专题8.3 二项分布、超几何分布及正态分布（八大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题8.3 二项分布、超几何分布及正态分布 题型一 二项分布的均值和方差 题型五 二项分布、超几何分布的综合 题型二 利用二项分布求分布列 题型六 正态分布的概率计算 题型三 二项分布中的概率最值问题 题型七 正态分布的期望、方差问题 题型四 超几何分布的概率、分布列 题型八 正态分布与其他分布的综合 知识点一、二项分布 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 题型一 二项分布的均值和方差 【例1】已知离散型随机变量服从二项分布，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于服从二项分布，故，，故AC错误， ,,故C错误，D正确， 故选：D 【例2】已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据分布列方差的性质得：， 依题意知，满足二项分布， 所以，， 所以，解得，或（舍去）. 故选：D. 【变式1-1】农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为， 设每组不发芽的坑数为，则， 所以每组没有发芽的坑数的平均数为， 解得，所以每个种子的发芽率为. 故选：C. 【变式1-2】有一批数量很大的商品的次品率为，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，则＝ ，＝ . 【答案】 2 1.98 【详解】因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验， 所以，因为，，这里，，， 所以，. 故答案为：； 【变式1-3】某工人在一个工作日内至少使用甲、乙仪器中的一个，使用甲仪器的概率为0.6，使用乙仪器的概率为且不同工作日使用仪器的情况相互独立. (1)求在一个工作日中该工人既使用甲仪器又使用乙仪器的概率； (2)记为在100个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件为一个工作日中该工人使用甲仪器，事件为一个工作日中该工人使用乙仪器， 由题意， 所以在一个工作日中该工人既使用甲仪器又使用乙仪器的概率, （2）在一个工作日中，该工人仅使用甲仪器的概率为， 而由题意得服从二项分布，由均值公式得. 题型二 利用二项分布求分布列 【例3】某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）， 故均值为29． （2）设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为， 则，则， ； ， 列的分布列如下： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 【例4】巴黎奥运会于2024年7月26日至8月11日举行．某体育局为普及奥运知识，组织了答题活动．设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球大小、颜色、质量都一样．每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为2分、10分．抽取规则：每次从抽题箱抽取一个小球，对小球中题目作答后将该题目放回原球内，并把小球放回抽题箱，摇匀后，再抽取．已知2分题目小球被抽到的概率为，10分题目小球被抽到的概率为． (1)若甲抽取3次，记表示甲3次抽取题目分值之和，求的分布列和数学期望． (2)若甲、乙各抽取4次，已知甲前两次抽出题目分值之和为20，记事件“乙抽出题目分值之和大于甲抽出题目分值之和”，求． 【答案】(1)分布列见解析，12 (2) 【详解】（1）的所有可能取值为． ，， ，， 所以的分布列为 6 14 22 30 所以． （2）记“甲抽出题目分值之和为”，， 则，． 当甲抽出题目分值之和为24时，乙抽出题目分值之和需为32或40， 所以； 当甲抽出题目分值之和为32时，乙抽出题目分值之和需为40， 所以． 故 ． 【点睛】关键点点睛：本题以巴黎奥运会为背景，以摸球答题为情境，贴近学生实际生活，提高了学生的学习兴趣，激发了学生的探究热情．第（1）小题考查二项分布的分布列和数学期望，抽象出二项分布的模型是解题关键，相对而言比较基础，也是大部分学生的得分点；第（2）小题考查全概率公式，注意正确地进行分类讨论，确定好分类标准是关键，同时还要做到不重不漏． 【变式2-1】我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响. (1)求取何值时，第三组进入决赛的概率最大； (2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）由题知：第三组通过初赛和复赛的概率， 又因为，所以 所以，当时，第三组进入决赛概率最大为. （2）由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为. 因为进入决赛的队伍数， 所以；； ；. 所以随机变量的分布列为: . 【变式2-2】随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）由题设，路口遇到红灯私家车数量，则． （2）由题设，路口遇到红灯私家车数量， 一辆私家车遇到红灯的方差为， 当且仅当时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是． 由题可得，的可能取值为，则 ， ， ． 所以其分布列为： 0 1 2 3 4 5 ． 【变式2-3】某综艺节目，5位嘉宾轮流参与抽奖．四个一模一样的箱子，只有一个箱子有奖品．抽奖规则为主持人请嘉宾在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由嘉宾获得．前一位嘉宾抽奖结束后，主持人重新布置箱子，邀请下一位嘉宾抽奖． (1)记X为5位嘉宾中的中奖人数，求X的分布列，均值和方差； (2)主持人宣布游戏升级，新的抽奖规则是：当嘉宾选好一个箱子后，主持人（他知道哪个箱子有奖品）会打开一个嘉宾没有选择的空箱子给嘉宾看，此后嘉宾可以选择换一个箱子或者不换．嘉宾做出选择后，主持人再打开嘉宾最终选中的箱子，揭晓嘉宾是否中奖．嘉宾的哪种决策会有更大可能抽中奖品？请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析，均值为，方差为； (2)嘉宾换箱子会有更大可能抽中奖品，理由见解析. 【详解】（1）由题意知，每位嘉宾中奖的概率为，不中奖的概率为， 则服从二项分布， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 数学期望为， 方差为； （2）不换箱子时中奖概率： 嘉宾第一次选择箱子时，中奖概率为； 换箱子时中奖概率： 设4个箱子分别为，有奖品的箱子为， 当嘉宾先选箱，主持人会在箱中打开一个空箱子， 此时嘉宾换箱子后，就选不中奖品，其概率为0； 当嘉宾先选或或箱子，概率为， 此时主持人打开另一个空箱子，嘉宾换箱子后一定能选中有奖品的箱， 其概率为，所以换箱子的中奖概率为. 