安徽中考特色题型突破 题型3 解直角三角形的应用-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（沪科版 安徽专版）

题型3解直角 类型①解直角三角形的应用一测量面积 1.(2025阜阳一模)图①是中国空间站材料舱 外暴露实验装置，图②是制作实验装置的某 块原材料示意图，已知∠D=90°，∠BAD= 71.6°，∠ABC=63.4°，AD=CD=1m.求 四边形原材料ABCD的面积（参考数据： tan63.4°≈2，tan26.6°≈0.5，tan71.6°≈3). 71.6 B63.4 图① 图② 类型②解直角三角形的应用一—测量高度 2.老君山老子文化苑的老子铜像（如图①）被大世 界基尼斯总部输录认证为“世界上最高的老子 铜像”.某数学活动小组到老君山老子文化苑测 量老子铜像（含底座）的高度，具体过程如下： 789 D 图① 图② 方案设计：如图②，在老子铜像的两侧地面上选 取A,B两点，先测得A,B两点之间的距离，再 在A,B两点利用同一测角仪分别测得铜像头 486 九年级数学HK版 三角形的应用 顶的仰角（点A,D,B在同一水平线上）. 数据收集：通过实地测量，地面A,B之间的距 离为46m,在点A处测得铜像头顶的仰角为 78°，在点B处测得铜像头顶的仰角为60 问题解决：已知测角仪AE的高度为1.5m, 求老子铜像（含底座）CD的高度（结果精确 到1m,参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈ 0.21,tan78°≈4.70,3≈1.7). 3.如右图，一居民楼底部B 与山脚P位于同一水平 小李在P处测得《 B 居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿 坡角为45的山坡向上走到C处，这时PC= 30瓦m.点C与点A在同一水平线上，点 A,B,P,C在同一平面内. (1)求居民楼AB的高度. (2)点C,A之间的距离为 (结果保留根号). 类型③解直角三角形的应用一测量距离 4.(2025宿州二模)如下图，A,B是两个海岛，海 岛B在海岛A的正东方向，一艘渔船从海岛A 出发，沿北偏东53的方向航行80 n mile,到达 点C处捕鱼，捕完鱼之后沿南偏东35的方向 驶向海岛B.求两海岛A,B之间的距离（结果 精确到0.1 n mile,参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin35°≈0.57，cos35 ≈0.82，tan35≈0.70). 5.如下图，轮船在A处，观测灯塔C位于其北 偏东70°方向上.轮船从A处以30 n mile/,h 的速度沿南偏东50°方向匀速航行，1h后到 达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25 方向上.求灯塔C与码头B之间的距离（结果 保留根号). :70 25 类型④解直角三角形的应用一古代数学 6.圭表（如图①）是我国古代一种通过测量正 午（太阳处在上中天的时刻）日影长度来推 定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆 (称为“表”)和一把正南正北方向水平固定 摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正 午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面 上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬 至，日影长度最短的那一天定为夏至.图② 所示的是一个根据某市的地理位置设计的 圭表的示意图，已知该市冬至正午太阳高度 角∠B约为29°，夏至正午太阳高度角 ∠ADC约为76°，表高(AC的长)为0.8m, AC⊥BC,C,D,B三点共线.求圭面上冬至 线与夏至线之间的距离（结果精确到0.1m, 参考数据：sin29°≈0.48，c0s29°≈0.87， tan29°≈0.55，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24， tan76°≈4.01). 夏至 夏至正午阳光 冬至举 冬至正 午阳光A 南9 南b D 夏至线 冬至线 图① 图② 下册安潮中考特色颜型突破 87△A 8.解：(1)如图所示，△A,BC即为所求 (2)如图所示，△A,B:C:即为所求. (8,2) 题型3解直角三角形的应用 1.解：如图所示，连接AC. ,∠D=90°，AD=CD=1m, 76 ·AC=Em.∠DAC=∠DCAB634 =45°， ■ ∴.∠BAC=71.6°-45°=26.6°， ∴.∠ACB=180°-63.4°-26.6°=90° AC .在Rt△ABC中，BC= an63.4≈2， ×号x,-(m).5m=×1X1 ∴.Sam=2X 2(m. 11 六Sam=Sam十Saw=z+2=1(m 故四边形原材料ABCD的面积为1m2 2.解：如图，设接EF交CD于点G. 由题意可知，四边形ABFE为矩形， ..EF=AB.EG=AD.GF=BD. CG 在Rt△CEG中，EG= tan78 在Rt△CFG中，GF= CG tan60". 又，EF=AB=46. .EG+GF=46. 即CG CG an78十Lan50=46, ÷器答-6 解得CG≈57.4， ∴.CD=CG+GD=57.4+1.5=58.959(m). 故老子铜像（含底座）CD的高度约为59m. 3.解：(1)如图，过点C作CE⊥BP于点E 在Rt△CPE中，，PC=302m,∠CPE=45°， icE-pC·n5-30Ex号-30m. 点C与点A在同一水平线上， ..AB=CE=30 m. 故居民楼AB的高度为30m. (2)(105+30)m 【解析】(2)在Rt△ABP中，：∠APB=60°. .tan60°= AB BP' ∴BP= 30 =105(m). .PE=CE=30 m, ..AC=BE=BP+PE=(10/3+30)m. 故点C,A之间的距离为(105+30)m. 4.解：如图，过点C作CH⊥AB于点H 由题意，得∠CAH=90°-53 =37°，∠BCH=35 在R1△ACH中，∠CAH= 53 37°，AC=80 n mile. sin37°=CH AC,c0s37°=AH AC CH AH 即0.6≈ 80,0.8≈ 80 .CH=48 n mile,AH=64 n mile. 在Rt△BCH中，∠BCH=35°， m5器即7盟 BH 解得BH=33.6 n mile, ,∴.AB=AH+BH=64+33.6=97.6(n mile), .海岛A,B之间的距离约为97,6 n mile, 5.解：如图过点B作BD⊥AC于 北 点D 由题意可知，AB=30 n mile, :70°D ∠DAB=180°-70°-50°=60°， 50 ∠ABC=50°+25°=75，.∠C= 180°-60°-75°=45°. 在Rt△ABD中，，sin∠DAB BD AB' .sin60° B 30,心BD=15 3n mile, 在Rt△BCD中，，sinC= BD BC' 下册参考答案 37△ sin45°=15E BC=15,后mile. 故灯塔C与码头B之间的距离为156 n mile. 6.解：，AC LBC.∴.∠C=90 在R1△ACB中，∠B=29°，AC=0.8m, :.tan29"-BC C ≈0.55， ∴.BC≈1.5m. 在R1△ACD中，∠ADC=76°，AC=0.8m .tan76"-CD 4.01 ,CD≈0.2m, ∴.BD=BC-CD=1.5-0.2=1.3(m). 故圭面上冬至线与夏至线之间的距离约为L.3m 题型4规律探究 1,7149 1.解：1)6十8一848 (2)1+”1-1 (n+1)9 nn+2n(n+2n(u+2) 2.解：(1)>n-2n°+1+4n2n+2m+1n'+2 +1 (2)根据勾股数的定义可得， 当8<a<b时，2m=8, 解得n=4, 则a=n°-1=15.b=n2+1=17: 当a<8<b时，n2-1=8, 解得n=3(负值舍去)， 则a=2n=6,b=n3+1=10: 当a<b<8时，n°+1=8， 解得n=士7，不符合题意，该种情况不成立. 所以a=15,b=17或a=6,b=10. 3.解：(1)①(11十3)216×6 ②[(2n+1)+3]16(n+1) 证明：，[(2n+1)+3]一16(n+1) =(2n十4)2-16n-16 =4n2+16n+16-16m-16 =4n =(2n)3, ∴.(2m)2=[(2n十1)十3]一16(n+1)(n为正整数) (2)[(2n+1)+3]5(4+3) 4.解：(1)15n (2)0(m+卫+n+1)(m+2) 2 2 =(m+1) 证明：左边=n十1)×(n+n+2) 2 =n+1)×(2n+2) 2 =(n+1)=右边， 等式成立 Λ38 九年级数学HK版 【解析】(1)由题意知，在图①中，第n个三角形数为1 +2+3+…+w=(m+1 2 ÷第5个三角形数为5X(5+卫 2 =15: 图②中，第”个正方形数为n, 5.解：(1)表格补充完整如下： 图环串中圆环的个数 2 5 6 实心圆圈和空心圆圈的总个数10193746 55 (2)9.x十1 (3)当x=18时，实心圆圈和空心圆图共有9×18+1 =163(个). :围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多 1个 六空心圆周有163-二 =81(个). 6.解：(1)36120 n(n+1) 2 (2)不能 (3)由题意可知，前m排盆景的总数可表示为n(n十 1). 令n(n十1)=420.解得1=一21，n:=20. :n为正整数.∴n=20, 即一共能摆放20排. 【解析】(1)由图可知，三角点阵中前1行的点数之和为 1:三角点阵中前2行的点数之和为1+2=3：三角点阵 中前3行的点数之和为1十2+3=6：∴.三角点阵中前 ”行的点数之和为1+2+3+…+n=nn+ 2 .当n 8时，(n+1 =36,即三角点阵中前8行的点数之和 为36：当n=15时.”m+D 2 =120,即三角点阵中前15 行的点数之和为120. (2)令0(n+1) 2 =500,解得n=二1土/00 2 n为正整数，∴三角点阵中前”行的点数之和不能 为500. 题型5反比例函数、一次函数、 二次函数之间的综合 1.解：D将B(4,-3)代入y=,解得k,=一12. 六反比例函数的表达式为y=一昌 将A(m,6)代人y=-号，解得m=-2. ∴A(-2,6) 将A(-2,6),B(4,一3)代人y=1x+b,