精品解析：福建省泉州市泉港区2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

泉港区2024年秋季八年级期末教学质量监测数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，属于有理数的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数，常见的无理数有三种表示方法：开不尽方的数；用特殊字母表示的数，例如：；有特殊规律的数，例如：(每两个之间依次增加一个)． 【详解】解：A选项：是无限不循环小数，所以是无理数，故A选项不符合题意； B选项：化成小数是无限循环小数，所以是有理数，故B选项符合题意 C选项：是开不尽方的数，所以是无理数，故C选项不符合题意； D选项：是开不尽方的数，所以是无理数，故D选项不符合题意． 故答案为：B ． 2. 下列各式中，化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了求一个数的算术平方根及立方根，根据立方根，算术平方根的定义解答即可，正确掌握计算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项化简正确，符合题意； 、，原选项化简错误，不符合题意； 、，原选项化简错误，不符合题意； 、，原选项化简错误，不符合题意； 故选：． 3. 计算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方法则，即可求解． 【详解】原式==， 故选C． 【点睛】本题主要考查积的乘方法则，熟练掌握积的乘方等于各个因数的乘方的积，是解题的关键． 4. 下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A. 不能直接用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B. 是完全平方式，不能直接用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； C. 是完全平方式，不能直接用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D. ，能直接用平方差公式分解因式，故此选项符合题意， 故选：D． 5. 为了解动车经过各站后，乘车人数的变化情况，最适合使用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 以上三种都可以 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．据此解答即可． 【详解】解：为了解动车经过各站后，乘车人数的变化情况，，最适合使用的统计图是折线统计图． 故选：C． 6. 因式分解整式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【详解】解：． 故选D． 7. 化简，结果正确的是（） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的减法，解题的关键是掌握同分母分式相减．同分母分式相减，分母不变只把分子相减．据此即可解答． 【详解】解：， ， 故选：D． 8. 下列各组数中，属于“勾股数”的是（） A. 2，4，6 B. 4，6，8 C. 6，8，10 D. 8，10，12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义，注意勾股数的定义要求是正整数，按照公式进行正确的计算是解题的关键．根据满足的三个正整数，称为勾股数解答即可． 【详解】解：， 不是勾股数，不符合题意； 不是勾股数，不符合题意； 勾股数，符合题意； 不是勾股数，不符合题意， 故选：C． 9. “若，则”为原命题，则下列判定正确的是（ ） A. 原命题为真命题，逆命题为假命题 B. 原命题与逆命题均为真命题 C. 原命题为假命题，逆命题为真命题 D. 原命题与逆命题均为假命题 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题和逆命题、真命题和假命题．把一个命题的条件、结论交换位置，得到的命题是假命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．解决本题的关键是根据命题和逆命题、真命题和假命题的定义进行判断． 【详解】解：“若，则”为原命题， 它的逆命题为：＂若，则＂， 如果两个数相等，则这两个数的平方也相等， 原命题真命题； 如果两个数的平方相等，则这两个数可能相等，也可能互为相反数， 逆命题是假命题， 原命题是真命题，逆命题是假命题， 故A选项正确． 故选：A． 10. 如图，是等边三角形，是边上的高，点M是边的中点，点N是上的一个动点，当最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当A、N、M三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当A、N、M三点共线时，有最小值， 点M是边的中点， ， ∵等边中，， ∴， ， ， 故选：B． 二、填空题（共6小题，共24分） 11. 一个正方形的面积为5，则它的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形面积根式求出边长，即可得出答案． 【详解】解：边长为： 故答案为 【点睛】本题考查了算术平方根，关键是会求一个数的算术平方根． 12. 计算：___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，用字母表示为，其中且为正整数，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键．直接利用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】由 故答案为： 13. 小明在抛一枚正六面体骰子的实验中，共抛了次骰子，掷得次“六点”向上．则该实验中，掷得“六点”向上的频率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了频率，根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即“频率频数数据总数”进行计算即可，解题的关键是掌握频率的定义． 【详解】解：掷得“六点”向上的频率是， 故答案为：． 