所以，故嘉宾换箱子会有更大可能抽中奖品. 题型三 二项分布中的概率最值问题 【例5】高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，，，，，，， 所以由 得： 解得，又因为，所以． 故选:B． 【例6】4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，， (3)，证明见解析 【详解】（1）由频率分布直方图得： ， 解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20； （2）由频率分布直方图得： 这500名学生中日平均阅读时间在，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人， 现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴数学期望，. （3），理由如下： 由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50， 从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生， 恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布， ， 由组合数的性质可得，且当时递增，故当时最大. 【变式3-1】在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. (1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； (3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 【答案】(1)，平均时间为小时 (2)分布列见解析，期望 (3) 【详解】（1）由已知，解得， 所以平均数为 . （2）这名高中学生户外运动的时间分配， 在，两组内的学生分别有人，和人； 所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人， 所以随机变量的可能取值有，， 所以，， 则分布列为 期望； （3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为， 则， 若为最大值，则， 即， 即，解得， 又，且，则. 【变式3-2】小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 【答案】B 【详解】X服从二项分布，则， 最大即为满足， 解得， 又，故为整数时，结合题设要求，； 不为整数时N为小于，，故， 故选：B 【点睛】要解决本题，首先要根据已知条件，判断出满足二项分布，从而可利用二项分布的知识来求概率和期望.求解含有组合数的最值计算问题，可以考虑利用商比较法来进行. 【变式3-3】某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)答案见解析 (2)60 【详解】（1）方案一：设中奖次数为，若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖， 则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布， 即，所以的数学期望为， 方差为； 方案二：设中奖次数为，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 中奖次数的所有可能取值为0，1，2，则， ，， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为， 方差， ，，两种方案中奖次数的期望相同，但方案一的方差较小，中奖的波动性小， 稳定性较好，故从中奖的数字特征角度来看，顾客甲选方案一较好. （2）每位顾客按照方案二抽奖中奖2次的概率为，则300位顾客按照方案二抽奖， 其中中奖2次的人数， 恰有人中奖2次的概率为，，， 令，解得， 于是，当时，； 当时，，故当时，最大， 所以300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为60的概率最大. 知识点二、超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 题型四 超几何分布的概率、分布列 【例7】（多选）某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（    ） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B．随机变量 C．随机变量的数学期望为 D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 【答案】ACD 【详解】设甲、乙、丙三个社团分别需抽取人，则 ， 所以，，， 所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人，A正确； 随机变量的取值有，，， ，，， 所以随机变量的分布列为 所以B错误； 由期望公式可得随机变量的数学期望，C正确； 因为，所以D正确. 故选：ACD. 【例8】第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率； (2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，在区间的频率为， 所以随机抽取三人，至少有两人的年龄在区间内的概率为． （2）因为社区居民年龄在内的人数为，在内的人数为6． 所以的可能取值为． 则， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以， 所以，所以． 【变式4-1】某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理组获奖情况如下表，组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛，活动中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从两个学科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人. 数学组 物理组 男生 30 20 女生 30 (1)求数学组中女生的人数； (2)若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为，求女生人数的分布列和数学期望. 【答案】(1)70 (2)分布列见详解； 【详解】（1）由题意可知：物理组共有50人，每人被抽到的可能性为， 则数学组共有人，其中女生的人数为. （2）因为前排就座的物理组5人中男生有人，女生有人， 可知抽到女生的人数为的可能取值有：0，1，2，则有： ， 可得女生人数的分布列为 0 1 2 所以女生人数的期望. 【变式4-2】学校图书阅览室订阅了不同的语文和数学杂志共7本，其中数学杂志不少于3本.一学生从中任意借阅2本杂志.若至多有1本语文杂志的概率为，则数学杂志有 本；若借阅的语文杂志数量的期望为，则数学杂志有 本． 