精品解析：安徽省淮南市第二中学2024-2025学年高三上学期第二次考试数学试题

2025届高三数学二 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知数列是等差数列，m，n都是正整数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 36 D. 6 3. 已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 5. 已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知数列满足：，，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 8. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为（ ） A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所给的称为三角形数，记三角形数构成数列，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，数列的前项和为，则 D. 若，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列的前项和为，若，，则的公差____________. 13. 某个软件公司对软件进行升级，将序列升级为新序列，中的第项为，若的所有项都是3，且，，则____________. 14. 设，，记大于的最小整数为，则____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知数列是等差数列，是其前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 17. 已知公比小于1的等比数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知函数，. （1）当时，求的严格增区间； （2）若恒成立，求的值； （3）对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 19. 规定：对于任意实数，若存在数列和实数，使，则称可以表示成进制形式，简记为：；如：，表示是一个2进制形式的数，且. （1）已知，试将表示成进制的简记形式； （2）若常数满足且，，求； （3）若数列满足，，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三数学二 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知数列是等差数列，m，n都是正整数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合等差数列的性质分别判断可得结果. 【详解】由等差数列的性质可知由，可得； 当（a为常数）时，由，推不出. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 36 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】因为为等比数列，故，故， 而，故， 所以，故（同号，负值舍去）， 故选：D 3. 已知数列的项满足，而，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B 4. 已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，按奇偶分类求和即得. 【详解】数列中，，， 当，时，，即数列的奇数项构成等差数列， 其首项为1，公差为2，则， 当，时，，即数列的偶数项构成等比数列， 其首项为1，公比为，则， 所以. 故选：C 5. 已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得数列的通项公式，进而可得，进而分为偶数与奇数两种情况求得，进而可得，求解即可. 【详解】因为数列满足，， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 因为不等式恒成立，即， 所以， 所以，， 所以解得，所以的取值范围为. 故选：D 6. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 7. 已知数列满足：，，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系，再根据累加法求的值. 【详解】由，则， 所以 所以，，…，， 各式相加得：，则. 故选：C. 8. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为（ ） A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 【答案】B 【解析】 【分析】根据“速增数列”的定义，结合累加法建立不等式并求解即得. 【详解】当时，， 因为数列为“速增数列”， 所以，且， 所以，即，， 当时，，当时，， 故正整数的最大值为63. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用累加法将与“速增数列”定义结合得到不等式，由该不等式即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所给的称为三角形数，记三角形数构成数列，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据等差数列的求和公式得到，故；BCD选项，利用通项公式得到B正确，CD错误. 【详解】A选项，由题得，……， 根据等差数列的求和公式可得，则，A正确； B选项，，B正确； C选项，，而，故，C错误； D选项，，D错误． 故选：AB 10. 数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题目所给递推公式对选项进行逐一验证，从而确定正确答案. 【详解】由已知，A正确； ，B正确； ，C错； ，D正确， 故选：ABD 11. 对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，数列的前项和为，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的，定义，分别对每个选项进行计算和分析可判断ABC，对D选项，先递推出，再利用错位相减法进行求和，即可得出，代入化简即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，因为， ，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，又时，，，故C错误； 对于D，因为， 所以，，…，， ，所以， 所以， 则 ， 所以，则，.又时也成立， 所以，， 又因， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设等差数列的前项和为，若，，则的公差____________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，结合，可得，与相减可求的值. 【详解】设的公差为， 由， 所以. 故答案为：3 13. 某个软件公司对软件进行升级，将序列升级为新序列，中的第项为，若的所有项都是3，且，，则____________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用中的第项和为表示出，利用的所有项都是3逐步计算出，，. 【详解】由题意得，，， ， 的所有项都是3， ，，， 由得，解得， 由得，解得， 由得，解得. 故答案为：8. 14. 设，，记大于的最小整数为，则____________. 【答案】253 【解析】 【分析】根据题意分析可得，取倒数可得，进而可得，进而可得. 【详解】因为， 则 ， 可得，则， 令，可得，即， 所以. 故答案为：253 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于整理，从而得出，进而分析其范围求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公比为，根据等差中项可得，根据等比数列通项公式列式求解即可； （2）由（1）可知：，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，且， 因为，，成等差数列，则， 即，可得，解得或（舍去）， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则 ， 所以. 16. 已知数列是等差数列，是其前项和，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列定义以及前项和公式计算可得，可得数列的通项公式； （2）根据错位相减法求和即可得出结果. 【小问1详解】 设的公差为， 由，可得， 解得，所以， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得 因为， 所以①， ②， ①—②得， 所以. 17. 已知公比小于1的等比数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式基本量运算求解； （2）求出通项，利用裂项相消法求和得解. 【小问1详解】 设数列的公比为，则由已知得， 整理可得，分解因式可得， 解得或，又，， . 【小问2详解】 ，，， ， . 18. 已知函数，. （1）当时，求的严格增区间； （2）若恒成立，求的值； （3）对于任意正整数，是否存在整数，使得不等式成立？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）1 （3）存在，3 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出的严格增区间. （2）利用导数求出函数的最小值，建立不等关系，构造函数求出最值即可. （3）由（2）可得不等式，再赋值并利用不等式性质，结合放缩法求出的范围即可得的最小值. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， 求导得，由，得， 所以的严格增区间为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，不符合题意； 当时，由，得，，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以. 【小问3详解】 由（2）知当时，，即， 则恒成立，当且仅当时取等号， 当，时，， 因此， 则，即， 当时，， 即当时，， 所以存在正整数，对于任意正整数，恒成立， 则的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：用对数切线不等式将放缩成等比数列的和是这题的关键. 19. 规定：对于任意实数，若存在数列和实数，使，则称可以表示成进制形式，简记为：；如：，表示是一个2进制形式的数，且. （1）已知，试将表示成进制的简记形式； （2）若常数满足且，，求； （3）若数列满足，，，求证：. 【答案】（1） （2） （3） 证明：由题意，可求得，，，，. ，， ，所以是周期为3的数列. 则 . 即. 【解析】 【分析】（1）先将拆开，再根据新定义可得到结果； （2）根据新定义得到，求比值即可； （3）先根据的条件得到各个项的数，再根据新定义得到，最后化简即可. 【小问1详解】 由题意，， 则. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $