精品解析：江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年度第一学期八年级期末考试 数学试卷 （总分：150分，时长：120分钟，日期：2025．1．15） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列图案属于轴对称的是（　　） A B. C. D. 2. 在实数：，，，，，中，是无理数的共（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. ，， C. 1，1， D. 2，12，14 4. 下列说法中错误的是　　 A. 9的算术平方根是3 B. 的平方根是 C. 27立方根为 D. 立方根等于1的数是1 5. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，，若，，则的长度为（　　） A. 20 B. 13 C. 7 D. 6 7. 如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点C落在边上的点处．若是等腰三角形，则的度数为（ ） A. 36° B. 38° C. 48° D. 84° 8. 一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ） 对于函数来说，的值随值的增大而减小 函数的图象不经过第一象限 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将答案填在答题纸上） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 中国邮政在2024年7月13日发行了“封神演义（一）”邮票，在公告中公布了这套邮票的发行量为656.495万套，656.495精确到0.01的近似数为__________． 11. 若a，b为实数，且，则______． 12. 在平面直角坐标系中，线段的端点，，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 _____． 13. 已知等腰三角形的周长是，则底边长和腰长的函数关系式为_________． 14. 已知点，在函数的图像上，则______．（填、或） 15. 等腰中，，垂直平分，交所在的直线于点E，若与直线所夹的锐角是，则等腰三角形的顶角度数是________． 16. 如图，是的角平分线上的一点，，，是的中点，点是上的一个动点，若的最小值为，则的长度为____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为_____________． 18. 若过点的一次函数（k、b为常数，）的图象与一次函数有交点，则k的取值范围是______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请将答案写在答题纸相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图或画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 求下列各式中的的值； （1）； （2）． 21. 如图，点E、A、C在同一直线上，AB∥CD，∠B＝∠E，AC＝CD．求证：BC＝ED． 22. 已知：实数a，b满足． （1）求a和b的值； （2）求的平方根． 23. 如图，在直角坐标系xOy中，直线l过和两点，且分别与x轴，y轴交于A，B两点． （1）求直线l的函数解析式． （2）若点C在x轴上，且面积为6，求点C的坐标． 24. 如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点的坐标为______； （3）若Q为x轴上一点，连接，则求出当周长最小时Q点坐标． 25. 如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E． （1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数； （2）若AE＝5，△BCD的周长17，求△ABC的周长． 26. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整过行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离与甲车行驶时间之间的函数关系如图示．请回答下列问题． （1）两城相距 km，甲车的速度是 ．乙车的速度是 ． （2）求乙车追上甲车所用的时间． 27. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，，则点A与点B的“识别距离”为 ． 【深入应用】 （2）已知点，点B为y轴上一个动点， ①若点A与点B的“识别距离”为4，求出满足条件的点B的坐标； ②点A与点B的“识别距离”的最小值为 ． 【知识迁移】 （3）已知点，，直接写出点C与点D“识别距离”的最小值及对应的C点坐标． 28. （1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形． （2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标； （3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝－2x＋2的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期八年级期末考试 数学试卷 （总分：150分，时长：120分钟，日期：2025．1．15） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案填涂在答题纸上） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列图案属于轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，故是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 在实数：，，，，，中，是无理数的共（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，3等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：是有限小数，属于有理数，是整数，属于有理数，是分数，属于有理数， ，，是无理数共有3个， 故选：C． 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. ，， C. 1，1， D. 2，12，14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数满足的两个条件：较小两数的平方和等于较大数的平方，三个数均为正整数，进行判断即可． 