【答案】 5 4 【详解】设数学杂志有本，则借阅2本杂志，至多有1本语文杂志的概率为，解得； 设数学杂志有本，取得语文杂志的数量为，则取， 且，，， 所以，解得． 故答案为：5；4. 【变式4-3】某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到下表： 语文兴趣 数学兴趣 英语兴趣 物理兴趣 化学兴趣 生物兴趣 答卷份数 350 470 380 400 300 500 兴趣良好频率 0.7 0.95 0.8 0.75 0.85 0.86 假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立． (1)从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率； (2)从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率； (3)按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【详解】（1）设“这份试卷的调查结果是英语兴趣良好”为事件， 答卷总份数为， 其中英语兴趣良好有， 故. （2）设“语文兴趣良好”“数学兴趣良好”“生物兴趣良好”分别为事件， ， 则所求的概率为： ． （3）从参与物理兴趣和化学兴趣调查的700人中按分层抽样的方法抽取7人， 其中参与物理兴趣调查的抽取4人，参与化学兴趣调查的抽取3人， 再从中选取3人，则的所有取值为． ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 故． 题型五 二项分布、超几何分布的综合 【例9】某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人），其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， ∴的分布列为： ∴. （3）由题意得，， ∴. 【例10】某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 【答案】(1)的分布列见解析； (2) (3)应该选择方案一 【详解】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 . （2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为，则， ∴. （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， ∵， ∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 【变式5-1】袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列． 【答案】(1)分布列见解析； (2)分布列见解析. 【详解】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数X可能的取值为0，1，2，3， 每次抽到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）不放回抽样时，取到的黑球个数Y可能的取值为0，1，2， ， 故Y的分布列为： Y 0 1 2 P 【变式5-2】哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类6道题中任选3道进行答题，都答完后错题个数不超过1道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类10道题中任选3道进行答题．A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得30分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80分或90分为三等奖，110分为二等奖，120分为一等奖．某班参加活动的同学类题中只有4道能答对，类题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． (1)求该同学被终止比赛的概率； (2)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X的分布列及期望； (3)求该同学获得三等奖的概率． 【答案】(1)； (2)分布列见解析， (3) 【详解】（1）从类道题中任选道，其中1道会做，2道不会做，则被终止比赛， 所以该同学被终止比赛的概率为． （2）由题意可知，的所有可能取值为90,60,30,0， 则， ， ， ， 所以的分布列为： 所以． （3）该同学获得三等奖，共有两种情况， 第一轮得20分（答对2道），则第二轮得60分（对2道）， 概率为； ②第一轮得30分（答对3道），则第二轮得60分（对2道）， 概率为， 所以该同学获得三等奖的概率为． 【变式5-3】某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3， ， 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 2 P 则； 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知， 所以， ， 所以η的分布列为： η 0 1 2 3 P 所以． （2）由(1)知， ， ， ， 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大． 知识点三、正态分布 1.正态分布的定义 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2.正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 3.三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 题型六 正态分布的概率计算 【例11】已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.46 B．0.73 C．0.23 D．0.27 【答案】B 【详解】易得，由正态分布的对称性可得， 故. 故选：B. 【例12】设随机变量服从正态分布，若，则实数（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】，得：. 故选：C． 【变式6-1】已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由可得，且， 则有：，解得：， 因为，所以，且， 则 当且仅当，即时等号成立， 即当时，的最小值为. 故答案为：. 【变式6-2】某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【答案】B 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：B. 【变式6-3】已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. 