精品解析：浙江省杭州市西湖区学军西溪、学军紫金港、学军海创园、学军文渊2024-2025学年高二上学期期中数学试题

杭州学军中学2024学年第一学期期中考试 高二数学试卷 一、选择题、本题共8小题、每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合补集和交集的运算求解即可. 【详解】集合， 所以集合的补集是不包含的所有实数组成的集合， 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算及复数的模计算可得. 【详解】因为，所以， 则. 故选：C. 3. 已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用代入验证法确定正确答案. 【详解】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A 4. 已知直线l不平行于平面，“”是“内存在无数条直线与l相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间几何直线和平面的位置关系求解即可. 【详解】因为直线l不平行于平面，又， 则直线与平面相交，设 则内存在无数条过点的直线与l相交， 则“”“内存在无数条直线与l相交”， 若“内存在无数条直线与l相交”，且直线l不平行于平面， 则可以. 则“内存在无数条直线与l相交”“”不成立. 故“”是“内存在无数条直线与l相交”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合指数函数、对数函数和正弦函数的单调性进行比较即可. 【详解】对于a，根据以e为底的指数函数在R上单调递增可得，， 对于b，根据以e为底的对数函数在上单调递增可得，， 对于c，，根据正弦函数在上单调递增可得， 综上可得，. 故选：C. 6. 在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】易得，则，再利用两角和的正切公式求出，即可得出最长边和最短边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】由，， 所以，所以， 又， 所以，所以，所以， 故，为最长的边， 由，得， 则， 所以（舍去）， 由正弦定理得，所以. 即最长边的长为. 故选：D. 7. 曲线的对称轴的条数为（ ） A. 9 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称点代入分别判断对称轴即可. 【详解】曲线， 设点代入曲线得，即得成立，所以曲线关于轴对称； 设点代入曲线得，即得不成立，所以曲线不关于轴对称； 设点代入曲线得，即得不成立，所以曲线不关于轴对称； 设点代入曲线得，即得不成立，所以曲线不关于轴对称； 故选：B. 8. 已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求得，由，可得，从而得到关于，的齐次式方程，解得即可. 【详解】由题意，，， 过点组平行于的直线方程为， 联立，可得， 则，，由，可得， 即，即， 即， 整理得， 两边同时除以，可得， 又，可得，则． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某中学学生会对本校高二年级1000名学生睡觉时间情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下： 一星期内23：00后睡觉的天数 0 1 2 3 4 5 6 7 23：00后睡觉人数占调查人数的百分比 4% 4% 8% m% 20% 24% 16% 10% 从表中可以得出正确的结论为（ ） A. 表中m的数值为14 B. 估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数不超过3天的约有160人 C. 估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数的众数为5 D. 估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数的第80百分位数为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：利用频率加起来为1，求解即可，选项B：利用抽样估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数不超过3天的人数即可.选项C：根据表格的可以看出5天的所占比例最高为24%，进行判断即可，选项D：利用百分位数的求法求解即可. 【详解】选项A：，故选项A正确. 选项B：一星期内23：00后睡觉的天数不超过3天的比例有：，故学校人数为：故选项B错误, 选项C：根据表格的可以看出5天的所占比例最高，为24%，故估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数的众数为5， 选项D： 一星期内23：00后睡觉的天数 0 1 2 3 4 5 6 7 23：00后睡觉人数占调查人数的百分比 4% 4% 8% m% 20% 24% 16% 10% 23：00后睡觉人数占调查人数的人数 2 2 4 12 10 12 18 5 则又表格可知，第40个人和第41个人均在6天那里，故估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数的第80百分位数为6. 故选：ACD. 10. 已知为直线上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是一个圆 B. 若，则点的轨迹是一条直线 C. 若，则点到的距离为 D. 是的一个方向向量 【答案】BC 【解析】 【分析】设，，根据所给条件，求出点的轨迹方程，即可判断A、B，利用平行线间的距离公式判断C，求出直线的一个方向向量，即可判断D. 【详解】因为点为直线上的动点， 设，，若， 则，即， 因为，所以， 显然点的轨迹是由点确定， 当确定时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A错误； 若，则，所以， 又点在直线上，所以， 即点的轨迹方程为，它是一条直线，故B正确； 若，则点到的距离即为直线与直线的距离， 即为，故C正确； 直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量为，所以不是的一个方向向量，故D错误. 故选：BC 11. 在正方体中，，点P在的内部（含边界）运动，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的取值范围为 D. 当P在棱上运动时，三棱锥外接球半径的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，由线面垂直推得，根据勾股定理可得当取最小值时最小，求解可得；B项，当重合时，取值更小可得B项错误；C项，将点面距转化为面面距，由几何直观可得体积变化情况，求出最大最小值可得；D项建立空间直角坐标系，设出球心，利用向量方法求出球心坐标与坐标关系，求解函数值域即得. 