精品解析：广西壮族自治区崇左市宁明县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

宁明县2024年秋季学期九年级期末检测 数学 （考试时间:120分钟 满分:120分） 注意事项：1．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效； 2．不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回 一、选择题 1. 的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解. 【详解】. 故选：A. 【点睛】此题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值. 2. 抛物线的对称轴方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数对称轴的计算，掌握对称轴直线的计算公式是解题的关键 ． 根据二次函数对称轴直线计算即可． 【详解】解：抛物线的对称轴直线为， 故选：C ． 3. 2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据其概念“中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称”，由此即可求解． 【详解】解：A、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意； B、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意； C、文字上方的图案不是中心对称图形，不符合题意； D、文字上方的图案是中心对称图形，符合题意； 故选：D ． 4. 如图，是的半径，，是上的点，连接，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，进而得到答案． 【详解】解：， ． 故选：C． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．根据比例的性质，由，得，则设，得到，，然后把，，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，得到，， ∴， 故选：A． 6. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，解题关键是熟练运用待定系数法求反比例函数解析式．把点代入反比例函数，解方程求解即可． 【详解】解：把点代入反比例函数得， ， 解得， ， 该图象也过点． 故选：D． 7. 如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长到点D，连接，根据题意可得，，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】如图：延长到点D，连接 由题意得∶， ， ∴ 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，和是位似三角形，且，若点，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似三角形的性质，根据题意可得位似比为，将点的横纵坐标都乘以，即可求解． 【详解】解：和是位似三角形，且，则位似比为，点， ∴点B的坐标为， 故选：A． 9. 雁门关，位于我省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”，由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式． 【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为， ∴，， 设抛物线的表达式为， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线表达式为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的表达式，解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点、在函数的图象上，则的值为（　　） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象可知，点的横坐标为2，点的横坐标为4，设点的坐标为，则点的坐标为，再根据点、在函数的图象上，列出关于的方程，解方程得出的值，最后求出的值即可． 【详解】解：根据图象可知，点的横坐标为2，点的横坐标为4，设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点、在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，解题的关键是求出点或点的坐标． 11. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质 根据反比例函数与一次函数的图象，可知，，即可判断函数的大致图象． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第一、三象限，则， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵反比例函数与一次函数的图象有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，， ∴函数的图象与x轴有两个交点． 故选：B． 12. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升______． A. 70 B. 70或170 C. 100 D. 100或200 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，分水面在圆心下方和上方，两种情况，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示：， 由题意， 根据垂径定理，得，， ∵直径为，半径， ∴在中，， ∴ ∴中，， ∴， ①当在圆心下方时，， ②当在圆心上方时，， 故选：B． 二、填空题 13. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：； 故答案为2． 14. 将抛物线向左平移2个单位再向上平移1个单位得到新抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先根据“左加右减”的原则求出抛物线向左平移2个单位可得到抛物线，再根据上加下减”的原则可知，将抛物线再向上平移1个单位得到的抛物线． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线先向左平移2个单位可得到抛物线； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线再向上平移1个单位可得到抛物线． 故答案为： 15. 如图，在平行四边形中，点在边上，连接，交对角线于点．如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，由，则，再通过平行四边形的性质得，，则，由相似三角形的性质得，最后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定A、B、C的坐标，再根据三角形的三边关系得出，进而可得出当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值，然后求出的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：由题意可知：A、B、的坐标分别为、， ∴对称轴直线为： ∴顶点C的坐标为， 如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：， ∴当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值． 设的解析式为， 则， 解得： ∴的解析式为：， 当时，则， 则点P的坐标为 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键． 三、解答题 17. 已知二次函数（是常数）． （1）若，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）若该二次函数图象与轴没有交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系． （1）把代入，然后化为顶点式求解即可； （2）根据方程的求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴ ∴该二次函数图象的顶点坐标为 【小问2详解】 解：该二次函数图象与轴没有交点，则方程的 即 解得 18. 如图，九年级(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆的高度，已知直立在地面上的竹竿的长为．某一时刻，测得竹竿在阳光下的投影的长为 （1）请你在图中画出此时旗杆在阳光下的投影，并写出画图步骤； （2）在测量竹竿的影长时，同时测得旗杆在阳光下的影长为，请你计算旗杆的高度． 【答案】（1）图以及步骤见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，证明是解题的关键． （1）连接，过点D作，交直线于点F，线段即为旗杆在阳光下的投影； （2）证明，利用相似三角形的性质求出答案即可． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 连接，过点D作，交直线于点F，线段即为旗杆在阳光下的投影 【小问2详解】 ∵， ． ， ． ，即， ∴ 旗杆的高度为． 19. 如图，在山顶上有一座电视塔，为了测量山高，在地面上引一条基线，测得，，，已知电视塔高，求山高的值． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据直角三角形的性质找到边之间的关系，根据边之间的关系列方程求解即可． 