江西省九江市修水县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

秘密★启用前 九江市2024-2025学年度上学期期末考试 九年级 数学试题卷 本试卷满分120分，考试时间120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面表格中．） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．连续抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚都正面朝上的概率为（ ） A． B． C． D． 3．如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．点在反比例函数的图象上 D．当时， 5．如图，在中，D为AB上的一点，过点D作交AC于点E，过点D作交BC于点F，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，边长为1的正方形ABCD绕点C逆时针旋转后得到正方形，边与AB交于点E，则阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 7．若则的值为______． 8．若是方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 9．一个不透明的袋子中装有2个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同．经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在，则袋子中的黄球有______个． 10．如图，点A、B分别在双曲线和上，且轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为______． 11．如图，一条笔直的公路边有一路灯OP，距离路灯1.5米处有一棵垂直于地面的小树DE，影长米．为了测量树高，小明在路灯的另一侧距离路灯9米地面竖起一根1.5米的竹杆AB，经测量AB的影长米，则小树的高度是______米． 12．如图，在中，，O为AC的中点，连接BO并延长，点P是射线BO上一个动点，当为直角三角形时，BP的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．解方程：（1） （2） 14．如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡。 （1）随机闭合1个开关，则小灯泡发光是______事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）． （2）随机闭合2个开关，求小灯泡发光的概率（用树状图或列表法）． 15．如图，在中，D为AB上一点，．求AB的长． 16．已知关于x的方程 （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 17．如图，在矩形ABCD中，P，M分别是AD，CD的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． 图1 图2 （1）在图1中，作出的BP边上的中线； （2）在图2中，以PM为边作一个菱形． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作交BE于点G，连接CG． （1）求证：四边形CEFG是菱形； （2）若，求四边形CEFG的面积． 19．如图，已知是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点C、 D． （1）求的面积； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 20．课本再现 我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图1，在中，，若点D是斜边AB的中点，则． 定理证明 （1）请完成这个定理的证明． 拓展应用 （2）如图2，已知，点E、F分别为AC、BD的中点，．求EF的长． 图1 图2 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21．某商场在2024年国庆期间进行促销活动，A商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元。 （1）国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对A商品平均每次降价的百分率是多少？ （2）国庆节过后，该商场A商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，A商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．若商场某天销售A商品共获利500元，则这天该商场A商品在每件150元的基础上降价多少元？ 22．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为． （1）求过点B的反比例函数的解析式； （2）连接OB，过点B作交x轴于点D，求直线BD的解析式． 六、（本大题共12分） 23．在中，，点P是外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转得到线段PD，连接BD，CD，AP． 图1 图2 观察猜想： （1）如图1，当时，的值为______，直线CD与AP所成锐角的度数为______°； 类比探究： （2）如图2，当时，求出的值及直线CD与AP所成锐角的度数并说明理由。 拓展应用： （3）如图3，当时，，求PC的长度。 图3 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C C B B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．3 8． 9．4 10．8 11．4 12．或或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．（1）， （2） 14．（1）不可能 （2）列表如下： 由表格可知共有12种情况，其中小灯泡发光的共有8种， ∴小灯泡发光的概率为． 15．解：且 16．（1）证明： ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）设方程的另外一个根为a，则 解得： 故m的值为，方程的另一个根为． 17．（1）如图1，AE即为所作 图1 （2）如图2，四边形PEFM即为所作 图2 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（1）证明：由题意可得，， ， ， ， ∴四边形CEFG是平行四边形． 又， ∴四边形CEFG是菱形； （2）∵矩形ABCD中，， ， ， 设，则， ，解得，， ， ∴四边形CEFG的面积是：． 19．（1）把代入得到， 所以反比例函数解析式为， 把代入得，解得， 把和代入得 解得． 所以一次函数的解析式为； 所以C点坐标为 则， （2）或， 20．（1）如图1，延长CD到E使得，连接BE，AE． 图1 ∵D为AB中点， ， ∴四边形ACBE为平行四边形， 又∵四边形ACBE为矩形， ， （2）解：如图2，连接BE、DE， 图2 ，点E是AC的中点，， ， ∵点F是BD中点， 且 由勾股定理得． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（1）解：设商场对A商品平均每次降价的百分率为x， 由题意得： 解得：（舍去）， ， 答：商场对A商品平均每次降价的百分率为10%； （2）解：设这天商场在每件150元的基础上降价y元， 由题意得：， 解得：， ∵为了尽快销售完这批商品， ， 答：这天商场对A商品在每件150元的基础上降价20元． 22．（1）过点A作轴，过B作轴，垂足分别为E，F，如图， ， ∵四边形OABC是菱形，轴，， ， 把B点坐标代入得，， 所以，反比例函数解析式为； （2）， ，又， ，，解得，， ． 设BD所在直线解析式为，把分别代入， 得：解得，∴直线BD的解析式为． 六、解答题（本大题共12分） 23．（1）1，60° （2）如图2，易得， ，即。所以， ． 同时有，且， 即直线CD与AP所成锐角度数为45°． （图2） （图3） （3）将线段BP绕点P逆时针旋转得到线段PD，连接BD，CD． 则 作， 即 同理，， ，即。所以． ，由勾股定理求得． 学科网（北京）股份有限公司 $$