安徽中考特色题型突破 题型4 规律探究&题型5 反比例函数、一次函数、二次函数之间的综合-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

题型4 类型①数式规律探究 L.观察以下等式： 第1个等式：+号-日吉第2个等式司 +-日：第3个等式写+- 第1个等式+音-票第5个等 16 16136 式：5+7一5污… (1)按照以上规律，写出第6个等式： (2)写出第n个等式： 2.(2025宿州二模)数学兴趣小组开展探究活 动，研究“勾股数”.指导老师首先提出一个 猜想：如果n表示大于1的整数，则2n,n2 1,n2+1为勾股数.例如：当n=2时，2n= 4,n2-1=3,n2+1=5. .32+42=52,.数据3,4,5是勾股数 对于此规律，兴趣小组的成员进行了如下 证明： ,n>1, .n2+1-2n=(n-1)2>0, ∴n2+1 2n.(填“>”或“<”) .n2+1-(n2-1)=2>0, .n2+1>n2-1. .(n2-1)2+(2n)9 (n2+1)2= ,.(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2, .2n,n2一1，n2+1为勾股数. (1)请补全横线上所缺的内容. 九年级数学HK版 规律探究 (2)若数据8，a,b为勾股数，且a<b,求a,b 的值 3.运算能力(2025阜阳一模)数学兴趣小组开 展探究活动，研究了一个正整数的平方数 问题。 (1)先研究偶数的平方数问题，过程如下： 22=(3+3)2-16×2, 42=(5+3)2-16×3, 62=(7+3)2-16×4, 82=(9+3)-16×5, 按照以上规律，回答下列问题： ①102= ②猜想：(2n)2= (n为正整数)，并证明你 的猜想。 (2)兴趣小组继续研究奇数的平方数问题， 一个奇数的平方数可以写成(2n一1)2，结合 第(1)题的研究结果，请你猜想：(21一1)2 (n为正整数). 类型②图形规律探究 4.【观察思考】毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石 子表示数，产生了一系列形数.如图①，当小 石子的数是1,3,6，…时，小石子能摆成三角 形，这些数叫三角形数.如图②，当小石子的 数是1,4,9，…时，小石子能摆成正方形，这 些数叫正方形数 第个第2个第第 第个第2个第第4 图① 图② 【规律发现】 (1)图①中，第5个三角形数是 图②中，第n个正方形数是 (请 用含n的式子表示). 【猜想验证】 (2)毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正 方形数之间的内在联系：1+3=4,6+10= 16,…,即第n个与第(n十1)个三角形数之 和等于第(n十1)个的正方形数.请将上述联 系用含有”的等式表示出来，并证明. 5.如下图，用5个实心圆圈，5个空心圆圈相间 组成1个圆环，然后把这样的圆环从左到右 按下列差律组成圆环串：相邻2个圆环有1 公共圆圈，公共圆圈从左到右以空心圆圈和 实心圆圈相间排列. 圆环串中圆 环的个数 实心圆圈和空心 10 19 圆圈的总个数 (1)把表格补充完整. (2)设圆环串由x个圆环组成，请你直接写 出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的 总个数： (用含x的代数式 表示). (3)如果圆环串由18个这样的圆环组成，那 么实心圆圈和空心圆圈共有多少个？空心 圆圈有多少个？ 6.阅读下面材料，并解决相关问题： 下图所示的是一个三角点阵，从上向下数有 无数多行，其中第1行有1个点，第2行有2 个点，…，第n行有n个点，容易发现，三 角点阵中前4行的点数之和为10. 【探索】(1)三角点阵中前8行的 0● ●●● 点数之和为 ,前15行 ●●●● ●●●●● ●●●●●● 的点数之和为 ,前n●。●●●。0 行的点数之和为 【体验】(2)三角点阵中前n行的点数之和 为500（填“能”或“不能”）. 【运用】(3)某广场要摆放若干种造型的盆 景，其中一种造型要用420盆同样规格的 花，按照第1排2盆，第2排4盆，第3排6 盆，…第n排2n盆的规律摆放而成，则一 共能摆放多少排？ 