【详解】解：A、，是勾股数，符合题意； B、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选A． 4. 下列说法中错误的是　　 A. 9的算术平方根是3 B. 的平方根是 C. 27的立方根为 D. 立方根等于1的数是1 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出每个的值，再判断即可． 【详解】解：A、9的算术平方根是3，故本选项错误； B、的平方根是，故本选项错误； C、27的立方根是3，故本选项正确； D、立方根等于1的数是1，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了对算术平方根，平方根，立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 5. 一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数y=−2x+3中的k=−2<0，b=3>0， ∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键． 6. 如图，，若，，则的长度为（　　） A. 20 B. 13 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握对应边相等的性质是关键．由全等的性质可得，，则由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】解：， ∴，， ， 故选：D． 7. 如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点C落在边上的点处．若是等腰三角形，则的度数为（ ） A. 36° B. 38° C. 48° D. 84° 【答案】C 【解析】 【分析】由在中可得，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 由折叠可知， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关的性质和定理是解答本题的关键． 8. 一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ） 对于函数来说，的值随值的增大而减小 函数的图象不经过第一象限 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，根据函数图象直接得到结论；根据、的符号即可判断；当时，；当时，根据图象得不等式，利用数形结合是解题的关键． 【详解】解：由图象可得：对于函数来说，随的增大而减小，故正确； 由于，， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴， ∴，即，故正确； 当时，，，由图象可知， ∴，故错误； 综上都正确，故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将答案填在答题纸上） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 中国邮政在2024年7月13日发行了“封神演义（一）”邮票，在公告中公布了这套邮票的发行量为656.495万套，656.495精确到0.01的近似数为__________． 【答案】656.50 【解析】 【分析】本题考查近似计算，用四舍五入法按精确到哪一位取近似值时，先找到相应的数位，再将其后紧跟的一位数字四舍五入取近似值． 【详解】解：656.495精确到0.01的近似数为656.50， 故答案为：656.50． 11. 若a，b为实数，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性、求算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键．根据算术平方根和偶次方的非负性可得，从而可得的值，再代入计算算术平方根即可得． 【详解】解：∵为实数，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 12. 在平面直角坐标系中，线段的端点，，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的平移法则：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答即可． 【详解】解：点，点的对应点的坐标是， 将点向左平移个单位，向下平移个单位，得到C， ∴，向左平移个单位，向下平移个单位，得到的对应点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 13. 已知等腰三角形的周长是，则底边长和腰长的函数关系式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，列函数关系式，理解等腰三角形的“腰”为相等的两边是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故答案：． 14. 已知点，在函数的图像上，则______．（填、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，，y随x的增大而减小，结合，计算即可，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵点，在函数的图像上， ∴，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 等腰中，，垂直平分，交所在的直线于点E，若与直线所夹的锐角是，则等腰三角形的顶角度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．分情况求解是解题的关键． 由题意知，分是锐角三角形，是钝角三角形，两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分是锐角三角形，是钝角三角形，两种情况求解； 当是锐角三角形，如图1， ∵垂直平分，与直线所夹的锐角是， ∴， ∴； 当是钝角三角形，如图2， 同理，∴， ∴； 综上所述，等腰三角形的顶角度数是或， 故答案为：或． 16. 如图，是的角平分线上的一点，，，是的中点，点是上的一个动点，若的最小值为，则的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点P作PN⊥OB，垂足为N，根据角平分线的定义可得∠AOP=∠AOB=30°，再根据直角三角形的性质求得PD=OP，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到PD的长，继而根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求得结果． 