【详解】A项，如图1，连接，由平面，平面， 则，则在中，， 故当取最小值时，最小， 则当点在中点处时，，此时取最小值时（如图2）， ，故A正确； B项，如图3，连接， ，当点与重合时，等号成立， 又，故B错误； C项，由为正三角形，且边长为， 则. 如图4，连接， 由，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 则平面，同理平面， 又平面，平面，， 所以平面平面. 由点P在的内部（含边界）运动，过点作与平面平行的平面， 即与平面平行（或重合）的平面， 点到平面的距离即两平行平面的距离， 故随着此平面距离平面越来越远，三棱锥的体积越来越大. 可知当在线段上时，点到平面的距离最小， 此时； 当点在点处时，点到平面的距离最大， 如图5，连接，此时. 所以三棱锥体积的取值范围为，故C正确； D项，如图6，分别以为轴，建立空间直角坐标系， ， 则 则，则， 即即为平面的一个法向量， 由P在棱上运动，可设， 由为正三角形，则其外接圆圆心即为的重心， 由，可知四点共线， 故可设三棱锥的外接球球心，半径， 则， 又； 且， 所以，解得， 令， 则 ，当且仅当，即时等号成立. 又在上单调递增，在上单调递减， 且，故， 由，， 则当时，取最小值，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是转化化归思想应用，如C项中锥体体积范围的求解，将点面距转化为面面距更直观分析体积的变化，再就是等积变换的求解；二是空间向量方法的应用，如D项中设出球心与动点的坐标，借助空间向量揭示垂直与共线关系，从而将球心随动点的变化以及外接球半径，都利用函数关系表达出来，从而由函数值域求得最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 将直线绕点逆时针旋转得到的直线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到已知直线的倾斜角，从而得到旋转后的直线的倾斜角与斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】直线的斜率为，则倾斜角为， 又点在直线，将直线绕点逆时针旋转， 得到的直线的倾斜角为，则斜率为， 所以得到的直线方程为，即. 故答案为：. 13. 空间中，其中，且平面ABC，则的值为_______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据平面ABC，转换为的方向向量与平面ABC的法向量平行即可. 【详解】因为， 所以， 设平面ABC的法向量为， 所以，令，则， 所以 因为平面ABC， 所以，设，， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 14. 如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为________． 【答案】## 【解析】 【分析】在图形中找出使向量 在向量 上的投影取得最大值的位置，结合平面向量数量积公式计算求解. 【详解】 因为，所以取最大同时在上投影最大，则取得最大值， 如图所示，当 分别是最大的正三角形底边的端点， B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值, 所以此时取得最大值，最大值为； 因为，取最大同时在上投影最小，则取得最小值， 当 分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时， ，此时 达到最小值． 综上所述的最大值与最小值的和为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率； （1）三次点数均相同； （2）三次点数之和为8． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出基本事件总数、三次点数均相同的基本事件数，利用古典概率概型计算可得答案； （2）求出基本事件总数、三次点数之和为8的基本事件数，利用古典概率概型计算可得答案． 【小问1详解】 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，基本事件总数为(个)， 三次点数均相同的情况有 ，共6个， 所以三次点数均相同的概率为； 【小问2详解】 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，基本事件总数为(个)， 三次点数之和为8的情况有， ， ， ， 所以三次点数之和为8的概率. 16. 已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A的值． （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得. （2）使用正弦定理将边化角，再利用三角形内角和为和辅助角公式，将周长转化为一个内角为变量的最值问题，由角的范围进行求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 由余弦定理， 所以，又，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得， ∴，. ∴ 在锐角中，，， 又∵，∴，∴， 综上可得， ∴， ∴ ∴周长的取值范围为. 17. 已知圆，直线恒过定点． （1）求点的坐标； （2）若过的直线与圆交于，两点，且为正三角形，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）依题意可得，令，解得即可求出定点坐标； （2）首先得到圆心坐标与半径，依题意可得圆心到直线的距离，分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解. 【小问1详解】 直线， 即，令，解得， 所以直线恒过定点； 【小问2详解】 圆的圆心，半径， 因为为正三角形，所以圆心到直线的距离； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为a，，平行于和的平面分别与交于四点． （1）证明：四边形是矩形； （2）求三棱锥的体积（用含a的式子表示）； （3）当实数a变化时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）因为平面，平面平面，平面， 所以，同理，则. 由三棱柱可知，平面平面， 又平面平面，且平面平面， 所以，所以四边形是平行四边形. 由，平面，平面， 所以平面， 又平面，， 又平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，且平面平面， 所以. 过作平面，垂足为，在平面内过作，垂足为， 作，垂足为，连接， 所以平面，，同理，，. 