精品解析：广东省广州市2024-2025学年高三上学期12月调研测试数学试卷

2025届广州市高三年级调研测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算． 【详解】， 故选：C． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算． 【详解】或，， 所以， 故选：D． 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的投影坐标公式可求投影向量的坐标. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 4. 已知，，则（ ） A. B. m C. 0 D. 2m 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式化简，再结合切化弦，即可求解. 【详解】 由，切化弦，可得 所以， 所以， 故选：A 5. 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是.若事件“为偶数”，事件“，中有偶数且”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，有放回的随机取球两次， 则所有可能情况有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36个结果，即， 因为事件“，中有偶数且”， 则事件包含的基本事件有，，，，，，， ，，，，，，，，，， ，，，，，，， 所以， 因为事件“为偶数”， 事件“，中有偶数且”， 所以事件“，均为偶数且”， 则事件包含的基本事件有，，，，，， 所以， 所以. 故选：. 6. 已知点在函数的图像上，若恒成立，且在区间上单调，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数在区间上单调可得的范围，再由三角函数对称性与周期性的关系求得周期，进而可得，再由最值求得 【详解】因为在区间上单调，所以，可得， 解得，且，所以， 又点在函数的图像上，所以是函数的一个对称中心， 又恒成立，即是函数的一条对称轴， 所以， 若，则，此时，可得，满足条件， 若，则，此时，可得，不满足条件， 所以， 又恒成立，所以， 即，即，又， 所以，则. 故选：B 7. 已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理逆定理得，取中点，则是的外心，由三棱锥性质得平面，从而得外接球球心在上，的外接圆就是球的大圆，由正弦定理求得的外接圆的半径即得球半径，再由面积公式计算． 【详解】由已知，所以， 取中点，则是的外心， 又，所以点在底面上的射影是的外心，即为， 所以平面，因此外接球球心在上，的外接圆就是球的大圆， ，所以， ，，这就是外接球的半径， 外接球表面积为， 故选：C． 8. 已知函数的定义域为R，且，，则（ ） A. B. 4 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出，并探讨函数的性质，再结合周期性求值. 【详解】函数的定义域为R，且，， 则，则 于是，因此，即， 函数是以3为周期的周期函数， 取，得，即，解得， 取，得，即，解得， 因此， 所以原式. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据有，，…，是公差为d（）的等差数列，去掉首末两项后得到一组新数据，则（ ） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的上四分位数相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的性质，结合极差，中位数，平均数以及百分位数的定义，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】不妨设， 对于A，原数据的极差为，去掉之后的极差为， 所以极差不同，故A错误； 对于B，原数据的中位数为，去掉之后的中位数仍为， 即中位数不变，故B正确； 对于C，原数据的平均数为， 去掉之后的平均数为， 即平均数不变，故C正确； 对于D，原数据的第百分位数为，即第个数据， 去掉之后的第百分位数为，即第个与第个数据的平均数， 即，即上四分位数不相同，故D错误； 故选：BC 10. 已知抛物线C:的准线与圆:相切，为上的动点，为圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当为正三角形时，直线与圆相离 C. 的最小值为 D. 有且仅有一个点，使得 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离即可求解；B选项，由正三角形求得直线方程即可判断；C选项，结合抛物线定义可得三点共线时，可求最小值即可；D选项，直接设点坐标进行求解即可得. 【详解】A选项，抛物线的准线为，设准线与x轴交点为D， 圆的圆心到直线的距离显然是， 因为准线和圆相切，所以，A选项正确； B选项，因为为正三角形时， 所以， 又,在直角三角形中，， 所以, 所以此时直线方程为：， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故B错误； C选项，， 当且仅当（P在F，M之间）三点共线时，等号成立， C选项正确； D选项， 设，由可得，又， 又，根据两点间的距离公式，， 整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项错误. 故选：AC. 11. 设直线与函数图象的三个交点分别为，且，则（ ） A. 图象的对称中心为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：验证是否成立即可得；对B：结合函数性质可得，，即可得解；对C、D：由题意可得、，则可借助表示出及，即可得解. 【详解】对A： ， 故图象的对称中心为，故A正确； 对B：， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又，，故，， 由题意可得， 即有， 则、，， 故，故B错误； 对C：由，则，又， 即， 又，则，故，故C正确； 对D： ， 由，则，故， 又，故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助得到、，. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以得到，求出，再由余弦定理求出的值，最后根据双曲线定义即可求解. 【详解】由题意知，为正三角形，且，关于轴对称， 所以，且， 所以，， 由余弦定理得， 由双曲线定义得，即， 所以. 故答案为：. 13. 随机将1，2，…，（，）这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最大数为a，B组最大数为b，记.当时，的数学期望______；若对任意，恒成立，则c的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】由题意不妨设，则随机变量，进而由转化为求，先求的概率分布列再求期望公式；当时代入公式可得，再由恒成立结合函数值域求的范围可得. 【详解】由题意，由对称性，不妨设， 则， ，则. 下面先求，即从中随机取个数，这个数中最大数的期望. 则从中随机取个数，共有种取法. ，指个数中最大数为（）， 即取后，再从个数中取个数，则这样的取法有种， 则由古典概型概率公式知. 由组合数性质，则， 又， 则 ， 故. （1）故当时，； （2）若对任意，恒成立，则恒成立， 设，则在单调递增， 由，则单调递增，当时，， 即， 故当，要使恒成立，则. 即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：解决此题关键在于两点，一是应用组合数性质进行裂项求和；二是利用公式将变系数转化为常系数. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤. 14. 的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合辅助角公式即可求解； （2）由正弦定理求得，再由余弦定理求得，结合面积公式求解. 【小问1详解】 由 可得：， 即, 即， 又， 所以， 所以，即， 又, 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以， 又，可得：， 由， 解得：， 所以. 15. 如图1，在棱长为2的正方体中，，分别为正方形，的中心，现保持平面ABCD不动，在上底面内将正方形绕点逆时针方向旋转45°，得到如图2所示的一个十面体. （1）证明：平面； （2）设的中点为O，求点O到平面的距离； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）由正方体性质知平面，以为原点，以方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则平面的法向量为， 而，故， 故，而平面，故平面. （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）以为原点，以方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可证线面平行； （2）由空间向量法求点面距； （3）用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，，， ， 设平面的一个法向量是， 则，取，则， 又， 所以点到平面的距离为； 【小问3详解】 设平面的一个法向量是，， 则，取，得， ， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 16. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长与短轴长之和为6. （1）求椭圆C的方程； （2）已知，，点P为椭圆C上一点，设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D.设，.求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值. 【答案】（1）； （2）设，由题意知直线的斜率不为0， 设直线方程为，其中且， 由，得，， 由韦达定理知，得， 因为， 所以， 所以，， 设直线方程为，其中，同理可得， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）由离心率求得，再利用长轴长与短轴长之和为6求得得椭圆方程； （2）设，由题意知直线的斜率不为0，设直线方程为，直线方程为，代入椭圆方程后应用韦达定理得出，（用表示），由向量线性关系求得，，然后求和化简可得． 【小问1详解】 由题意，化简得， 又，即，，所以， 椭圆方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：定值问题常用方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值． 17. 已知函数. （1）若直线为曲线的一条切线，求实数b的值； （2）若对任意的，函数恒成立，且，求实数a的值； （3）证明：当且时，. 【答案】（1）； （2） ； （3） 由(2)知，令 ，得 ，即 , 令 ，所以 . 所以 . 所以. 所以 . 所以 . 所以 . 【解析】 【分析】（1）设切点为，然后由点在函数图象上，又在切线上，及切线斜率联立可求得结论； （2）由及求得，然后由导数求得，由求得（需要再一次应用导数求解）； （3）由（2）得，然后令，得不等式相加可证． 【小问1详解】 设直线 与曲线 相切的切点为 ， 又 ， 由条件得: 解得 【小问2详解】 由 ，得 . 当 时， ，得 ，所以 . 所以 . 由 ，得 . 当 时， 单调递减, 当 时， 单调递增, 所以 ，即 ， 设 当 时， 单调递增; 当 时， 单调递减; 所以 ，当且仅当 等号成立， 又 ，得 ，所以 . 【小问3详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考查用导数求切线，研究不等式恒成立及证明不等式，属于难题．在证明不等式时难点在于如何利用已证的函数不等式，即在函数不等式中如何赋值，从而向要证的不等式靠拢．本题中由（2）得函数不等式成立，在其中分别令，对所得个不等式进行处理（相加）从而证明不等式成立． 