精品解析：山东省青岛第九中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

2024-2025 高三上期末（青岛九中） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得到，，利用交集概念求出答案. 【详解】， 由，解得，故， 故. 故选：B 2. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的平移规则即可得解. 【详解】因， ， 所以将的图象向左平移个单位可得到的图象. 故选：B. 3. 若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题知也是关于x的方程的一个根，进而结合韦达定理求解即可. 【详解】因为（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，所以，也是关于x的方程的一个根， 所以，由韦达定理得： 所以，. 故选：B 4. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 【详解】依题意，在方向上的投影向量为，则，而， 所以. 故选：A 5. 过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（ ）条 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】易知当直线轴时，满足题意的不存在；当不垂直轴时，结合双曲线的几何性质和弦长公式建立方程求出直线的斜率即可. 【详解】由题意知，，则. 若直线轴时，，代入方程， 解得，所以，此时直线不满足题意； 当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时， 设，， ，消去得， 则， 所以 ， 又，所以，整理得， 得或，解得（舍去）或， 所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条. 综上，满足题意的直线有2条. 故选：C 6. 在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由内切球切点的截面性质，确定内切圆的圆心与半径，从而结合勾股定理得四棱台的高度，再由外接球几何性质建立关系得外接球的半径，从而得所求. 【详解】因为正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形的内切圆，圆心为， 设上下底面中心分别为． 过作于，连接， 由图可知， 则， 过作于，， 即四棱台的高为， 设外接球球心为，设外接球的半径为， 则 ， 解得， 则外接球表面积为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关于正四棱台的内切球问题，关键是要通过截面法确定内切圆的圆心与半径，从而转换为几何体的内切球，由几何性质确定正四棱台的高度，从而再根据外接球的性质求解外接球半径，即可得所求。 7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系的向量表示可得，且为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算可得，可求得离心率. 【详解】如下图： 由可得，即， 又，可得为的中点，故， 又，故为等边三角形， 设的边长为， 由双曲线定义可知，，， 所以，， 又，故，故， 在中，由余弦定理可得， 即，可得 故. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用向量数量积得出垂直关系，再由等边三角形性质以及双曲线定义，结合余弦定理计算可得离心率. 8. 设函数，则（ ） A. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点 B. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点 C. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点 D. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点 【答案】A 【解析】 【分析】函数分段去绝对值，利用导数分类讨论函数单调性，根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】去绝对值可得. 时，，因此函数在单调递增； 时，. （i）时，，因此在单调递增. 当时，，，因此在区间有零点，且在区间和都没有零点； 当时，，故在区间和都没有零点，故C选项和D选项均错误. （ii）时，令得，因此函数在区间单调递减，在单调递增. 当时，. （1）时，在区间存在唯一零点，而在区间没有零点. （2）时，在区间没有零点. 当时， ①时，，因此在区间和都有零点，此时，故在区间也有零点. ②时，在区间没有零点. 综上所述，本题正确答案是A. 故选：A 【点睛】方法点睛： 本题考查分段函数、函数与导数，先分段处理绝对值函数，利用导数分类讨论函数单调性，根据零点存在定理探讨在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点或都没有零点对应的情况，本题分类较多，运算时间长，若要分析完善，将耗费大量时间. 二、多选题 9. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示： 过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 10. 在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且（），定义，称“”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”，下列结论中正确的是（ ） A. 该函数的图像与直线有公共点 B. 该函数的一个对称中心是 C. 该函数是偶函数 D. 该函数的单调递增区间是， 【答案】BD 【解析】 【分析】由正余弦函数定义可得，利用正弦型函数的性质，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】∵，， ∴， A：，则，即该函数的最大值为，其图像与直线无公共点，错， B：，该函数图像关于点对称，对， C：图像不关于轴对称，不是偶函数，错， D：，由得，，即该函数单调递增区间为，，对， 故选：BD. 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于B，利用代入易得；对于C，先求得三棱锥的体积，由球面的体积即得；对于A，由条件知三边为，推得排除A，对于D，由余弦定理和题设可得，取特殊值即可排除D. 【详解】对于A，因等边三角形的面积为，则， 又，故则，故A错误； 对于B，由可得，故，即B正确； 对于C，由可得，故. 由正弦定理，的外接圆半径为，点到平面ABC的距离， 则三棱锥的体积, 而球面的体积，故C正确； 对于D，由余弦定理可知由可得，， 即，化简得，． 取，则，则，故D错误． 故选：BC 三、填空题 12. 已知函数，若有零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的零点，进而建立函数关系求出范围. 【详解】函数，由，得， 因此，， 所以的取值范围为. 故答案为： 13. 甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可知游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12，分别计算出所对应的排列总数即可得出结论. 【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张， 且甲抽取的三张卡片数字之和为12，乙抽取的两张卡片数字之和不为12； 总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共种排法； 其中三张卡片数字之和为12的组合有；；；；共5种情况； 当甲抽取的数字为；；；时， 乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为时， 若乙抽取的两张卡片数字可能为，此时不合题意，此时共有种； 所以符合题意的排列总数为种， 而基本事件的总数为 可得所求概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及数字之和的所有情况，再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论. 14. 函数的图象是等轴双曲线，其离心率为，已知对勾函数的图象也是双曲线，其离心率为．则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到双曲线的两条渐近线方程分别为，，根据双曲线的对称性可得渐近线与实轴的夹角为，即，利用二倍角公式求出，最后由离心率公式计算可得. 【详解】由对勾函数的性质可在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，当时，且函数为奇函数，函数图象关于原点对称， 双曲线的方程为， 双曲线的两条渐近线方程分别为，， 渐近线与实轴的夹角为，， ，解得或（舍去）， ， ． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是得到双曲线的两条渐近线方程，从而得到渐近线与实轴的夹角. 四、解答题 15. 某校高一学生共有人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长与学业成绩的数据表： 平均作业时长（单位：小时） 学业成绩优秀： 学业成绩不优秀： （1）试判断：是否有的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于小时且小于小时有关？ （2）常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比，现从所有高一学生中任选一人，表示“选到的是男生”，表示“选到的学生成绩优秀”，若，求． 附：，． 【答案】（1）有把握； （2）. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算的观测值并与临界值比对即可得解. （2）设，根据给定条件，利用条件概率公式、结合互斥事件的加法公式列出方程求解. 【小问1详解】 列联表数据如下： 时长 其他 总计 优秀 不优秀 总计 所以有的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于小时且小于小时有关． 【小问2详解】 设，则， 由，得， 而，则． 又，于是， 得，即， 而，因此， 由，得，所以. 16. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. （1）求的和公比; （2）求; （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）4 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值； （2）由（1）得，用错位相减法求和； （3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，前项和为，则， 所以， 因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以的和公比为4； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 相减得， 所以； 【小问3详解】 设， ， ，是递增数列， 不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立， 当为奇数时，，则， 当为偶数时，，则， 综上，的取值范围是． 17. 函数． （1）求在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义计算可得； （2）求出函数的导函数，令，，利用导数说明函数的单调性，从而得到的单调性，求出，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 则，又， 所以在处的切线方程为； 【小问2详解】 因为，， 令，，则， 因为在上单调递增，，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， ，， 所以，使得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 又，，所以， 所以，即的取值范围为． 18. 已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于两点，且的最小值为. 分别过两点作该抛物线的切线，交于点. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线的平行线交抛物线于两点，分别记 的面积为，，求出的取值范围； （3）分别以与为直径作圆，记两圆交点为，以为直径作圆，求该圆的面积取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设直线为，联立抛物线方程得到，再利用弦长公式得到，结合条件，即可求解； （2）设点，利用导数的几何意义，结合条件得到直线为，过点作轴的垂线，交于，从而得到，再通过换元得到，其中，令，再利用导数与函数单调间的关系，求得的单调区间，即可求解； （3）利用（2）中结果可得在以为直径的圆上，也在以为直径的圆上，从而，再数形结合，即可求解. 【小问1详解】 分别记的坐标为，易知直线的斜率存在，设直线为， 联立抛物线方程有，则有， 所以，当且仅当时取等， 所以，解得，所以抛物线方程为. 【小问2详解】 分别设抛物线在两点处的切线为，对该二次函数求导有， 所以，也即，也即． 同理，处切线，也即， 设点，则有， 所以直线，也即， 因为直线经过焦点，所以解得， 所以，所以的轨迹为准线， 联立直线与抛物线有，所以， 过作轴的垂线交直线于点，则有，则有， 所以的面积， 同理直线为，联立抛物线得：， 分别记的坐标为， 则有， 过作轴的垂线交直线于点，则有，则有， 所以的面积， 所以，令，则有，则， 又令，则有， 令，则有， 所以在单调递减，所以的取值范围是． 