因为平面，平面，， 所以平面，平面， 则，同理. 在与中，为公共边，且， 故与全等，故， 在与中，，又为公共边， 则与全等，则， 所以即为的角平分线， 又为等边三角形，故，又， 因为平面，平面，， 所以平面，平面， 所以，又，， 所以有，故四边形为矩形. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用线面平行与面面平行的性质定理先证明四边形是平行四边形，再应用面面平行的判定与性质定理证明，通过构造多对全等三角形，证明在底面的射影落在的角平分线上，从而证得，进而由线面垂直判定及性质得到，再由空间平行传递性及线线垂直关系得即可得证结论； （2）先证明三余弦关系，代入已知角求得，解求高，由体积公式可得； （3）由勾股定理求长度，再借助高的平移得，由此表示出，进而求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由为等边三角形，且边长为，则， 在中，；在中，； 在中，； 所以， 即，则， 则三棱锥的高， . 【小问3详解】 由（1）知，，则， 所以在中，， 过作平面，垂足为， 则三棱柱的高也即，由（2）知， 故即为直线与平面所成角， 则， 由，则. 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是充分应用线面、面面平行的判定与性质定理推证平行关系；二是三面角余弦关系的应用，如第（2）问中借助求得. 19. 已知椭圆的左顶点为，下顶点为．且过点． （1）求点的坐标； （2）若直线上存在一点P，上存在一点Q，使是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求实数m的取值范围； （3）若椭圆上的三个动点D，E，F满足，证明：． 【答案】（1） （2） （3） 由，则， 设，因为， 所以，设直线的方程为， 联立，整理得， 则，由，则， 则， ， 则， 又，，所以， 因为，设，直线的方程为， 联立，整理得， 则，由，则， 则， ， 则， 则 ， 由，则， 故， 故，即. 【解析】 【分析】（1）借助左顶点坐标与点坐标计算即可得； （2）借助等腰直角三角形性质可得、，设，则有或，即可得点为直线或直线与椭圆的交点，设出斜率为的直线，联立椭圆方程得到与有关一元二次方程后可得，即可得的范围，即可得的范围； （3）分别求出直线、直线的斜率，则可设出直线的方程与直线的方程，分别联立曲线，则可得与、横坐标与、横坐标关系，则可借助点坐标表示出、坐标，并可分别表示出与，两者作差，并根据点在椭圆上所得横纵坐标关系计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 即，则； 【小问2详解】 设，则，， 若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则，， 则、， 则或， 即有或， 即或， 即点为直线或直线与椭圆的交点， 设直线，联立椭圆方程，得， 若直线与椭圆有交点， 则有，即， 则有或，即； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2024学年第一学期期中考试 高二数学试卷 一、选择题、本题共8小题、每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l不平行于平面，“”是“内存在无数条直线与l相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（ ） A. B. C. D. 5 7. 曲线的对称轴的条数为（ ） A. 9 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知椭圆的两个焦点为，设过点组平行于的直线交于点Q．若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某中学学生会对本校高二年级1000名学生睡觉时间情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下： 一星期内23：00后睡觉的天数 0 1 2 3 4 5 6 7 23：00后睡觉人数占调查人数的百分比 4% 4% 8% m% 20% 24% 16% 10% 从表中可以得出正确的结论为（ ） A. 表中m的数值为14 B. 估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数不超过3天的约有160人 C. 估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数的众数为5 D. 估计该校高二年级学生中一星期内23：00后睡觉的天数的第80百分位数为6 10. 已知为直线上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是一个圆 B. 若，则点的轨迹是一条直线 C. 若，则点到的距离为 D. 是的一个方向向量 11. 在正方体中，，点P在的内部（含边界）运动，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的取值范围为 D. 当P在棱上运动时，三棱锥外接球半径的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 将直线绕点逆时针旋转得到的直线方程为_______． 13. 空间中，其中，且平面ABC，则的值为_______． 14. 如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为________． 四、解答题：本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率； （1）三次点数均相同； （2）三次点数之和为8． 16. 已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A的值． （2）若，求周长的取值范围． 17. 已知圆，直线恒过定点． （1）求点的坐标； （2）若过的直线与圆交于，两点，且为正三角形，求直线的方程． 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为a，，平行于和的平面分别与交于四点． （1）证明：四边形是矩形； （2）求三棱锥的体积（用含a的式子表示）； （3）当实数a变化时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 已知椭圆的左顶点为，下顶点为．且过点． （1）求点的坐标； （2）若直线上存在一点P，上存在一点Q，使是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求实数m的取值范围； （3）若椭圆上的三个动点D，E，F满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $