精品解析：广东省广州市2024-2025学年高三上学期12月调研测试数学试卷

2025届广州市高三年级调研测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. m C. 0 D. 2m 5. 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是.若事件“为偶数”，事件“，中有偶数且”，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在函数的图像上，若恒成立，且在区间上单调，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为R，且，，则（ ） A. B. 4 C. 0 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组数据有，，…，是公差为d（）的等差数列，去掉首末两项后得到一组新数据，则（ ） A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同 C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的上四分位数相同 10. 已知抛物线C:的准线与圆:相切，为上的动点，为圆上的动点，过作的垂线，垂足为，的焦点为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当为正三角形时，直线与圆相离 C. 的最小值为 D. 有且仅有一个点，使得 11. 设直线与函数图象的三个交点分别为，且，则（ ） A. 图象对称中心为 B. 的取值范围为 C. 取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为__________. 13. 随机将1，2，…，（，）这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最大数为a，B组最大数为b，记.当时，的数学期望______；若对任意，恒成立，则c的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤. 14. 的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，且，求的面积. 15. 如图1，在棱长为2的正方体中，，分别为正方形，的中心，现保持平面ABCD不动，在上底面内将正方形绕点逆时针方向旋转45°，得到如图2所示的一个十面体. （1）证明：平面； （2）设的中点为O，求点O到平面的距离； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 16. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长与短轴长之和为6. （1）求椭圆C的方程； （2）已知，，点P为椭圆C上一点，设直线PM与椭圆C另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D.设，.求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值. 17. 已知函数. （1）若直线为曲线的一条切线，求实数b的值； （2）若对任意的，函数恒成立，且，求实数a的值； （3）证明：当且时，. 18. 在正整数1，2，…，的任意一个排列A:，，…，中，对于任意i，，，若，则称为一个顺序对，若，，则称为一个逆序对.记排列A中顺序对的个数为，逆序对的个数为.例如对于排列A：2，1，3，，. （1）设排列B:2，4，1，3和C:5，3，1，4，2，试写出，，，值； （2）对于正整数1，2，…，的所有排列A，求满足的排列个数； （3）如果把排列A:，，…，中两项，交换位置，而其余项的位置保持不变，那么就得到了一个新的排列.求证：为奇数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 命组卷网 2025届广州市高三年级调研测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡的相应位置上，并在 答题卡相应位置上填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液不 按以上要求作答无效 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知2-i,则=（) A.3 B.3 C.5 D.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算. 【详解】 5 2-2-可V5, 故选：C 2.已知集合A 208=s4则4n8=() A【-2,] B.【-2,1) c.[1,2] D.(12] 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式确定集合A,B,然后由交集定义计算。 第1页/共21页 可学科网命组卷网 【洋】4={什0-3孩明.8-仲s-到-2≤， 所以A∩B={x|1<x≤2}， 故选：D. 3.已知向量ā=(0,5)，b=(2,-4),则向量ā在向量上的投影向量的坐标为() A（-2,4) B.（4,-8) c.（-1,2) D.(2,-4) 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的投影坐标公式可求投影向量的坐标。 【1h:n六6-2小-(2利 20 故选：A 4.己知sin(a+B)=3m,tanB=2tana,则sin(a-B)=(） A.-m B.m C.0 D.2m 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式化简，再结合切化弦，即可求解 【详解】sin(a+B)=sin a cos B+cos asin B=3m 由tanB=2 tana,切化弦，可得2 sin a cos B=cos asin B 所以sin a cos B=m,cos asin B=2m, 所以sin(a-B)=sin a cos B-cosasin B=-m, 故选：A 5.已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取球两次，每 次取一球，记第一次取出的球的数字是x,第二次取出的球的数字是y.若事件A=“x+y为偶数”，事件 B=“x,y中有偶数且x≠y”,则P(AB)=() D. 5 B 2-3 第2页/共21页 命学科网 命组卷网 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合条件概率的计算公式，即可求解， 【详解】由题意，有放回的随机取球两次， 则所有可能情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1),(22),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),（3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(42),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (61),（6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个结果，即(2)=36， 因为事件B=“x,y中有偶数且x≠y”, 则事件B包含的基本事件有(1,2)，(1,4)，(1,6)，（2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)， (2,6),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,2), (54),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), 所以n(B)=24, 因为事件A=“尤+y为偶数”，事件B=“x,y中有偶数且x≠y”, 所以事件AB=“x,y均为偶数且x≠y”, 则事件AB包含的基本事件有(2,4)，（2,6)，(4,2)，（4,6)，（6,2)，(6,4)， 所以n(AB)=6, 所以P(AB)= (AB)_6=1 n(B)244 故选：C 6.已知点A 在系数f)=coas(ox+po>0-<p<0)的图像上，若/()s/(君)恒成 立，且)在区同后)上单询，则号（) 第3页/共21页 命学科网 命组卷网 B.-z 2元 D.- 【答案】B 【解析】 【分析】由函数f(x)在区间 3 上单调可得⊙的范围，再由三角函数对称性与周期性的关系求得周期， 进而可得0，再由最值求得P 【详解】因为f(x)在区间 63 上单调，所以-无=无≤，可得×2红之 3662 206 解得0≤6，且0>0，所以0<0≤6， 又点A 在函数∫(x)的图像上，所以A 0 241 是函数的一个对称中心， 恒成立，即x=乃是函数的一条对称轴， 6 所以工卫=元 6248 若π、 ,则T三C,此时=，可得ω=4，满足条件 84 02 若=7，则T=,此时2亚-2， 84 =二，可得o=12,不满足条件， 6 06 所以f(x)=cos(4x+p), 即2元+9p=2km,keZ,即9=- π+2km,k∈Z,又-π<p<0, 2 2 所以p=一 元，则④=3 3 046 故选：B 7.已知三棱锥PABC中，△PAB是边长为2的等边三角形，PC=2,AC=V6,BC=√2，则三棱 锥P-ABC的外接球表面积为() 32 A6π B.10元 C. D. 28 5 5 【答案】C 第4页/共21页 命学科网 命组卷网 【解析】 【分析】由勾股定理逆定理得AB⊥BC,取AC中点D,则D是△ABC的外心，由三棱锥性质得 PD⊥平面ABC,从而得外接球球心O在PD上，△PAC的外接圆就是球的大圆，由正弦定理求得 △PAC的外接圆的半径即得球半径，再由面积公式计算. 【详解】由已知AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC, 取AC中点D,则D是△ABC的外心， 又PA=PB=PC,所以P点在底面ABC上的射影是△ABC的外心，即为D, 所以PD⊥平面ABC,因此外接球球心O在PD上，△PAC的外接圆就是球的大圆， PD-PC-CD:--( ,所以sin∠PCD= PD 10 PC 4 AP 2 20P= sim∠PCDV1o,oP-2i0 这就是外接球的半径， 外接球表面积为S=4π.0P2-4元·（仁 .210y-32m, 5 5 故选：C 2024 8.已知函数f)的定义域为R,且fc+)+f(x-)=}ff0),f0=-2,则登f= =1 () A-4 B.4 C.0 D.-2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出f(O),f(2),并探讨函数∫(x)的性质，再结合周期性求值 【详解】函数f)的定义域为R,且fx+)+fx-)=】f)f0),f0=-2, 第5页/共21页 6学科网命组卷网 则xeR,y=1,则fx+)+fx-)=2ff0)=-f 于是f(x+2)+f(x)=-f(x+1),因此f(x+2)=f(x-1),即f(x+3)=f(x), 函数f(x)是以3为周期的周期函数， 取x=1y=0,得f0+f0=2f0f0),即-f0)=-4,解得f(0)=4=f(3), 取x=ly=1,得f2+0)-f0f四，耳f2+4=2,解得f2=-2, 因此f(1)+f(2)+f(3)=-2-2+4=0, 所以原式=674×0+f(1)+f(2)=-2+（-2)=-4 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 9.一组数据有X,x2,…,o是公差为d(d≠0)的等差数列，去掉首末两项后得到一组新数据，则 () A两组数据的极差相同 B.两组数据的中位数相同 C.两组数据的平均数相同 D.两组数据的上四分位数相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的性质，结合极差，中位数，平均数以及百分位数的定义，代入计算，逐 一判断，即可得到结果 【详解】不妨设d>0, 对于A,原数据的极差为x。-x=9d，去掉x,o之后的极差为x,-x2=7d, 所以极差不同，故A错误； 对于B,原数据的中位数为(：，+龙)，去掉：，0之后的中位数仍为(：+)， 即中位数不变，故B正确： 对于C原数播的甲均微为=（气+名++，x5+,)一化+戏） 10 去第之后的平均数为2-（西+与++）×4(6+)出+) 第6页/共21页 命学科网命组卷网 即平均数不变，故C正确； 对于D,原数据的第75百分位数为10×0.75=7.5，即第8个数据xg, 去掉x,0之后的第75百分位数为8×0.75=6，即第6个与第7个数据的平均数， ,(5+心，即上四分位数不相同，故D错误 故选：BC 10.