【小问3详解】 由（2）知，直线为，则有， ， 所以， 所以，所以在以为直径的圆上， 同理，也在以为直径的圆上，所以两圆的相交弦即为，也即， 由图可得，当且仅当轴时取等，此时以为直径的圆面积为， 所以的取值范围是，所以以它为直径的圆面积范围是． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，一是利用导数的几何意义求出切线方程；二过点作轴的垂线，交于，从而得到，再通过转化，构造函数，利用导数，求解最值即可求解. 19. 在空间直角坐标系Oxyz中，这点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）已知直线的方程为，直线的方程为．请分别写出直线和直线的一个方向向量． （2）若直线与都在平面内，求平面的方程； （3）若集合中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）的一个方向向量；的一个方向向量（答案不唯一，符合题意即可） （2） （3）的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据题意即可得直线的方向向量； （2）由直线方程可得两直线经过的点及方向向量，利用两方向向量求得平面的法向量，结合点与法向量可得平面方程； （3）由集合可知各面所在平面的方程，利用各面与坐标轴的交点坐标作出图形，结合几何体的对称性求解体积；利用向量夹角求解面面角可得. 【小问1详解】 因为直线的方程为，即，可知直线的一个方向向量； 直线的方程为，即，可知直线的一个方向向量. 小问2详解】 由题意可知：直线过点，且其一个方向向量为， 直线过点，且其一个方向向量为， 则为平面内一点. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 所以平面的方程为，即. 【小问3详解】 由集合可知， 多面体与坐标轴交于各点，，如图所示， 可知四边形为正方形， 边长， 所以，正方形的面积为， 而正四棱锥的高为， 则， 所以多面体的体积为. 由集合中所有的点构成了多面体的各个面， 点均满足方程. 可知平面的方程为，且该平面的一个法向量为， 同理可知，平面的方程为，该平面的一个法向量为， 平面的方程为，该平面的一个法向量为， 所以. 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为. 故多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为. 综上，的体积为，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 高三上期末（青岛九中） 一、单选题 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 3. 若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 5. 过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（ ）条 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 7. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在C的左、右两支上，且M，N，三点共线，，且，若，则C的离心率（ ） A. B. C. 3 D. 8. 设函数，则（ ） A. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点 B. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点 C. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点 D. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点 二、多选题 9. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 10. 在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且（），定义，称“”为“正余弦函数”.对于“正余弦函数”，下列结论中正确的是（ ） A. 该函数的图像与直线有公共点 B. 该函数的一个对称中心是 C. 该函数是偶函数 D. 该函数的单调递增区间是， 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球的半径为R，A，B，为球面上三点，劣弧BC的弧长记为，设表示以为圆心，且过B，C的圆，同理，圆的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 三、填空题 12. 已知函数，若有零点，则的取值范围为______． 13. 甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是______. 14. 函数的图象是等轴双曲线，其离心率为，已知对勾函数的图象也是双曲线，其离心率为．则______． 四、解答题 15. 某校高一学生共有人，年级组长利用数字化学习软件记录每位学生每日课后作业完成的时长，期中考试之后统计得到了如下平均作业时长与学业成绩的数据表： 平均作业时长（单位：小时） 学业成绩优秀： 学业成绩不优秀： （1）试判断：是否有的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于小时且小于小时有关？ （2）常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比．已知该校高一学生女生中成绩优秀的学生占比，现从所有高一学生中任选一人，表示“选到的是男生”，表示“选到的学生成绩优秀”，若，求． 附：，． 16. 设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. （1）求和公比; （2）求; （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 17. 函数． （1）求在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求的取值范围． 18. 已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于两点，且的最小值为. 分别过两点作该抛物线的切线，交于点. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线的平行线交抛物线于两点，分别记 的面积为，，求出的取值范围； （3）分别以与为直径作圆，记两圆交点为，以为直径作圆，求该圆的面积取值范围. 19. 在空间直角坐标系Oxyz中，这点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为． （1）已知直线方程为，直线的方程为．请分别写出直线和直线的一个方向向量． （2）若直线与都在平面内，求平面的方程； （3）若集合中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$