1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式=（100－99)² (2)原式＝(34＋16)2 =1. ＝2 500. 知识点2 用完全平方公式分解因式 新知探究 例 6 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值． ＝112＝121. 解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0， ∴(x－2)2＋(y－5)2＝0. ∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5， ∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0. 知识点2 用完全平方公式分解因式 新知探究 全品文教初中 1. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2－1 D．x2－6x＋9 D 随堂练习 2. 已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于(　　) A．64 B．48 C．32 D．16 A 随堂练习 3. 分解因式： （1）x2-12x+36； （2）－4a2－8ab－4b2 ； （3）4(2a+b)2-4(2a+b)+1. 解：(1)原式 =x2-2·x·6+(6)2=(x-6)2. (2)原式 =－4(a2＋2ab＋b2)=－4(a＋b)2. (3)原式 =[2(2a+b)]² - 2×2(2a+b)×1+1²=(4a+2b - 1)2. 随堂练习 全品文教初中 4.已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 原式＝2×52＝50. 解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 　当ab＝2，a＋b＝5时， 随堂练习 5.已知a，b，c分别是三角形ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断三角形ABC的形状，并说明理由． ∴三角形ABC是等边三角形． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c， 随堂练习 公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特点 （1）多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负 完全平方公式分解因式 课堂小结 1. 整式的乘法 因式分解 公式法 2.因式分解的步骤： （1）先看多项式是否有公因式，有公因式的应先提出公因式. （2）再看能否用公式法 两项 三项 考虑能否用平方差公式 考虑能否用完全平方公式 （3）检查每一个多项式因式是否都不能再分解，能分解的继续分解到不能分解为止. 整体思想 课堂小结 $$