题型七 正态分布的期望、方差问题 【例13】某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】观察曲线知，. 故选：D 【例14】（多选）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由随机变量， 得，，，，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 两个随机变量的均为120，由正态分布特点知D正确． 故选：ABD． 【变式7-1】（多选）已知随机变量服从正态分布，即，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由可得，，故A错误；B正确； 对于C，因,则，故C错误； 对于D，因，则,故，即D正确. 故选：BD. 【变式7-2】设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左边，即. 的密度曲线较为分散， 的密度曲线较为集中，即，故AB错误； 因为，所以C错误； 因为，所以D正确； 故选：D 【变式7-3】（多选）已为随机变量，且，其中，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由正态分布的期望公式得，，故A正确； 对于B，由正态分布的方差公式得，，故B错误； 对于C，由正态分布的对称性得，， 所以，故C正确； 对于D，由，则， 根据方差的性质知，分布更集中，所以，故D正确. 故选：ACD. 题型八 正态分布与其他分布的综合 【例15】（多选）在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（    ）附：若随机变量服从正态分布，则 A． B． C． D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人 【答案】ABD 【详解】依题意，服从正态分布， 所以，A选项正确. 随机变量，所以， 所以，B选项正确. ，所以C选项错误. ， 估计该市数学成绩在区间的考生约人，D选项正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛： 对于正态分布问题，要牢记正态分布的期望，方差，以及正态分布的对称性和特殊区间的概率值.在已知正态分布的参数和后，可利用这些性质计算各种概率. 对于二项分布，其方差，可根据此公式求出二项分布的方差，再结合与其他分布方差的关系解决相关问题. 【例16】已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，，，， 所以. 故选：D. 【变式8-1】近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. (2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 【答案】(1) (2)（i），（ii）方案2 【详解】（1）因为抽样比， 所以抽取人，抽取人， 抽取人. 设事件：这4人中至少有2人来自前2组， . （2）， 所以，，，. 所以 . 对于方案2：设每位学生所获增学习视频小时数为，则. ， ， . ， 所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 【变式8-2】为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)51 (2)136家 (3)98家 【详解】（1）该市被调查的化工企业的污染情况得分的平均值为． （2）由（1）知化工企业的得分情况．因为， 所以 ． 可得所求企业大约有家． （3）由（2）得， 所以每家企业得分不低于19分的概率为0.9772， 则得分不低于19分的企业数． 其中恰有家企业得分不低于19分的概率为， 令，， 可得，解得， 故在走访的100家化工企业中，分数不低于19分的企业有98家时概率最大． 【变式8-3】某企业的产品正常生产时，产品尺寸（单位：）服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如表 产品尺寸/ 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品. (1)判断生产线是否正常工作，并说明理由； (2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费为20元/件，次品检测费为30元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的均值及方差. 附：. 【答案】(1)生产线出现异常，理由见解析 (2)均值为，方差为 【详解】（1）依题意，有， 所以正常产品尺寸的范围为， 生产线正常工作，次品不能多于（件）， 而实际上，超出正常范围以外的零件数为，故生产线出现异常； （2）依题意，尺寸在以外的就是次品，故次品率为， 记这3件产品中次品件数为Y，则Y服从二项分布， 则， 因为， 所以X的均值（元）， 方差. 一、选择题 1．已知随机变量，则（    ） A．21 B．20 C．11 D．10 【答案】D 【详解】由得，， 所以. 故选：D． 2．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】从袋中任取4个球，其中红球的个数服从参数为的超几何分布， 故至多有3个红球的概率为. 故选：D. 3．已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】随机变量，且， . 故选：A 4．有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里有5个白球和5个黑球，现从乙袋子里随机取出个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个球，记取到的白球的个数为，则当变大时（    ） A．变小 B．先变小再变大 C．变大 D．先变大再变小 【答案】A 【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，其中白球的个数服从超几何分布，则．故从甲盒子里随机取一球，相当于从含有个白球的个球中取一球，取到白球的个数为， 易知随机变量服从两点分布，故， 所以，随着的增加，减小. 故选：A 5．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 【答案】A 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则， 所以， 由题意，，且，则， 因为， 所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为， 故选：A. 6．设随机变量，记，，下列说法正确的是（    ） A．当k由0增大到n时，先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大 B．如果为正整数，当且仅当时，取最大值 C．