14. 在中，平分交于点，则___． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，根据等腰三角形的三线合一可得是中线，由此即可求解，掌握三线合一是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是的平分线， ∴， 故答案为：5 ． 15. 如图，利用两个含的全等直角三角板做旋转运动，绕着直角顶点将其中一块三角板逆时针旋转，使得点恰好在上．若，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识、数形结合分析是解题的关键．根据题意可得，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵含的全等直角三角板， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，由八个全等的直角三角形拼接而成，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则___． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，正确理解题意是解题关键．设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为，根据题意，得到，由勾股定理得到，进行求解即可． 【详解】解：设8个全等的直角三角形的两条直角边分别为， 则：，， ∴； 故答案为：． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据算术平方根，零指数幂，绝对值性质进行计算即可． 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值及立方根的概念，熟练掌握平方差公式及单项式乘多项式的法则，正确的进行计算，是解题的关键．先用平方差公式及单项式乘多项式的法则进行计算，化简后代值计算即可． 【详解】解：原式 当时， 19. 如图，已知，点E为的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据平行线的性质可得 ，由点E为的中点得，根据可证明． 【详解】证明：， ， ∵点E为的中点， ， 在和中， ． 20. 我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺） 【答案】 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 故原处还有尺高的竹子． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理求解． 21. 某科研单位对八年级学生“拥有理想和信念”进行问卷调查，采取随机抽样的方式进行问卷调查，结果分为五类：A．有短期理想，且信念坚定；B．有短期理想，但信念不够坚定；C．有长远的理想，且信念坚定；D．有长远的理想，但信念不够坚定；E．没有理想或者根本没有想过．（要求：本问卷为单选题，请不要多选或漏选）．根据调查数据结果绘制成以下两幅不完整的统计图： （1）试求出调查的总人数； （2）若该区共有八年级学生2800名，请根据调查结果估计，该区八年级学生中以“C．有长远的理想，且信念坚定”为拥有理想和信念的人数约为多少？ 【答案】（1）调查的总人数为100人； （2）选择“C．有长远的理想，且信念坚定”的人数约为980人． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的运用：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． （1）根据项目B的人数以及百分比，即可得到这次调查的学生人数； （2）先求得项目B的百分比，再用2800乘这个百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：(人)， 答：调查的总人数为100人； 【小问2详解】 解：， ， 答：选择“C．有长远的理想，且信念坚定”的人数约为980人． 22. 大自然中就充满了各种各样的神秘数字和规律．如，神秘的数字7，彩虹有7种颜色、音乐有7个基本音阶等；“勾股数”，能够构成直角三角形三条边．小明研究正整数时发现：有的正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，并把这类正整数称为“偶像数”．如，，则4，12称为“偶像数”． （1）试写出一个“偶像数”，并表示为两个连续偶数的平方差； （2）求证：任意的“偶像数”都能被4整除． 【答案】（1）20， （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，理解新定义，熟练掌握平方差公式的运用是解答的关键． （1）根据“偶像数”的定义写出一个“偶像数”即可； （2）根据题意用两个连续偶数的平方差表示出“偶像数”，利用平方差公式化简即可判断； 【小问1详解】 “偶像数”20 【小问2详解】 设两个连续偶数分别为和，其中n为自然数 为自然数 为整数 能够被4整除 即任意的“偶像数”都能被4整除 23. 如图，在中，，点是边上一点． （1）在外求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，试求出的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图-作角等于已知角、尺规作图-作线段等于已知线段、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出图形是解题关键． （1）首先作，然后在射线上取点，使得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，再证明，进而由勾股定理可得，然后证明为直角三角形，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如下图，点即为所求； 【小问2详解】 解：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，，即， ∴． 24. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图，图1、图2是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形． （1）请根据图1写出一个乘法公式； （2）根据图2写出一个乘法公式，并解决问题：已知，试求出阴影部分的面积； （3）如图3，点C在线段上，分别以为边作正方形和正方形，连接．