【详解】如图，过点P作PN⊥OB，垂足为N， ∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°， ∴∠AOP=∠AOB=30°， 又∵PD⊥OA， ∴PD=OP，PN=PD， ∵点C是OB上一个动点， ∴PC的最小值为P到OB距离，即PN=PC的最小值=3， ∴PD =3， ∴OP=6， 又∵M是OP的中点， ∴DM=OP=3， 故答案为3. 【点睛】本题考查了角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，勾股定理，通过全等三角形求出点C的坐标是解题的关键．过点C作x轴的垂线，求出点C的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，． 在中，． 故答案为：． 18. 若过点的一次函数（k、b为常数，）的图象与一次函数有交点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 画出函数图象，用待定系数法分别求出一次函数过点，时的函数解析式和过点，时的函数解析式，然后结合“过点的一次函数的图象与一次函数有交点”即可得出答案． 【详解】解：如图， 一次函数的两个端点分别为，， 当一次函数过点，时，则有： ， 解得：， 此时，一次函数的解析式为； 当一次函数过点，时，则有： ， 解得：， 此时，一次函数的解析式为； 过点的一次函数的图象与一次函数有交点， 取值范围是：， 故答案：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请将答案写在答题纸相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图或画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根，立方根的含义，化简绝对值，零次幂，实数的运算，掌握各自的运算法则是解本题的关键； （1）先分别求解算术平方根，立方根，再合并即可； （2）先计算乘方，化简绝对值，零次幂，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 20. 求下列各式中的的值； （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平方根以及立方根的定义，正确把握相关定义解方程是解题关键． （1）直接利用平方根的定义开平方求出答案； （2）直接利用立方根的定义开立方求出答案． 【小问1详解】 解：， ， 则； 【小问2详解】 ， ， 则． 21. 如图，点E、A、C在同一直线上，AB∥CD，∠B＝∠E，AC＝CD．求证：BC＝ED． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用AAS定理证明△ACB≌△CED，根据全等三角形的对应边相等证明即可． 【详解】证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ECD， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ACB≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键． 22. 已知：实数a，b满足． （1）求a和b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质、绝对值以及平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a与b的值即可； （2）将a与b的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题可知，，， 解得：，； 小问2详解】 ， 的平方根为； 23. 如图，在直角坐标系xOy中，直线l过和两点，且分别与x轴，y轴交于A，B两点． （1）求直线l的函数解析式． （2）若点C在x轴上，且的面积为6，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解； （2）表示出点C的坐标，根据的面积为6，求出线段OC的长，分类讨论即可得出结果． 【小问1详解】 解：设直线l的函数解析式为． 直线l过和两点， 解得 直线l的函数解析式为； 【小问2详解】 点C在x轴上， 设 ， 当时， ， ， 的面积为6， ， 点C的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数，点坐标的求法，熟练掌握待定系数法，灵活运用直角坐标系中的面积计算是解题的关键，分类讨论C点的坐标是易错点． 24. 如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1． （1）画出关于y轴对称的图形； （2）将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点的坐标为______； （3）若Q为x轴上一点，连接，则求出当周长的最小时Q点坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换以及平移变换作图以及勾股定理的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （1）根据轴对称的性质，即可得到关于轴对称的图形； （2）依据平移的方向和距离，即可得到点的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时的值最小， 由于的值是定值，所以此时周长的最小，再求出直线的函数关系式，最后求出其与x轴交点坐标即可． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 将点先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的值最小， 由于的值是定值，所以此时周长的最小， 设直线的函数关系式为：，将代入得： ，解得：， 所以直线的函数关系式为：， 令,得，解得， 所以Q点坐标为． 25. 如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E． （1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数； （2）若AE＝5，△BCD的周长17，求△ABC的周长． 【答案】（1）∠DCB＝30°；（2）27． 【解析】 【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案； （2）根据DE垂直平分AC得到DA＝DC，EC＝EA＝5，根据△DCB的周长为16，通过等量代换即可求得△ABC的周长． 【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠ACB70°， ∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∴在△DAC中，∠DCA＝∠A＝40°， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°； （2）∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC，EC＝EA＝5， ∴AC＝2AE＝10， ∴△ABC的周长为：AC+BC+AB= AC+BC+BD+DA＝AC +BC+BD+DC＝10+17＝27． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，熟练掌握相关性质是解题关键． 26. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整过行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离与甲车行驶时间之间的函数关系如图示．请回答下列问题． （1）两城相距 km，甲车的速度是 ．乙车的速度是 ． （2）求乙车追上甲车所用的时间． 【答案】（1） （2）小时 【解析】 【分析】（1）由函数图象上点的坐标的含义可得两城相距，再利用路程除以时间可得甲乙的速度； （2）设乙车追上甲车所用的时间为小时，则甲所用时间为小时，利用路程相等列方程即可． 【小问1详解】 解：由图象可得：两城相距300km， 甲车的速度是（） ．乙车的速度是（）． 【小问2详解】 设乙车追上甲车所用的时间为小时， 由题意可得，， 解得， ∴乙车出发后小时追上甲， 【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，一元一次方程的应用，理解坐标含义是解本题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，，则点A与点B的“识别距离”为 ． 【深入应用】 （2）已知点，点B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“识别距离”为4，求出满足条件的点B的坐标； ②点A与点B的“识别距离”的最小值为 ． 【知识迁移】 （3）已知点，，直接写出点C与点D“识别距离”的最小值及对应的C点坐标． 【答案】（1）3；（2）①或；②2；（3）点C与D的“识别距离”的最小值为；相应的C点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据新定义分别计算，结合，可得答案； （2）①设点B的坐标为，根据“识别距离”的定义可得，化简绝对值即可得； ②根据“识别距离”的定义分情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可； （3）先求出时的值，再根据“识别距离”的定义分三种情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可． 【详解】解：（1）∵点， ∴，而， ∴点与点的“识别距离”为3； （2）①设点的坐标为，而， ， ∴点与的“识别距离”为， 解得：， 则点的坐标为或； ②点的坐标为，而， ， 若，则点的“识别距离”为； 若，则点的“识别距离”为． ∴点与点“识别距离”的最小值为2． 故答案为：2． （3）由得：或， 解得：或， 因此，分以下三种情况： 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 由此可知，点与点的“识别距离”的最小值为， 此时， 则点C的坐标为． 【点睛】本题考查了新定义的含义，点坐标，绝对值运算，解一元一次方程，不等式的性质等知识点，较难的是题（3），理解新定义，正确分情况讨论是解题关键． 28. （1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形． （2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标； （3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝－2x＋2的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）（6，0） 【解析】 【分析】（1）证明△ABE≌△ECD （SAS），由全等三角形的性质得出AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，则可得出结论； （2）过点C作CH⊥x轴于点H，证明△AOB≌△CHA，从而得到AH、CH，则可得到点C的坐标； （3）过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，由一次函数解析式求出OA＝2，OB＝1，证明△AOB≌△BFE（AAS），由全等三角形的性质得出BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，求出E点坐标，求出直线AC的解析式，则可得出答案． 【详解】证明：在△ABE和△ECD中， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴△AED是等腰直角三角形； （2）解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图2， 则∠AHC＝90°． ∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°， ∴∠OAB＝180°−90°−∠HAC＝90°−∠HAC＝∠HCA． 在△AOB和△CHA中， ∵， ∴△AOB≌△CHA（AAS）， ∴AO＝CH，OB＝HA， ∵A（2，0），B（0，3）， ∴AO＝2，OB＝3， ∴AO＝CH＝2，OB＝HA＝3， ∴OH＝OA＋AH＝5， ∴点C的坐标为（5，2）； （3）解：如图3，过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F， 把x＝0代入y＝−2x＋2中，得y＝2， ∴点A的坐标为（0，2）， ∴OA＝2， 把y＝0代入y＝−2x＋2，得−2x＋2＝0，解得x＝1， ∴点B的坐标为（1，0）， ∴OB＝1， ∵AO⊥OB，EF⊥BD， ∴∠AOB＝∠BFE＝90°， ∵AB⊥BE， ∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°， ∴AB＝BE，∠ABO＋∠EBF＝90°， 又∵∠ABO＋∠OAB＝90°， ∴∠OAB＝∠EBF， 在△AOB和△BFE中， ， ∴△AOB≌△BFE（AAS）， ∴BF＝OA＝2，EF＝OB＝1， ∴OF＝3， ∴点E的坐标为（3，1）， 设直线AC的解析式为y＝kx＋b， 由题意可得：， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x＋2， 令y＝0，解得x＝6， ∴D（6，0）． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$