18. 在正整数1，2，…，的任意一个排列A:，，…，中，对于任意i，，，若，则称为一个顺序对，若，，则称为一个逆序对.记排列A中顺序对的个数为，逆序对的个数为.例如对于排列A：2，1，3，，. （1）设排列B:2，4，1，3和C:5，3，1，4，2，试写出，，，的值； （2）对于正整数1，2，…，的所有排列A，求满足的排列个数； （3）如果把排列A:，，…，中两项，交换位置，而其余项的位置保持不变，那么就得到了一个新的排列.求证：为奇数. 【答案】（1），； （2） （3）由定义可知，，同理有， 因此， 则． 下证为奇数： （i）当相邻时，排列为， 此时排列与排列相比，仅是多了或者少了一个顺序对，所以为奇数； （ii）当不相邻时，设之间有项， 记排列 先将向右移动一个位置，得到排列， 由（i）知与的奇偶性不同； 再将向右移动一个位置，得到排列， 由（i）知与的奇偶性不同： 以此类推，共向右移动次，得到排列； 再将每次向左移动一个位置，共向左移动次， 得到排列，即为排列， 由（i）可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的顺序对个数的奇偶性发生变化， 而排列经过次的前后两数交换位置，可以得到排列， 所以排列与排列的顺序对个数的奇偶性不同，所以为奇数． 综上，为奇数． 【解析】 【分析】（1）由题可得，，，定义，即可得答案； （2）对“1”分当 1 在第 位时，当 1 在第 位时和当 1 在其它位置时讨论即可. （3）根据定义得到，再证明为奇数即可. 【小问1详解】 为方便表示，记排列A中，按照排列顺序比大的数的个数为， 按照排列顺序比小的数的个数为， 则，. 又因从排列A:，，…，中，任意选取两个数字的组合数为， 结合任意两个不同正整数都有大小关系，则. 设排列B:2，4，1，3中的数字按顺序排布为， C:5，3，1，4，2中数字按顺序排布为. 则； ； 【小问2详解】 对于正整数的所有排列， 设其中满足的排列个数为，满足的排列个数为． 考虑排列中数字1的位置，当1在第位时，要使得， 则需要前面位共产生2个顺序对； 当1在第位时，要使得，则需要其它位共产生1个顺序对；当1在第位时，要使得，则需要其它位共产生0个顺序对； 当1在其它位置时，不满足．因此，． 再考虑满足的排列个数，同理有． 因为，所以．因此有． 因为，所以由累加法得． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二小问的关键对“1”的位置进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届广州市高三年级调研测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. m C. 0 D. 2m 5. 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是.若事件“为偶数”，事件“，中有偶数且”，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在函数的图像上，若恒成立，且在区间上单调，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，且，，则（ ） A. B. 4 C. 0 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据有，，…，是公差为d（）的等差数列，去掉首末两项后得到一组新数据，则（ ） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的上四分位数相同 10. 已知抛物线C:的准线与圆:相切，为上的动点，为圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当为正三角形时，直线与圆相离 C. 的最小值为 D. 有且仅有一个点，使得 11. 设直线与函数图象的三个交点分别为，且，则（ ） A. 图象的对称中心为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为__________. 13. 随机将1，2，…，（，）这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最大数为a，B组最大数为b，记.当时，的数学期望______；若对任意，恒成立，则c的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤. 14. 的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，且，求的面积. 15. 如图1，在棱长为2的正方体中，，分别为正方形，的中心，现保持平面ABCD不动，在上底面内将正方形绕点逆时针方向旋转45°，得到如图2所示的一个十面体. （1）证明：平面； （2）设的中点为O，求点O到平面的距离； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 16. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长与短轴长之和为6. （1）求椭圆C的方程； （2）已知，，点P为椭圆C上一点，设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D.设，.求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值. 17. 已知函数. （1）若直线为曲线的一条切线，求实数b的值； （2）若对任意的，函数恒成立，且，求实数a的值； （3）证明：当且时，. 18. 在正整数1，2，…，的任意一个排列A:，，…，中，对于任意i，，，若，则称为一个顺序对，若，，则称为一个逆序对.记排列A中顺序对的个数为，逆序对的个数为.例如对于排列A：2，1，3，，. （1）设排列B:2，4，1，3和C:5，3，1，4，2，试写出，，，的值； （2）对于正整数1，2，…，的所有排列A，求满足的排列个数； （3）如果把排列A:，，…，中两项，交换位置，而其余项的位置保持不变，那么就得到了一个新的排列.求证：为奇数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $