精品解析：浙江省金华市婺城区2024--2025学年上学期九年级期末考试数学卷

2024学年第一学期九年级期末检测 数学试题卷 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.全卷分试卷I（选择题）和试卷II（非选择题）两部分，全部在答题卷上作答，卷I的答案必须用铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔答在答题卷的相应位置上． 卷 Ⅰ 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分） 1. 若，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2. 已知的半径为．若点在外，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. “在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 4. 图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（ ） 图① 图② A. 主视图与俯视图 B. 左视图与主视图 C. 左视图与俯视图 D. 左视图、主视图、俯视图均相同 5. 如图，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 8. 已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个同号不等实数根 C. 有两个异号实数根 D. 有两个相等实数根 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与、分别相交．若点的坐标是，点的坐标是．则圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得，连结，，则面积为（ ） A. B. C. D. 4 卷 Ⅱ 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 抛物线的顶点坐标是_______． 12. 在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在附近，则估计袋子中的白球有 _______个． 13. 如图，将直角三角板的锐角顶点放在上，边，与分别交于点，，连结．若，，则的半径为_________． 14. 如图，地面上点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为__________米． 15. 如图，与正八边形相切于点、，若的半径为，则的长为__________（结果保留）． 16. 如图，在菱形中，，点在上，以为边作菱形，使点在的延长线上，连结，，延长交于点．若是的中点，则__________． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．） 17. 计算：． 18. 已知，，是的三边长，且，，求的周长． 19. 某中学计划向全校学生招募“阳光小记者”．现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选． （1）若从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是________； （2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图方法，求两位女生同时当选的概率． 20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，点在网格线上不在格点上．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． （1）在图1中作的中线； （2）在图2中作的高线； （3）在图3中的边上确定点，连结，使得． 21. 对于一个任意的四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数． （1）填空：2025_____稳定数（填“”或“不是”）； （2）已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数； （3）命题“两个稳定数的和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由． 22. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，， （1）求车窗底部到地面的高度（即的长）； （2）求盲区中的长度； （3）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 23. 已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（为常数）． （1）若抛物线与轴正半轴的交点落在抛物线上，求的值； （2）已知抛物线可由抛物线绕点旋转得到，求点的坐标； （3）若在的范围内，始终存在，求的取值范围（直接写出答案）． 24. 如图1，在中，，以为直径的交，分别于点，，连接，相交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）过点作于点，交于于点，交于点（如图2）．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期九年级期末检测 数学试题卷 考生须知： 1.全卷共三大题，24小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.全卷分试卷I（选择题）和试卷II（非选择题）两部分，全部在答题卷上作答，卷I的答案必须用铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔答在答题卷的相应位置上． 卷 Ⅰ 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不给分） 1. 若，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案． 【详解】解：∵3x＝2y， ∴x：y＝2：3， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积． 2. 已知的半径为．若点在外，则的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握判断点与圆的位置关系的方法是解题的关键：若圆的半径为，当点到圆心的距离时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 按照判断点与圆的位置关系的方法进行判断即可． 【详解】解：点在外， ， 故选：． 3. “在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．根据确定事件和随机事件的定义来判断即可． 【详解】“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是随机事件 故选：C． 4. 图①是古代必备的粮食度量用具叫“斗”，图②是它的示意图，则该“斗”的三视图中图形相同的是（ ） 图① 图② A 主视图与俯视图 B. 左视图与主视图 C. 左视图与俯视图 D. 左视图、主视图、俯视图均相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示： 由三视图可知，左视图与主视图相同， 故选：B． 5. 如图，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的对应角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，求角的正弦值，过点作轴，得到，进而得到，勾股定理求出，利用正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：过点作轴，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 7. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得， 进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，， ∴， ∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°， ∴， ∴AD=4，AF=2，， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键． 8. 已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个同号不等实数根 C. 有两个异号实数根 D. 有两个相等实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程等知识点，掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为，判断方程的根的情况即是判断时x的值的情况． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是， ∴，即， ∴根的情况为求x的值情况， 由图象可知：直线与抛物线只有两个交点，即方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与、分别相交．若点的坐标是，点的坐标是．则圆心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据与轴、轴都相切，设圆心的坐标为，连接，过点作于点，设与的切点为，连接并延长，与交于点，由点的坐标是，点的坐标是，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵与轴、轴都相切， 设圆心的坐标为， 连接，过点作于点，设与的切点为，连接并延长，与交于点， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∴， 根据勾股定理：， 即， 解得：或（不合题意舍去）， ∴圆心的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，勾股定理，圆切线的性质以及垂径定理，熟练掌握相关图形的基本性质是解本题的关键． 10. 如图，在中，，，．将绕点顺时针旋转得，连结，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，角的直角三角形的性质，正确添加辅助线，将面积进行转化是解题的关键． 分别过点作，垂足为，由，将面积进行转化，再结合角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：分别过点作，垂足为， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故选：A． 卷 Ⅱ 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．） 11. 抛物线的顶点坐标是_______． 【答案】(0，-2) 【解析】 【分析】抛物线的顶点坐标为：(0，k)， 从而可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是(0，-2)， 故答案为：(0，-2)． 【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握“抛物线的顶点式”是解本题的关键． 12. 在一个不透明的袋子中有红球和白球共20个，它们除颜色外都相同，每次从袋中随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复实验，发现摸出白球的频率稳定在附近，则估计袋子中的白球有 _______个． 【答案】14 【解析】 【分析】根据口袋中两种颜色的球20个，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出白球在总数中所占比例与试验比例应该相等是解决问题的关键． 【详解】解：通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在附近， 从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为， 设袋子中的白球有个， 根据题意，得：， 解得， 估计袋子中的白球有14个， 故答案为：14． 13. 如图，将直角三角板的锐角顶点放在上，边，与分别交于点，，连结．若，，则的半径为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识，连接、，由的锐角顶点A在上，，求得，则，而，所以是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 详解】解：连接、， ∵的锐角顶点A在上，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：3． 14. 如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为__________米． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据物理性质找到求得的长度．设米，则米，由物理性质可得入射角等于反射角、，证明，得出，代入数据求得，即可求解． 【详解】解：设米， 米， 米， 由物理性质可得入射角等于反射角，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， 解得，即米． 故答案为：． 15. 如图，与正八边形相切于点、，若的半径为，则的长为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正八边形的性质，弧长公式的运用，连接、，利用正八边形的性质计算出半径和圆心角即可． 【详解】解：连接、， ∵与正八边形相切于点、， ∴， ∵六边形的内角和为，正八边形内角， ∴， ∵， ∴的长为， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，点在上，以为边作菱形，使点在的延长线上，连结，，延长交于点．若是的中点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长，交于点H，设，，先证明，得，再证明，列比例式，解方程即可解答． 【详解】解：如图，延长，交于点H， 设，， ∵四边形和四边形都菱形， ∴，，，， ∴， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（舍），， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，并与一元二次方程相结合，利用参数方程解决问题． 三、解答题（本大题有8小题，共72分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、指数幂，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数．首先根据特殊角的三角函数值把、、转化为实数，再根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： . ． 18. 已知，，是的三边长，且，，求的周长． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，设，可得，，，结合求解的值，再进一步可得答案． 【详解】解：设， 则，，． ∵， ，解得． 的周长为． 19. 某中学计划向全校学生招募“阳光小记者”．现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加小记者竞选． （1）若从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是________； （2）若从这四位竞选者中随机选出两位小记者，请用列表或画树状图的方法，求两位女生同时当选的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的应用，树状图的应用，列出结果，进行解答，即可． （1）根据概率的定义，进行解答，即可； （2）画出树状图，列出所有等可能的结果，进行解答． 【小问1详解】 解：从这四位竞选者中随机选出一位小记者，则选到男生的概率是． 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意，画出树状图，如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，丙、丁同时当选的有2种， ∴两位女生同时当选的概率是． 20. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，点在网格线上不在格点上．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图． （1）在图1中作的中线； （2）在图2中作的高线； （3）在图3中的边上确定点，连结，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查网格作图，三角形的中线、高线的定义，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）根据网格的特点找到的中点，连接，则即为所求； （2）找到的格点，连接交于点，则即为所求； （3）找到格点，连接交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 理由如下，如图所示： ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴，即， ∴是的高线 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求； 理由如下，找到格点，连接交于点， 如图所示， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 21. 对于一个任意四位数，若的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，我们称这样的四位数为“稳定数”．例如：四位数3197，因为，所以四位数3197是稳定数． （1）填空：2025_____稳定数（填“是”或“不是”）； （2）已知一个稳定数的千位数字为1，百位数字为9，求这个稳定数； （3）命题“两个稳定数和仍是稳定数”是真命题还是假命题？请说明理由． 【答案】（1）不是 （2）1908或1919 （3）是假命题，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算，真假命题的判定，二元一次方程的整数解的含义； （1）根据稳定数的定义可得答案； （2）设十位数字为，个位数字为，根据题意，得，可得，再进一步求解即可； （3）举反例可得：四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039，可得四位数5039不是稳定数，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴2025不是稳定数； 【小问2详解】 解：设十位数字为，个位数字为，根据题意，得 ∴或 所求的稳定数为1908或1919． 【小问3详解】 解：是假命题，反例如下： 四位数2817与2222都是稳定数，它们的和等于5039 然而四位数5039不是稳定数 “两个稳定数的和仍是稳定数”是假命题 22. 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．如图，、分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，分别为，与车窗底部的交点，，，垂直地面，点到点的距离．（参考数据：，，， （1）求车窗底部到地面的高度（即的长）； （2）求盲区中的长度； （3）点在上，，在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由． 【答案】（1）1.12米 （2） （3）在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质的应用，理解题意，正确利用锐角三角函数求解是解答的关键． （1）在中，利用正弦定义求解即可； （2）先得到四边形是矩形，则，再在中， 利用正切定义求解即可； （3）证明，利用相似三角形的性质求得，则可得结论． 【小问1详解】 解：在中， 答：车窗底部到地面的高度为1.12米 【小问2详解】 解：由题意：四边形是矩形 ， 在中， ， 答：盲区中的长度为 【小问3详解】 解：过点作， ，， ∴， 由，得， ∴，即， 解得：， 在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体． 23. 已知在同一平面直角坐标系内的两条抛物线，（为常数）． （1）若抛物线与轴正半轴的交点落在抛物线上，求的值； （2）已知抛物线可由抛物线绕点旋转得到，求点的坐标； （3）若在的范围内，始终存在，求的取值范围（直接写出答案）． 【答案】（1） （2）点坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴交点坐标，二次函数的几何变换，以及解绝对值方程等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）把代入，解出，，即可得出抛物线与x轴正半轴的交点为再代入，即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称，抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同，进而可得出a的值，再根据中点坐标公式即可求出点P的坐标． （3）根据题意可知，，分别求出当时和时，的值， 然后解绝对值方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入， 解得：，， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为 把代入， 得：， 解得：． 【小问2详解】 解：由题意可知抛物线与抛物线关于P成中心对称， ∴抛物线与抛物线开口大小相同，开口方向不同， ∴， ∵，抛物线顶点坐标为， 的顶点坐标为：， ∴点P的坐标为，即． 【小问3详解】 解：在的范围内，始终存在， 即， ∴， ∴， 当时，， 当时， 此时， 解得∶ ． 24. 如图1，在中，，以为直径的交，分别于点，，连接，相交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）过点作于点，交于于点，交于点（如图2）．求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得，进而可得，由三角形的内角和定理可得，于是可得，由等角对等边可得，然后利用可证得，于是结论得证； （2）由正切的定义及已知条件可得，设，则，，由（1）可得，于是可得，，，，由同弧所对的圆周角相等可得，，进而可证得，于是可得，即，由此可求得，进而可求得的值； （3）连接，由直径所对的圆周角是直角可得，即，由垂直于同一直线的两直线平行可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，由弧、弦、圆心角的关系可得，由圆内接四边形的性质可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，由两直线平行同位角相等可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，进而可得，于是可证得，由相似三角形的性质可得，即，再结合即可得出结论． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 设，则，， 由（1）可得：， ，，， ， ，， ， ， 即：， ， ； 【小问3详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ，即：， 又， ，， ， 又， ， 即：， ， 是圆内接四边形， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三角形的内角和定理，等角对等边，全等三角形的判定与性质，正切的概念辨析，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质，垂直于同一直线的两直线平行，直角三角形的两个锐角互余，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，两直线平行同位角相等等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$