已知抛物线C:y2=4x的准线1与圆M:x2+(y-4)=r2(r>0)相切，P为C上的动点，N为圆 M上的动点，过P作I的垂线，垂足为Q,C的焦点为F,则下列结论正确的是() A.r=1 B.当△PFQ为正三角形时，直线P№与圆M相离 C.PW+Pg的最小值为V17-1 D.有且仅有一个点P,使得PM=PO 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，抛物线准线为x=-1,根据圆心到准线的距离即可求解；B选项，由正三角形求得PQ 直线方程即可判断；C选项，结合抛物线定义可得P,M,F三点共线时，可求最小值即可；D选项，直接设 P点坐标进行求解即可得 【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1,设准线与x轴交点为D, 圆A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1， 因为淮线I和圆A相切，所以r=1,A选项正确； B选项，因为△PFQ为正三角形时， 所以∠QPF=∠QFP=∠QFO=∠PFx=60°， 又FD=2,在直角三角形QFD中，lOD=25, 第7页/共21页 命学科网命组卷网 所以(0,25) 所以此时P0直线方程为：y=2√3， 圆心(0,4)到直线y=2V5的距离为4-2V5<1,所以直线P与圆M相交，故B错误； C选项，PN+|Pg=PW+PF+N-1≥PF+PM-1≥MF-1=V12+4-1=17-1, 当且仅当P,M,F(P在F,M之间)三点共线时，等号成立，C选项正确： D选项， 设 由P9⊥1可得Q(-1,t),又M(0,4), 又PM=PQ,根据两点间的距离公式， +-4y-￡+1， V16 4 整理得t2-16t+30=0, △=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解， 即存在两个这样的P点，D选项错误 故选：AC 11.设直线y=t与函数f(x)=x(x-3)图象的三个交点分别为A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a<b<c, 则() A.f(x)图象的对称中心为(2,2) B.abc的取值范围为(0,12) C.aC的取值范围为(0,4) D.c-a的取值范围为(3,2V5] 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：验证f(-x+4)+f(x)=4是否成立即可得；对B:结合函数性质可得t∈(0,4)， abc=t,即可得解对C、D:由题意可得a+b+c=6、ab+ac+bc=9,则可借助b表示出ac及(c-a), 即可得解 【详解】对A:f(-x+4)+f(x)=(-x+4)(-x+4-32+x(x-3)月 =(4-x)(x2-2x+1)+x3-6x2+9x =-x3+6x2-9x+4+x3-6x2+9x=4, 第8页/共21页 学科网命组卷网 故f(x)图象的对称中心为(2,2)，故A正确： 对B:'(x)=(x-3)2+x2(x-3)=3(x-3)(x-1), 则当x∈(-o,1)U(3,+∞)时，f'(x)>0,当x∈(1,3)时，f'(x)<0, 故f(x)在（-o,1)、(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减， 又f(1)=1×4=4,f(3)=3×0=0,故t∈(0,4)，b∈(1,3)， 由题意可得x(x-3)-t=(x-a)(x-b)(x-c), x-6x2+9x-t=x-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc, 则a+b+c=6、ab+ac+bc=9,abc=t, 故abc=t∈(0,4)，故B错误； 对C:由a+b+c=6,则a+c=6-b,又ab+ac+bc=9, 即ac=9-b(a+c)=9-b(6-b)=b2-6b+9=(b-3), 又b∈(1,3)，则b-3∈(-2,0)，故ac=(b-3)2∈(0,4)，故C正确： 对D:(c-a}=(a+c2-4ac=(6-b}-4(b-3)月 =-3b2+12b=-3(b-2)2+12, 由b∈(（1,3)，则b-2∈(-1,1)，故(c-a)2=-3(b-2)2+12e(9,12], 又a<c,故c-a∈(3,25]，故D正确 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助x(x-3)-t=(x-a)(x-b)(x-c)得到a+b+c=6、 ab+ac+bc=9,abc=t 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已双曲鞋C三茶=a>06>0P的东东应秀FO为建际原点，吉红C的E支上存在天于 轴对称的两点P,2,使得△PQ为正三角形，且OQ⊥耳P,则C的离心率为 【答案】√3+1 第9页/共21页 丽学科网命组卷网 【解析】 【分析】根据题意可以得到OQ=OP=O=c,求出PF=3c,再由余弦定理求出PF的值，最 后根据双曲线定义即可求解 【详解】由题意知，△PFQ为正三角形，且OQ⊥FP,P,Q关于x轴对称， 所以Og=OP=|OE=c,且∠PFO=30°， 所以PE=2ccos30°=5c,Po=c, 由余弦定理得 IPFPlcos PRO()+(20)-252 由双曲线定义得PF-PF=2a,即√5c-c=2a, 所以e=C= =5+1 2 aV5-1 故答案为：√5+1. 13.随机将1,2，，2n（n∈N,n≥2)这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最 大数为a,B组最大数为b,记5=a-b当n=3时，5的数学期望E(5)=;若对任意n之2， E(5)<c恒成立，则c的最小值为 3 【答案】 ①. 2 ②.2 【解析】 【分析】由题意不妨设a<b,则随机变量5=a-b=2n-b,进而由E(5)=2n-E(b)转化为求E(b), 先求b的概率分布列再求期望公式；当=3时代入公式可得，再由恒成立结合函数值域求C的范围可得 【详解】由题意a≠b,由对称性，不妨设a>b, 则a=2n,5=a-b=2n-b,则E(5)=2n-E(b) 下面先求E(b),即从1,2,3，，2n-1中随机取n个数，这n个数中最大数b的期望 则从1,2,3，，2n-1中随机取n个数，共有C2m-1种取法 b=k,指n个数中最大数为k(k≥n), 第10页/共21页