如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值 D． 【答案】C 【详解】对于ABC：因为，，， 由，得， 解得， 若为正整数，则或时，取最大值，故B错误； 若为非整数，则取的整数部分时，取最大值，故C正确； 综上所述，当k由0增大到n时，先增后减，在某一个（或两个）k值处达到最大. 故A错误； 对于D：因为，故D错误. 故选：C. 二、填空题 7．在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（    ）（若随机变量服从正态分布，则） A． B． C．该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年 D．该厂家生产的安全芯片的良品率超过 【答案】ABD 【详解】选项A：由题知，则，故A正确； 选项B：，又 ，所以，B正确； 选项C：由，得，即该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为5年，C错误； 选项D：该厂家生产的安全芯片的良品率为 ，超过，故D正确. 故选：ABD 8．已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（   ） A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 【答案】AD 【详解】对于A选项，若每次取出的球放回，则每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为， 所以，连续摸取次，恰好两次取出红球的概率为，A对； 对于B选项，若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为，B错； 对于C选项，若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下， 则袋子中还有个红球，个白球，则第三次抽到红球的概率为，C错； 对于D选项，若每次取出的球不放回，则取出红球的次数服从超几何分布， 且袋中的红球个数为个，白球的个数为个，共个球，且共摸球次， 由超几何分布的期望公式可得，D对. 故选：AD. 三、填空题 9．随机变量，则 ． 【答案】3 【详解】因为，所以 所以， 所以． 故答案为：3 10．已知随机变量服从标准正态分布，， 其中，的平均数为的平均数为， 则样本数据的平均数的最小值为 . 【答案】 【详解】由题意得，， 故答案为： 11．产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，从产品中随机抽件做检查，请计算当N=16，M=8时， ；若，，请计算 .（用组合数表示） 【答案】 / 【详解】当，，时，， 因为， 故． 当，时， 因为，即， 所以 故答案为：， 四、解答题 12．某地教育局为提升教师的业务能力，从当地中学教师中随机选取100人参加教学技能比赛，统计他们的得分（满分100分），其得分在各区间的人数比例如下表.规定得分不低于80分的为优秀教师. 得分区间 人数比例 0.25 0.35 0.20 (1)求的值并求参赛教师为优秀教师的频率； (2)以频率估计概率，若在当地中学教师中随机选取3人，其中优秀教师的人数记为，求的分布列与期望. 【答案】(1)， (2)分布列见详解， 【详解】（1）由表可知，，解得， 参赛教师为优秀教师的频率为； （2）由(1)可知，当地中学教师是优秀教师的概率为0.3， 的取值可能为0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 . 或写成由，得. 13．今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗．现有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取3个． (1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率； (2)设表示取到的红豆粽个数，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）依题意基本事件总数， 选取的三个粽子中恰有个肉粽包含的基本事件个数， 选取的三个粽子中恰有个肉粽的概率； （2）设表示取到的红豆粽个数，则的可能取值为，，， 所以，， ， 的分布列为： 0 1 2 14．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭成功发射，标志着2024年我国首次载人发射任务告捷.为普及航天知识，大学组织学生举办了一次“逐梦寰宇问苍穹”航天知识竞赛. (1)已知参加这次知识竞赛的学生分数近似服从正态分布，若参赛学生的成绩满足，则该学生获得二等奖；若，则该学生获得一等奖. （i）若小王同学这次竞赛成绩为95分，试判断他能否获得一等奖； （ii）若大学这次共有10人获得一等奖，试估计大学参加这次航天知识竞赛的学生人数；（四舍五入后取整） (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：①共设两个奖项，分别奖励100元，50元，抽中奖项的概率分别为，；②每位参赛选手允许连续抽奖两次，且两次抽奖之间相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位参赛大学生所获的总奖金为元，求的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1)（i）小王同学能获得一等奖；（ii）440 (2)分布列答案见解析，数学期望： 【详解】（1）（i）由题意知，该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布， 可得，，故时，该学生获得一等奖. 因为，故小王同学能获得一等奖. （ii）设全校参与本次竞赛的人数为n， 获得一等奖的概率为， ， 由 解得，所以参与本次知识竞赛的学生人数约为440. （2）X的可能取值为0，50，100，150，200， ，， ，， . 所以X的分布列为 X 0 50 100 150 200 P . 15．某学校信息科技小组为了研究“加密信息传递过程中被破解问题”的一项“微课题”，进行了一次探究活动.将传递的信息编码分别用“”四种字符代替，并随机等可能发送，每次只传递一种字符，且在发送过程中，“”四种字符被破解情况如下： 传递信息字符 破解后信息字符 （每一种传递字符等可能被破解，如“传递字符”等可能被破解为“”） (1)若破解后信息字符为“”，求破解正确的概率； (2)现已知连续三次传递信息字符均为“”，设被破解后信息字符正确的个数为，求的分布列和数学期望； (3)若连续三次传递信息，被破解后信息字符均为“”，设传递信息字符只有一种的概率为，传递信息字符只有两种的概率为，传递信息字符有三种的概率为，请比较的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 (3)，证明见解析 【详解】（1）记破解后信息字符为为事件，传递信息字符为为事件， 由于传递信息字符为时，均有的可能破解后信息字符为， 则，， 所以， 所以； （2）由（1）可知，若传递信息字符为，则被破解正确的概率为， 所有可能的取值为， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 . （3）记“传递信息字符只有一种”为事件A，“传递信息字符只有两种”为事件， “传递信息字符有三种”为事件，“被破解后信息字符均为''”为事件， 事件A中，由（1）可知，传递信息字符为中的某一个， 故，， 所以， 事件B中，传递信息字符为中的某两个，且有1个字符被传递了2次，顺序有种， 故，， 故， 事件C中，传递信息字符中各一次，顺序不定， ，， ， 则， ， ， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3 二项分布、超几何分布及正态分布 题型一 二项分布的均值和方差 题型五 二项分布、超几何分布的综合 题型二 利用二项分布求分布列 题型六 正态分布的概率计算 题型三 二项分布中的概率最值问题 题型七 正态分布的期望、方差问题 题型四 超几何分布的概率、分布列 题型八 正态分布与其他分布的综合 知识点一、二项分布 1.次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2.二项分布 ①定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 ②均值和方差： 题型一 二项分布的均值和方差 【例1】已知离散型随机变量服从二项分布，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】有一批数量很大的商品的次品率为，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，则＝ ，＝ . 【变式1-3】某工人在一个工作日内至少使用甲、乙仪器中的一个，使用甲仪器的概率为0.6，使用乙仪器的概率为且不同工作日使用仪器的情况相互独立. (1)求在一个工作日中该工人既使用甲仪器又使用乙仪器的概率； (2)记为在100个工作日中，该工人仅使用甲仪器的天数，求 题型二 利用二项分布求分布列 【例3】某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. (1)估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; (2)以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 【例4】巴黎奥运会于2024年7月26日至8月11日举行．某体育局为普及奥运知识，组织了答题活动．设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球大小、颜色、质量都一样．每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为2分、10分．抽取规则：每次从抽题箱抽取一个小球，对小球中题目作答后将该题目放回原球内，并把小球放回抽题箱，摇匀后，再抽取．已知2分题目小球被抽到的概率为，10分题目小球被抽到的概率为． (1)若甲抽取3次，记表示甲3次抽取题目分值之和，求的分布列和数学期望． (2)若甲、乙各抽取4次，已知甲前两次抽出题目分值之和为20，记事件“乙抽出题目分值之和大于甲抽出题目分值之和”，求． 【变式2-1】我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组通过初赛和复赛获胜的概率均为，第三组通过初赛和复赛的概率分别为和，其中，三组是否通过初赛和复赛互不影响. (1)求取何值时，第三组进入决赛的概率最大； (2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数的分布列和数学期望. 【变式2-2】随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为． (1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率； (2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望． 【变式2-3】某综艺节目，5位嘉宾轮流参与抽奖．四个一模一样的箱子，只有一个箱子有奖品．抽奖规则为主持人请嘉宾在四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由嘉宾获得．前一位嘉宾抽奖结束后，主持人重新布置箱子，邀请下一位嘉宾抽奖． (1)记X为5位嘉宾中的中奖人数，求X的分布列，均值和方差； (2)主持人宣布游戏升级，新的抽奖规则是：当嘉宾选好一个箱子后，主持人（他知道哪个箱子有奖品）会打开一个嘉宾没有选择的空箱子给嘉宾看，此后嘉宾可以选择换一个箱子或者不换．嘉宾做出选择后，主持人再打开嘉宾最终选中的箱子，揭晓嘉宾是否中奖．嘉宾的哪种决策会有更大可能抽中奖品？请说明理由． 题型三 二项分布中的概率最值问题 【例5】高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【例6】4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．    (1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明） 【变式3-1】在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. (1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； (3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 【变式3-2】小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与6的大小无法确定 【变式3-3】某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖. (1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据； (2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 知识点二、超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． ②均值： 注：二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 题型四 超几何分布的概率、分布列 【例7】（多选）某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（    ） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B．随机变量 C．随机变量的数学期望为 D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 【例8】第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午召开．