2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练 轴对称-最短路径问题

2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练- 轴对称-最短路径问题 一、解答题： 1.如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． 画出关于轴对称的图形并写出顶点的坐标； 求的面积； 在轴上找一点，使得的周长最小保留作图痕迹． 2.如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． 在图中画出关于轴对称的图形； 若点与点关于一条直线成轴对称，请在图中画出这条对称轴； 在轴上找一点，使最小，则点的坐标为          ． 3.如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点，，在正方形的顶点上． 在图中画出与关于直线成轴对称的． 的面积为______． 在直线上找一点，使的值最小． 在直线上找一点，使值最大在图形中标出点、，保留作图痕迹 4.如图，小河边有两个村庄，，要在河边建一自来水厂向村与村供水． 若要使厂部到，两村的距离相等，则应选择在哪建厂？要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明 若要使厂部到，两村的水管最短，应建在什么地方？ 5.如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的，两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图，作出点关于的对称点，线段与直线的交点的位置即为所求，即在点处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接，，证明请完成这个证明． 如果在，两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案．不需说明理由 生态保护区是正方形区域，位置如图所示； 生态保护区是圆形区域，位置如图所示． 6.如图，，在直线的两侧，在直线上取一点，使的值最大． 7.如图，点，在直线异侧，请你在直线上画出一点，使得的值最小； 如图，点，在直线同侧，请你在直线上画出一点，使得的值最小； 如图，点，在直线同侧，请你在直线上画出两点，，使得，且的值最小． 保留作图痕迹，不写作法 8.如图，两个居民小区和在河岸的同侧，现欲在河岸边建一个长度为米的绿化带，使到小区的距离与到小区的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置．保留作图痕迹，不写作法 9.如图，直线，，为两定点，，分别在直线，上，且，请确定，的位置，使的值最小． 10.如图所示，在、两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从村往村，要经过两座桥、现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河岸的大桥，问：如何设计这两座桥、的位置，使由村到村的路程最短？要求在图上标出道路和大桥的位置 11.如图，在中，直线垂直平分，分别交，于点，，直线垂直平分，分别交，于点，，连接，求证：的周长等于的长． 如图，在的内部有一定点，试分别在，上确定，两点，使的周长最短不写作法，保留作图痕迹． 12.如图，在直线一侧有，两点，在上找一点，使，，三点组成的三角形的周长最小，找出此点，并说明理由． 如图，在内部有一点，若在，上分别存在点，，使得，，三点组成的三角形的周长最小，找出，两点若，则       ． 如图，在内部有两点，，是否在，上分别存在点，，使得，，，四点组成的四边形的周长最小，找出，两点． 2025年沪科版九年级中考数学总复习压轴题训练- 轴对称-最短路径问题 参考答案 一、解答题： 1.【答案】解：如图，即为所求；顶点的坐标为； 解：； 解：如图，连接与轴交于点，即为所求的 点．   2.【答案】(1)解：如图，△即为所求．   (2)点与点关于直线成轴对称． 如图，直线即为所求． ​​​​​​​   (3)  3.【答案】  【解析】解：如图即为所求： ； 故答案为：； 如图，连接交于点，则点即为所求； 由对称知，，则最小值为线段的长； 如图，点即为所求． 此时的最大值为线段的长． 4.【答案】(1)如图（1），连接AB，作出AB的垂直平分线与EF的交点M，则交点M即为厂址所在位置．   (2)如图（2），作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B交EF于点N，则点N即为所求．​​​​​​​   5.【答案】(1)解：证明：如图②，连接AˈCˈ． ∵点A，Aˈ关于直线l对称，点C在直线l上，∴CA＝CAˈ， ∴AC＋BC＝AˈC＋BC＝AˈB． 同理，ACˈ＋CˈB＝AˈCˈ＋BCˈ． ∵AˈB＜AˈCˈ＋CˈB，∴AC＋BC＜ACˈ＋CˈB．   (2)如图⑤，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC＋CD＋DB（其中D是正方形的顶点）； 如图⑥，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是（其中 CD，BE都与圆相切）．   6.【答案】如图，作点关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点．   7.【答案】(1)解：如图①，点P即为所求．   (2)如图②，点P即为所求．   (3)如图③，点O，P即为所求． 8.【答案】解：如图，作线段，使，且点在点的左侧，取点关于直线的对称点，连结， 交直线于点，在直线上点右侧截取，则即为所求作的绿化带的位置．   9.【答案】如图，过点作，且的长等于，两直线间的距离，连接，交于点，过点作于点，连接．   10.【答案】解：如图所示： 过点作，垂足为，过点作，垂足为； 分别在和上截取河的宽度； 连接，分别交和于点和； 过点和分别作和的垂线段，垂足分别为和； 连接和，则路线就是满足题意的最短路线．  11.【答案】(1)解：∵直线ME垂直平分AB， ∴BM＝AM． ∵直线NF垂直平分AC， ∴AN＝CN． ​​​​​​​∴C△AMN＝AM+MN+AN＝BM+MN+CN＝BC， ​​​​​​​即△AMN的周长等于BC的长.  (2)解：在OA，OB上确定C，D两点，使△PCD的周长最短，如图所示． ​​​​​​​  12.【答案】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于点则点就是所要求作的点． 理由：在上取不同于的点，连接，，． 和关于直线对称， ，． 而， ． ． 即周长小于周长．   如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接，分别交，于点，，，，则点，就是所要求作的点． 如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交，于点，，则点，就是所要求作的点．连接，．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$