首先设米，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可知，利用勾股定理可得米，根据等腰直角三角形两直角边相等可得，解方程求出的值即为山高的值． 【详解】解：设米，在中，， 则有(米)， （米）, 在中，， 为等腰直角三角形， ， ， 即， 解得：（米）， 即山高的值为米． 20. 我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它的黄金分割点呢？ 我们通过如下作图来达到要求： （1）过点作的垂线，并在垂线上取； （2）连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解一元二次方程，设，则，设，即，，由勾股定理得，即，然后解方程，再根据黄金分割的定义即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则，设，即，， ∵直角三角形， ∴， 即， 化简得， ∴，（舍去）， ∴ 即 ， ∴所以点为黄金分割点． 21. 如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求和双曲线的函数关系式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）把点代入，确定，分别代入，，计算即可． （2）首先求出与相交时两横坐标分别为1，3，结合不等式，运用数形结合思想求解即可． （3）分，计算即可． 【小问1详解】 把点代入，得， ∴， 把分别代入，，得， 解得， ∴，． 【小问2详解】 ∵当时，由， ∴， 去分母得， ∴， ∴与相交时两横坐标分别为1，3， 根据图象可知不等式的解集是． 【小问3详解】 ∵直线，， ∴， 设，则； ∴， ∵把的面积分成两部分， 当时，得， 解得， 故； 当时，得， 解得， 故； 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，数形结合确定解析式构成不等式的解集，三角形面积之比，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，已知，，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用秒表示运动的时间．请解答下列问题： （1）当t为何值时，是等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，列出方程即可解决问题； （2）分两种情形分别讨论：①当时，，②当时，； 【小问1详解】 解：当时，是等腰三角形， ， ． ∴当时，是等腰直角三角形 【小问2详解】 解：①当时，， ， ． ②当时，， ， ， 综上所述，当或时，以点，，为顶点三角形与相似． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 23. 如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过，的直线为． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）在两坐标轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为；点的坐标为 （2）存在，，，，，，，， 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与等腰三角形的综合，掌握代数系数法，二次函数与特殊三角形的综合，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线解析式，运用待定系数法可得二次函数解析式，根据二次函数图象与坐标轴交点的计算方法即可求解； （2）根据等腰三角形的判定和性质，分类讨论：第一种情况：当使得是以为底边的等腰三角形，点在线段的垂直平分线上，①当点在轴上时，，设；②当点在轴上时，，设；由等腰三角形的性质列式计算；第二种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点；第三种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点；由此即可求解． 【小问1详解】 解：将代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点是二次函数与轴的交点 ∴点的横坐标为0， 将带入解析式中，求得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：存在，满足题意的点，使得是等腰三角形． ∵，， ∴，且， ∴， 第一种情况：当使得是以为底边的等腰三角形，点在线段的垂直平分线上，如图所示， ①当点在轴上时，，设， ，， ， 解得，此时； ②当点在轴上时，，设， ，， ， 解得， 此时； 第二种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点，即有3个点满足要求此时，，； 第三种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点，即有3个点满足要求此时，，； 综上所述：存在，，，，，，，使得是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁明县2024年秋季学期九年级期末检测 数学 （考试时间:120分钟 满分:120分） 注意事项：1．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效； 2．不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回 一、选择题 1. 值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2. 抛物线对称轴方程是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的半径，，是上的点，连接，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 19 6. 若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（ ） A B. C. D. 7. 如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，和是位似三角形，且，若点，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 9. 雁门关，位于我省忻州市雁门山中，是长城上的重要关隘，以“险”著称，被誉为“中华第一关”，由于地理环境特殊，行车高速路上的隧道较多，如图①是雁门关隧道，其截面为抛物线型，如图②为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直直角坐标系．经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一块墨迹遮挡了横轴的位置，只留下部分纵轴和部分正方形网格，该网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点．若格点、在函数的图象上，则的值为（　　） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 11. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升______． A. 70 B. 70或170 C. 100 D. 100或200 二、填空题 13. 计算：______． 14. 将抛物线向左平移2个单位再向上平移1个单位得到新抛物线，则新抛物线对应函数表达式是______． 15. 如图，在平行四边形中，点在边上，连接，交对角线于点．如果，，那么______． 16. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为_______． 三、解答题 17. 已知二次函数（是常数）． （1）若，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）若该二次函数图象与轴没有交点，求的取值范围． 18. 如图，九年级(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆的高度，已知直立在地面上的竹竿的长为．某一时刻，测得竹竿在阳光下的投影的长为 （1）请你在图中画出此时旗杆在阳光下的投影，并写出画图步骤； （2）在测量竹竿的影长时，同时测得旗杆在阳光下的影长为，请你计算旗杆的高度． 19. 如图，在山顶上有一座电视塔，为了测量山高，在地面上引一条基线，测得，，，已知电视塔高，求山高的值． 20. 我们已经知道叫做黄金数，其近似值为，它可通过解方程得到．如图，给定一条线段，如何找出它黄金分割点呢？ 我们通过如下作图来达到要求： （1）过点作的垂线，并在垂线上取； （2）连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径画弧，交于点．则点即为所求．请你说明这样作图的道理． 21. 如图，直线都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）求和双曲线的函数关系式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）若点P在x轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点P的坐标． 22. 如图，在矩形中，已知，，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用秒表示运动的时间．请解答下列问题： （1）当t为何值时，是等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与相似？ 23. 如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过，的直线为． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）在两坐标轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$