某社区为了调查社区居民对该会议的关注度，随机抽取了60名社区居民进行调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)以频率估计概率，若社区计划从60名社区居民中，再次随机抽取三人进行回访，求至少有两人的年龄在区间内的概率； (2)若和年龄段的所有居民对该会议的关注度都很高，社区准备从中抽取3人谈谈对该会议的感受，设表示年龄段在的人数，求． 【变式4-1】某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理组获奖情况如下表，组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛，活动中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从两个学科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人. 数学组 物理组 男生 30 20 女生 30 (1)求数学组中女生的人数； (2)若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为，求女生人数的分布列和数学期望. 【变式4-2】学校图书阅览室订阅了不同的语文和数学杂志共7本，其中数学杂志不少于3本.一学生从中任意借阅2本杂志.若至多有1本语文杂志的概率为，则数学杂志有 本；若借阅的语文杂志数量的期望为，则数学杂志有 本． 【变式4-3】某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到下表： 语文兴趣 数学兴趣 英语兴趣 物理兴趣 化学兴趣 生物兴趣 答卷份数 350 470 380 400 300 500 兴趣良好频率 0.7 0.95 0.8 0.75 0.85 0.86 假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立． (1)从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率； (2)从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率； (3)按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望． 题型五 二项分布、超几何分布的综合 【例9】某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. (1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； (2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； (3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求. 【例10】某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 【变式5-1】袋中有8个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，求； (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列． 【变式5-2】哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类6道题中任选3道进行答题，都答完后错题个数不超过1道（否则终止比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类10道题中任选3道进行答题．A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得30分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80分或90分为三等奖，110分为二等奖，120分为一等奖．某班参加活动的同学类题中只有4道能答对，类题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． (1)求该同学被终止比赛的概率； (2)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X的分布列及期望； (3)求该同学获得三等奖的概率． 【变式5-3】某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求： (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力． 知识点三、正态分布 1.正态分布的定义 ①正态曲线：称其中为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线(其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差) ②正态分布的定义 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当时，称随机变量X服从标准正态分布． 2.正态曲线的性质 对，它的图象在轴的上方 曲线与轴之间的面积为1 曲线是单峰的，它关于直线对称 曲线在处达到峰值 当无限增大时，曲线无限接近x轴 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散， 3.三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 ①；； . ②原则：尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．所以在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值 题型六 正态分布的概率计算 【例11】已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.46 B．0.73 C．0.23 D．0.27 【例12】设随机变量服从正态分布，若，则实数（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式6-1】已知，且，则的最小值为 . 【变式6-2】某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【变式6-3】已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 题型七 正态分布的期望、方差问题 【例13】某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【例14】（多选）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选）已知随机变量服从正态分布，即，则（   ）． A． B． C． D． 【变式7-2】设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（多选）已为随机变量，且，其中，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型八 正态分布与其他分布的综合 【例15】（多选）在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（    ）附：若随机变量服从正态分布，则 A． B． C． D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人 【例16】已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. (2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 【变式8-2】为加大自然生态系统和环境保护力度，加强企业对尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况进行调查，并出台相应的整治措施．相关部门对1000家化工企业所排污水的质量及周围空气质量进行了综合检测，得分情况如频率分布直方图所示． (1)计算该市化工企业的平均得分（同一组中的数据以这组数据的中间值为代表）； (2)已知化工企业的得分情况近似服从正态分布，其中，则得分在内的企业大约有多少家； (3)按照（2）中概率分布随机抽取100家化工企业，分数不低于19分的企业有多少家时概率最大． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【变式8-3】某企业的产品正常生产时，产品尺寸（单位：）服从正态分布，从当前生产线上随机抽取400件产品进行检测，产品尺寸汇总如表 产品尺寸/ 件数 8 54 54 160 72 40 12 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件，一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品. (1)判断生产线是否正常工作，并说明理由； (2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费为20元/件，次品检测费为30元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的均值及方差. 附：. 一、选择题 1．已知随机变量，则（    ） A．21 B．20 C．11 D．10 2．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里有5个白球和5个黑球，现从乙袋子里随机取出个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个球，记取到的白球的个数为，则当变大时（    ） A．变小 B．先变小再变大 C．变大 D．先变大再变小 5．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 6．设随机变量，记，，下列说法正确的是（    ） A．当k由0增大到n时，先增后减，当且仅当k取某一个正整数时达到最大 B．如果为正整数，当且仅当时，取最大值 C．如果为非整数，当且仅当k取的整数部分时，取最大值 D． 二、填空题 7．在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（    ）（若随机变量服从正态分布，则） A． B． C．该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年 D．该厂家生产的安全芯片的良品率超过 8．已知袋子中装有个除颜色外完全相同的小球，其中个红球，个白球．每次从袋子中随机摸取一球，连续摸取次，则下列结论中正确的是（   ） A．若每次取出的球放回，则恰好两次取出红球的概率为 B．若每次取出的球不放回，则第次取到红球的概率为 C．若每次取出的球不放回，已知在前两次取球中恰好有一次取出红球的条件下，第次取到红球的概率为 D．若每次取出的球不放回，则取出红球的次数的数学期望为 三、填空题 9．随机变量，则 ． 10．已知随机变量服从标准正态分布，， 其中，的平均数为的平均数为， 则样本数据的平均数的最小值为 . 11．产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，从产品中随机抽件做检查，请计算当N=16，M=8时， ；若，，请计算 .（用组合数表示） 四、解答题 12．某地教育局为提升教师的业务能力，从当地中学教师中随机选取100人参加教学技能比赛，统计他们的得分（满分100分），其得分在各区间的人数比例如下表.规定得分不低于80分的为优秀教师. 得分区间 人数比例 0.25 0.35 0.20 (1)求的值并求参赛教师为优秀教师的频率； (2)以频率估计概率，若在当地中学教师中随机选取3人，其中优秀教师的人数记为，求的分布列与期望. 13．今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗．现有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取3个． (1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率； (2)设表示取到的红豆粽个数，求的分布列． 14．2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭成功发射，标志着2024年我国首次载人发射任务告捷.为普及航天知识，大学组织学生举办了一次“逐梦寰宇问苍穹”航天知识竞赛. (1)已知参加这次知识竞赛的学生分数近似服从正态分布，若参赛学生的成绩满足，则该学生获得二等奖；若，则该学生获得一等奖. （i）若小王同学这次竞赛成绩为95分，试判断他能否获得一等奖； （ii）若大学这次共有10人获得一等奖，试估计大学参加这次航天知识竞赛的学生人数；（四舍五入后取整） (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：①共设两个奖项，分别奖励100元，50元，抽中奖项的概率分别为，；②每位参赛选手允许连续抽奖两次，且两次抽奖之间相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位参赛大学生所获的总奖金为元，求的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 15．某学校信息科技小组为了研究“加密信息传递过程中被破解问题”的一项“微课题”，进行了一次探究活动.将传递的信息编码分别用“”四种字符代替，并随机等可能发送，每次只传递一种字符，且在发送过程中，“”四种字符被破解情况如下： 传递信息字符 破解后信息字符 （每一种传递字符等可能被破解，如“传递字符”等可能被破解为“”） (1)若破解后信息字符为“”，求破解正确的概率； (2)现已知连续三次传递信息字符均为“”，设被破解后信息字符正确的个数为，求的分布列和数学期望； (3)若连续三次传递信息，被破解后信息字符均为“”，设传递信息字符只有一种的概率为，传递信息字符只有两种的概率为，传递信息字符有三种的概率为，请比较的大小，并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$