下册安潮中考特色题型突破 题型5反比例函数、一次E 类型①反比例函数与一次函数的综合 1.如下图，在平面直角坐标系xOy中，一次函 数y=k1x十b(k1,b为常数，且k1≠0)与反 比例函数y=兰(k,为常数，且k,≠0)的图 象交于点A(m,6),B(4,-3). (1)求反比例函数和一次 函数的表达式 (2)已知一次函数y=k1x 十b的图象与x轴交于点 C,点P在x轴上.若 △PAC的面积为9，则点P的坐标为 类型②一次函数与二次函数的综合 2.小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数 学问题.在中考复习中，他运用AI和几何画 板研究了动点最值问题.以下为研究笔记的 部分内容：AI梳理了初中常见的动点最值问 题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列 表格，请阅读材料并解答下列问题. 分类项目 基本原理 基本图形 点到点的两点之间，线段 距离 最短 九年级数学HK版 函数、二次函数之间的综合 续表 分类项目 基本原理 基本图形 直线外一点到直线 点到直 上各点的所有连线 线的距离 中，垂线段最短 A G C:CC -B 点P到⊙O的距 点到圆的 离为1，则有PO 距离 -r≤l≤PO十r 【直接应用】 (1)已知在Rt△ABC中，AB=3,AC=4, BC=5,P为边BC上一动点. ①线段AP的最小值为 ②若F为AC的中点，线段AF绕点A顺时 针旋转，则线段PF的最小值为 【迁移运用】 (2)如下图，一次函数y1=x一3的图象分别 与坐标轴交于点B,C.若P为二次函数y2= x2+2x图象上的一个动点，过点P作直线 BC的垂线，垂足为A,求线段PA的最小值.sin45°=15E BC=15,后mile. 故灯塔C与码头B之间的距离为156 n mile. 6.解：，AC LBC.∴.∠C=90 在R1△ACB中，∠B=29°，AC=0.8m, :.tan29"-BC C ≈0.55， ∴.BC≈1.5m. 在R1△ACD中，∠ADC=76°，AC=0.8m .tan76"-CD 4.01 ,CD≈0.2m, ∴.BD=BC-CD=1.5-0.2=1.3(m). 故圭面上冬至线与夏至线之间的距离约为L.3m 题型4规律探究 1,7149 1.解：1)6十8一848 (2)1+”1-1 (n+1)9 nn+2n(n+2n(u+2) 2.解：(1)>n-2n°+1+4n2n+2m+1n'+2 +1 (2)根据勾股数的定义可得， 当8<a<b时，2m=8, 解得n=4, 则a=n°-1=15.b=n2+1=17: 当a<8<b时，n2-1=8, 解得n=3(负值舍去)， 则a=2n=6,b=n3+1=10: 当a<b<8时，n°+1=8， 解得n=士7，不符合题意，该种情况不成立. 所以a=15,b=17或a=6,b=10. 3.解：(1)①(11十3)216×6 ②[(2n+1)+3]16(n+1) 证明：，[(2n+1)+3]一16(n+1) =(2n十4)2-16n-16 =4n2+16n+16-16m-16 =4n =(2n)3, ∴.(2m)2=[(2n十1)十3]一16(n+1)(n为正整数) (2)[(2n+1)+3]5(4+3) 4.解：(1)15n (2)0(m+卫+n+1)(m+2) 2 2 =(m+1) 证明：左边=n十1)×(n+n+2) 2 =n+1)×(2n+2) 2 =(n+1)=右边， 等式成立 Λ38 九年级数学HK版 【解析】(1)由题意知，在图①中，第n个三角形数为1 +2+3+…+w=(m+1 2 ÷第5个三角形数为5X(5+卫 2 =15: 图②中，第”个正方形数为n, 5.解：(1)表格补充完整如下： 图环串中圆环的个数 2 5 6 实心圆圈和空心圆圈的总个数10193746 55 (2)9.x十1 (3)当x=18时，实心圆圈和空心圆图共有9×18+1 =163(个). :围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多 1个 六空心圆周有163-二 =81(个). 6.解：(1)36120 n(n+1) 2 (2)不能 (3)由题意可知，前m排盆景的总数可表示为n(n十 1). 令n(n十1)=420.解得1=一21，n:=20. :n为正整数.∴n=20, 即一共能摆放20排. 【解析】(1)由图可知，三角点阵中前1行的点数之和为 1:三角点阵中前2行的点数之和为1+2=3：三角点阵 中前3行的点数之和为1十2+3=6：∴.三角点阵中前 ”行的点数之和为1+2+3+…+n=nn+ 2 .当n 8时，(n+1 =36,即三角点阵中前8行的点数之和 为36：当n=15时.”m+D 2 =120,即三角点阵中前15 行的点数之和为120. (2)令0(n+1) 2 =500,解得n=二1土/00 2 n为正整数，∴三角点阵中前”行的点数之和不能 为500. 题型5反比例函数、一次函数、 二次函数之间的综合 1.解：D将B(4,-3)代入y=,解得k,=一12. 六反比例函数的表达式为y=一昌 将A(m,6)代人y=-号，解得m=-2. ∴A(-2,6) 将A(-2,6),B(4,一3)代人y=1x+b, 3 得 -2k1+b=6, 解得 k=一2 4k,+b=-3, b=3, 3 ·一次函数的表达式为y=一2x十3 (2)(5,0)或（一1,0） 3 【解析】水2)：y=一之1+3，令y=0,解得x=2, ∴.C(2,0). 设P(p,0),则PC=1p-21 :△PAC的面积为9， ∴71p-21×6=9. 解得p=5或一1， ∴点P的坐标为(5,0)或（一1,0）. 2解：10号@号 (2)如图，过点P作PG⊥x轴，交直线AC于点G. 由题意得，点B(3,0).C(0,-3) ..OB=OC. ∴△BOC为等腰直角三角形， .∠0BC=45. 又PG⊥x轴，.∴∠BGP=45°， PA=号e 设点P的横坐标为1，则P(1,1+21).G(1,t一3)， G=r+1--》=r+8-(+》'+出 ∴当1=一之时，PG有最小值，最小值为片 线段PA的最小值为 【解析】(1)①在R1△ABC中，当AP⊥BC时，AP 最短。 由三角形面积公式得S=AB·AC=号BC,AP, ,AB=3,AC=4,BC=5, “×3×4=号X5·AP 1 解得AP-号 ②：F为AC的中点，AC=4. .AF=2. 线段AF绕点A顺时针旋转，点F的轨迹是以点A为 圆心，2为半径的圆.当P,F,A三点共线且点F在线 段AP上时，PF最小 此时PF=AP-A,由①知AP的最小值为号， PF的最小值为号-？-号 限时周测 周测一(24.1) 1.B2.D 3.A【解析】由旋转的性质可知，AB AD,AC=AE,∠ABC=∠ADE, ∠BAC=∠DAE,故B选项不符合题 意：：∠ACE=∠ABC+∠BAC, ∴.∠ACE=∠ADE+∠BAC,故C选 项不符合题意：：∠BAC=∠DAE,∴.∠BAD= ∠CAE.又：AB≠AC,.BD≠CE,故D选项不符合 题意：如图，设AD与BE的交点为O.,∠ABC= ∠ADE,∠BAD=∠CAE,∠AOB=∠DOE, ∴·∠BED=∠BAD=∠CAE,故A选项符合题意 4.A【解析】如图，将线段AP绕点A 按逆时针方向旋转60得到AP',连 接MP'.PP' 则∠PAP'=60°，AP=AP .△APP'是等边三角形， ..AP=PP'. :△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°， ∴∠NAP=∠MAP'.AN=AM, .△ANP≌△AMP'(SAs),.PN=P'M.:PM+ PM≥PP',∴.当P,M,P'三点共线时，PM+PM最 小，即PM+PN最小，为PP'的长.：AP=10,.PP =10,.PM+PW的最小值为10. 5.平行且相等6.15° 7.y=-x2+2x-3【解析】二次函数y=x2+2x十3的 图象绕原点旋转180°后，得到的图象的表达式为一y =(-x)+2(-x)+3,即y=-x2+2x-3. 一题多解法《 y=x2十2x十3=(x+1)2+2..抛物线y= x2+2x十3的顶点坐标为（一1,2），点(-1,2)关 于原点的对称点为(1，一2)，∴抛物线y=x十 2x十3绕着原点旋转180°，所得抛物线的表达式 是y=-(x-1)2-2=-x2+2x-3. 8.64°【解析】：DE⊥AC,∠E=38°，.∠EAC=52 由旋转的性质得∠BAC=∠DAE,∴.∠BAD= ∠EAC=52°.由旋转的性质得AB=AD,.∠B ∠ADB=180°-∠BAD)=6 下册参考答案 39