若．试求出阴影部分面积． 【答案】（1） （2），45 （3）17 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积： （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可得出结论； （2）同法（1）写出乘法公式，整体代入法进行求解即可； （3）设，得到，分割法表示出阴影部分的面积，整体代入法进行计算即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积可表示为：或， ∴； 【小问2详解】 同法（1）可得：， ， ， ； 答：阴影部分的面积为45； 【小问3详解】 设， ， ， ， ，即， ； 答：阴影部分的面积为17． 25. 如图，已知中，，．点E为边上的动点，过A作，且，连结交直线于点P． （1）求证：； （2）若，点E为的中点，请求出的值； （3）若点E为射线上的动点，，试求出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和以及等角对等边即可证明； （2）过F点作于D点，先证明，再证明，即可求解； （3）不防设，则，①当点E在边上时，则，则，则，即可求解；②当点E在边的延长线上时，则，同（2）的方法可证得，此时，则，继而可求解． 【小问1详解】 证明：， ； 【小问2详解】 解：过F点作于D点，如图： ， ∵ ， 在和中 ，点E为的中点 在和中 ； 【小问3详解】 解： ∴不防设，则 ①当点E在边上时，则， 由（2）得， ②当点E在边的延长线上时，则， 同（2）的方法可证得， 综上所述，值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉港区2024年秋季八年级期末教学质量监测数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，属于有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，化简结果正确的是（ ） A. B. C D. 3. 计算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了解动车经过各站后，乘车人数的变化情况，最适合使用的统计图是（ ） A. 条形统计图 B. 扇形统计图 C. 折线统计图 D. 以上三种都可以 6. 因式分解整式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 化简，结果正确的是（） A. 1 B. 0 C. D. 8. 下列各组数中，属于“勾股数”的是（） A 2，4，6 B. 4，6，8 C. 6，8，10 D. 8，10，12 9. “若，则”为原命题，则下列判定正确的是（ ） A. 原命题为真命题，逆命题为假命题 B. 原命题与逆命题均为真命题 C. 原命题为假命题，逆命题为真命题 D. 原命题与逆命题均为假命题 10. 如图，是等边三角形，是边上的高，点M是边的中点，点N是上的一个动点，当最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，共24分） 11. 一个正方形的面积为5，则它的边长为_____． 12. 计算：___． 13. 小明在抛一枚正六面体骰子的实验中，共抛了次骰子，掷得次“六点”向上．则该实验中，掷得“六点”向上的频率是______． 14. 在中，平分交于点，则___． 15. 如图，利用两个含的全等直角三角板做旋转运动，绕着直角顶点将其中一块三角板逆时针旋转，使得点恰好在上．若，则___． 16. 我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形纸张画出内接的“赵爽弦图”，由八个全等的直角三角形拼接而成，正方形的各顶点均在正方形的边上．记正方形、正方形、正方形的面积分别为．若正方形的边长为，则___． 三、解答题（共9题，共86分） 17. 计算：． 18 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知，点E为的中点．求证：． 20. 我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（丈尺） 21. 某科研单位对八年级学生“拥有理想和信念”进行问卷调查，采取随机抽样方式进行问卷调查，结果分为五类：A．有短期理想，且信念坚定；B．有短期理想，但信念不够坚定；C．有长远的理想，且信念坚定；D．有长远的理想，但信念不够坚定；E．没有理想或者根本没有想过．（要求：本问卷为单选题，请不要多选或漏选）．根据调查数据结果绘制成以下两幅不完整的统计图： （1）试求出调查的总人数； （2）若该区共有八年级学生2800名，请根据调查结果估计，该区八年级学生中以“C．有长远的理想，且信念坚定”为拥有理想和信念的人数约为多少？ 22. 大自然中就充满了各种各样的神秘数字和规律．如，神秘的数字7，彩虹有7种颜色、音乐有7个基本音阶等；“勾股数”，能够构成直角三角形三条边．小明研究正整数时发现：有的正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，并把这类正整数称为“偶像数”．如，，则4，12称为“偶像数”． （1）试写出一个“偶像数”，并表示为两个连续偶数的平方差； （2）求证：任意的“偶像数”都能被4整除． 23. 如图，在中，，点是边上一点． （1）在外求作一点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，试求出的长． 24. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．如图，图1、图2是由若干个正方形和长方形组成的规则图形正方形． （1）请根据图1写出一个乘法公式； （2）根据图2写出一个乘法公式，并解决问题：已知，试求出阴影部分的面积； （3）如图3，点C在线段上，分别以为边作正方形和正方形，连接．若．试求出阴影部分的面积． 25. 如图，已知中，，．点E为边上的动点，过A作，且，连结交直线于点P． （1）求证：； （2）若，点E为的中点，请求出的值； （3）若点E为射线上动点，，试求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $