专题07 一次函数54道压轴题型专训（9大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题07 一次函数54道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 一次函数的图像与性质 题型二 一次函数增减性求最值 题型三 一次函数与不等式、方程组 题型四 一次函数的应用（利润、分配、行程）问题 题型五 一次函数与反比例函数综合应用 题型六 一次函数几何综合应用 题型七 一次函数翻折问题 题型八 一次函数规律问题 题型九 一次函数最值问题 【经典例题一 一次函数的图像与性质】 1．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知与成正比，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是将x，y的值代入解析式，利用方程解决问题． （1）已知与成正比，即可以设，把代入即可求得的值，从而求得函数解析式； （2）在解析式中令即可求得的值． 【详解】（1）解：∵与成正比， ∴设， 把代入中， 得， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时， ∴ 即， ∴． 2．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，直线：和直线：交于点． (1)求k，m的值． (2)根据图象求：当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了求两直线的交点问题，图象法解不等式等知识，正确求出两直线的交点坐标是解题的关键． （1）把代入得到，得到，把代入得到即可； （2）根据交点找到直线在直线上方的点的横坐标的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入得到，， 解得， ∴， 把代入得到 ， 解得， （2）解：由（1）可知，， 由函数图象可知，当直线在直线上方时，， ∴当时，自变量x的取值范围是． 3．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）在平面直角坐标系中画出一次函数的图像． (1)求出直线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若该一次函数图像上的点到轴的距离是，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】考查了一次函数图象，直线与坐标轴的交点，解决本题的关键是在平面直角坐标系中正确画出图象． 在平面直角坐标系中正确的画出图象，根据一次函数的解析式求出函数图象与坐标轴的交点坐标，根据交点坐标求出直线与坐标轴围成的三角形的面积； 因为一次函数图像上的点到轴的距离是，所以点的纵坐标是或，根据纵坐标求出相应的横坐标，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中画出一次函数的图像，如下图所示， 当时，， 当，可得， 解得：， 直线与轴的交点坐标为：，与轴的交点坐标为：， 直线与坐标轴围成的三角形的面积为：； （2）解：一次函数图像上的点到轴的距离是， 点的纵坐标是或， 当点的纵坐标是时， 可得：， 解得：， 此时点的坐标为， 当点的纵坐标是时， 可得， 解得：， 此时点的坐标为， 综上所述点的坐标为或． 4．（24-25八年级下·上海虹口·期末）本如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设一次函数与轴交于点，点是轴上不同于点的另一点，且．求出点的坐标坐际． (3)若点是轴正半轴上的一点，且，直接写出点的坐标______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用． （1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可； （2）先求出，得出，进而求出结论即可； （3）设，根据列方程并解方程即可解决． 【详解】（1）解：将代入得 将代入得 将和代入得 解得 故反比例函数和一次函数的解析式分别为和； （2）当时，， ， ，， ， ， 当点P在点C上方时，， 则； 当点P在点C下方时，， 则； 或； （3）设， ，， ，，， ， ， ， 解得：（不合题意舍去）． 5．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点， (1)求直线的表达式； (2)若点C是直线上的一个动点，当的面积为8时，求点C的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点， （1）利用待定系数法求得直线的解析式即可； （2）设,根据三角形面积公式得到，解方程即可； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设直线的解析式为, 点,点, , 解得, 直线的解析式为； （2）解：设, ， ， ， 当时，，当时，， 点的坐标为或. 6．（24-25八年级下·上海宝山·期末）一次函数经过点，交反比例函数于点． (1)求； (2)连接，求的面积． (3)点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数与反比例函数图象和性质，交点坐标，函数与不等式，是解题的关键． （1）利用一次函数经过点，点，列方程计算求得，得到点，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，利用计算即得； （3）利用三角形面积公式求得，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵经过点，点， ∴， 解得， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴C的横坐标的取值范围为：． 【经典例题二 一次函数增减性求最值】 1．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）已知一次函数（k，b是常数，且）的图象经过两点． (1)求该一次函数解析式； (2)若，请分别求出函数y的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，关键是要理解函数图象上的点的坐标与函数图象的关系：若点在函数的图象上，那么点的坐标就满足函数的解析式． （1）将点的坐标代入一次函数的解析式中，得到关于，的二元一次方程组，解之即可； （2）根据函数图象的性质及函数的解析式求出的取值即可． 【详解】（1）解：∵点在该一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式为． （2）解：∵， ∴该一次函数的函数值随的增大而减小． 当时，； 当时，． ∴当时，该一次函数的函数值的取值范围是． 2．（2024·上海徐汇·二模）已知反比例函数和一次函数． (1)当时，反比例函数有最小值，一次函数有最大值，求和的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程； （1）根据题意得出反比例函数的图象在一，三象限，一次函数经过一、三、四 象限，进而根据反比例函数与一次函数的性质得出，即可求解； （2）联立得出交点坐标的横坐标，进而根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴反比例函数的图象在一，三象限，一次函数经过一、二、四 象限， ∵当时，反比例函数有最小值，一次函数有最大值， ∴ 解得：． （2）解： 解得： ∵反比例函数的图象在一，三象限，一次函数经过一、三、四 象限， ∴当时，或． 3．（23-24八年级下·上海静安·期中）定义新的运算，已知，； (1)__________，__________； (2)已知，求a的取值范围； (3)若关于b的不等式组有三个整数解，求t的取值范围并求此时的最大值． 【答案】(1)2；1 (2) (3)；12 【分析】本题考查了不等式（组）的应用、二元一次方程组的应用、一次函数的性质： （1）根据新运算法则得，解方程组即可求解； （2）由（1）得，进而可得，根据新运算法则得，解不等式即可求解； （3）依题意得，解得，根据关于b的不等式组有三个整数解得，解得，根据，当时，有最大值，进而可求解； 熟练掌握新运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 故答案为：2；1． （2）由（1）得：， ， ， 解得：． （3）依题意得：， 解得：， 关于b的不等式组有三个整数解， ， 解得：， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 4．（23-24八年级下·上海宝山·期末）阅读理解题： 【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数，它的相关函数为． （1）已知点A（－2，5）在一次函数的相关函数的图像上，求a的值； （2）已知一次函数． ①若点B（t，－4）在这个函数的相关函数的图像上，求t的值； ②当－1≤ x ≤2时，求函数的相关函数的最大值和最小值． 【答案】（1）a＝1；（2）①t＝－0.5或3.5；②最小值为－5，最大值为3． 【分析】（1）根据定义，先写出一次函数的相关函数，因为点A的横坐标是负数，得到2a＋3＝5，即可求出a的值； （2）①根据定义，写出一次函数的相关函数，然后分情况讨论，t＜0或t≥0，求出t的值； ②分情况讨论，当－1≤x＜0时或当0≤x≤2时，根据一次函数的增减性求出最值． 【详解】（1）函数的相关函数是 ∵－2＜0， ∴2a＋3＝5， ∴a＝1； （2）的相关函数是 ①当t＜0时，2t－3＝－4解得t＝－0.5； 当t≥0时，－2t＋3＝－4解得t＝3.5； ∴t＝－0.5或3.5 ②当－1≤x＜0时，y＝2x－3随着x的增大而增大， ∴－5≤y＜－3； 当0≤x≤2时，y＝－2x＋3随着x的增大而减小， ∴－1≤y≤3； ∴最小值为－5，最大值为3． 【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是理解题目中定义的相关函数的意义，利用一次函数的性质进行求解． 5．（24-25八年级下·上海松江·期中）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 1 3 n 7 … (1)列表：表格中 ， ． (2)描点、连线：在平面直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①y的最小值是 ； ②写出该函数的一条性质； ③函数图象与x轴有 个交点，所以方程有 个解． 【答案】(1)3，5 (2)图见解析 (3)①；②见解析；③2；2 【分析】（1）分别将，代入函数的解析式，即可求m、n的值； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）①通过观察图象直接可求解； ②通过观察函数的图象写出符合函数图象的性质即可； ③通过观察图象直接求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：3，5； （2）解：描点、连线：在平面直角坐标系中画出该函数图象如图： （3）解：①由图象可知：当时，y有最小值， 故答案为：； ②由图象可得： 当时，y随x值的增大而增大，当时，y最x值的增大而减小； ③根据函数图象与x轴有2个交点，可知有2个解， 故答案为：2，2． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，会用描点法画出函数图象，数形结合解题是关键． 6．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）综合与探究：如图1，在长方形中，．点Q在上，且，点P在上，连接． (1)若点P从点C出发，以2个单位长度/秒的速度沿方向运动（不超过点D），设点P运动时间为t秒，求的面积S与t之间的函数关系式； (2)直接写出t的取值范围； (3)当时，求的面积； (4)请在图2如示的坐标系中画出此函数的图象，并结合图象写出面积的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)18 (4)30，见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，函数表达式，求函数值，画函数图像，熟练掌握求函数值，画图像的基本步骤是解题的关键． （1）根据题意，，，结合，，得到,计算即可； （2）根据,速度为2个单位长度/秒，得到，写出取值范围即可； （3）根据关系式，代入，计算即可； （4）利用两点确定一条直线，画出两个端点位置，连线即可． 【详解】（1）∵长方形，． ∴， ∴，， ∵，， ∴ ． （2）根据,速度为2个单位长度/秒， ∴， 故t的取值范围是． （3）∵， 当时， ∴． （4）根据题意，画图如下： 根据图象可知，S的最大值为30， 故答案为：30． 【经典例题三 一次函数与不等式、方程组】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）利用函数图象解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案； （2）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案． 【详解】（1）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为； （2）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线 确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想． 2．（23-24八年级下·上海徐汇·开学考试）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B (1)求B点的坐标； (2)若直线l：与线段有公共点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入，求出m，得到点A的坐标，再根据向右平移，横坐标相加纵坐标不变求出点B的坐标； （2）分别求出直线l：过点、点时k的值，再结合函数图象即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点， ∴． ∴点A的坐标为． ∴点向右平移4个单位长度得到点B的坐标为． （2）当直线l：过点时， 得，解得． 当直线l：过点时， 得，解得． 如图，若直线l：与线段AB有公共点，则或．    【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求出点B的坐标是解题的关键． 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）已知点，在第一象限，a、b、c、d均为整数，且，，满足方程． (1)求A、B两点坐标； (2)若在直线上的点横纵坐标均为上面方程的解，则直线叫做方程的图象，已知点是线段上一点，写出m和n的关系式（用n表示m）并写出m的取值范围． 【答案】(1)，或， (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将y看作已知数求出x． （1）把y看作已知数表示出x，即可确定出正整数解，从而求得A、B两点坐标； （2）图象上点的坐标满足解析式即可求得，根据A、B点横坐标即可求得m的取值范围． 【详解】（1）解：方程， 解得：x， 当时，；时，， 则方程的所有正整数解为，． ∵点，在第一象限，a、b、c、d均为整数，且，， ∴，或，； （2）∵点是线段上一点， ∴， ∴， ∵点是线段上一点， ∴． 4．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，一次函数与轴、轴分别交于点A，B． (1)求点A，B的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一次函数的表达式，分别求出时y的值，和时x的值，即可得点A、B的坐标； （2）观察图像即可得解． 【详解】（1）解：由，得 时，， 时，， ∴，． （2）解：由图知时，． 5．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）画出函数图象． (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数与不等式、一次函数与一元一次方程的解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数图象的特殊点作图即可，根据一次函数与x轴的交点求得方程的解； （2）根据时，一次函数图象位于x轴的下方，即可求得不等式的解集； （3）根据一次函数的图象即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ， 作直线，如图所示． 当时，，所以方程的解为； （2）解：当时，，所以不等式的解集为； （3）解：值在的范围内，相应的的取值范围是． 6．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）综合与探究 【课本再现】 八年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和．作出直线． 【解决问题】 (1)已知、、，则点______（填“A或B或C”）在方程的图象上． (2)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） (3)观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______． 【答案】(1)A (2)作图见解析 (3)，； 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）分别把，代入求出值，根据是否一致进行判断即可； （2）求出方程的两组解，确定两个点，即可画出的图象，用同样的方法画出的图象即可； （3）观察（2）中的图象，找出交点坐标，即可解答； 【详解】（1）代入得：， 所以点A在方程的图象上； 代入得：， 所以点B不在方程的图象上； 代入得：， 所以点C不在方程的图象上； 故答案为：A， （2）解：把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； ∴的图象经过，，； 把代入得：，解得：； 把代入得：，解得：； ∴的图象经过，； 如图即为所求： （3）解：由（2）可得：的图象与的图象相交于， ∴这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； 【经典例题四 一次函数的应用（利润、分配、行程）利润问题】 1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）现从A村，B村向甲、乙两地运送蔬菜，A村，B村两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A村到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B村到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨．设A村往甲地运送蔬菜x吨． (1)设A村运费为元，请写出与的函数关系式，并说明x为何值时，最小？ (2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．并求出当时，怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【答案】(1)，当时，最小 (2)A村往甲地运送蔬菜1吨、往乙地运送蔬菜13吨，B村将14吨蔬菜全部运往甲地可使运费最少 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总运费等于从A村到甲地的总运费加上从A村到乙地的总运费之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可； （2）根据总运费等于两村的运费之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）根据题意，A村往乙地运送蔬菜吨， 则， ∵， ∴随x的减小而减小， ∵， ∴当时，最小． （2）根据题意，B村往甲地运送蔬菜吨，B村往乙地运送蔬菜吨， 则， ∵， ∴W随x的减小而减小， ∵， ∴当时，W的值最小， ∴A村往甲地运送蔬菜1吨、往乙地运送蔬菜13吨，B村将14吨蔬菜全部运往甲地可使运费最少． 2．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）某商场计划购进，两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 30 45 50 70 (1)若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件？ (2)若商场规定种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】(1)购进A种服装75件，B种服装25件 (2)购进A种服装50件，乙种服装50件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为1750元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式．列出相应的方程组，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出利润与A种服装数量的函数关系式，再根据A种服装数量的取值范围和一次函数的性质，可以计算出应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为多少元． 【详解】（1）解：设购进种服装件，种服装件， 则， 解得：， 答：购进种服装75件，种服装25件． （2）解：设种服装进货为件，则种服装进货为件，总的利润为元， 由题意可得：， ∴随的增大而减小， ∵商场规定种服装进货不少于50件，购进两种服装共100件， ∴， ∴当时，取得最大值，此时， 答：当购进种服装50件，乙种服装50件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为1750元． 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）上游A地与下游B地相距，一艘游船计划先从A地出发顺水航行到达B地，然后立即返回A地．已知航行过程中，水流速度和该船的静水速度都不变．如图是这艘游船离A地的距离与航行时间之间的关系图象． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若一艘货船在A地下游处，货船与A地的游船同时前往B地，已知货船的静水速度为，求游船在前往B地的航行途中与货船相遇的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，一次方程与方程组的应用，掌握待定系数法求函数表达式和速度、时间、路程之间的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解，用分段函数表示与的函数关系式即可； （2）分别将游船在静水中的速度和水流速度设为未知数，根据题意列方程组并求解，利用方程计算游船从地到地与货船相遇的时间即可． 【详解】（1）解：上游地与下游地相距， 当时，． ①当时，设， 当时，， ，解得， ； ②当时，设， 当时，；当时，， ，解得， ； 综上，． （2）解：设游船在静水中的速度为，水流速度为， 根据题意，得，解得， 游船在静水中的速度为，水流速度为． 设经过，货船与游船相遇，此时， 由题意得：，解得； 货船在前往地的航行途中与游船相遇的时间为． 4．（23-24八年级下·上海·期末）为了全面开展校园足球，学校决定购买甲、乙两种型号的足球，体育用品商店甲型号足球售价为60元/个，乙型号足球购买x个与需要付款y元之间的函数图象如图所示．    (1)求与之间的函数解析式； (2)学校准备购买甲、乙两种型号的足球共60个，其中乙型号足球个，且，学校付款总金额为元，学校如何分配购买甲、乙两种型号足球的数量，才能使付款总金额最小，最小值是多少？ 【答案】(1)当时，，当时， (2)购甲型号足球20个，乙型号足球40个，学校付款总金额最小，最小值是3100元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求出函数的表达式是解题的关键． （1）用待定系数法分段求解即可； （2）购买乙型号足球a个，则购买甲型号足球个，根据函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为， 把点代入得：，解得：． 当时，； 当时，设函数解析式为， 把点代入得：， 解得， 综上所述，当时，，当时，； （2）解：购买乙型号足球个，则购买甲型号足球个， ， ， 随的增大而减小， 当时，最小， 此时元， 个， 答：购甲型号足球20个，乙型号足球40个，学校付款总金额最小，最小值是3100元． 5．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，我市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创T恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如表： 纪念品 价格 文创T恤 纪念湘绣 进货价（元/个） 59 66 销售价（元/个） 79 88 (1)该店铺购进“文创T恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创T恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ (2)该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创T恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每个多少元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元？ 【答案】(1)购进“文创T恤”个，购进“纪念湘绣”个时，有最大利润，最大利润为元 (2)“文创T恤”销售价定为每个元， 【分析】本题考查了一次函数的应用， 掌握一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用是解题的关键． （1）设购进件“文创T恤”x个，则“纪念湘绣”为个，利用总价单价数量，结合总价不超过4900元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，计算再次购进的两款纪念品全部售出后获得的总利润，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； （2）设“文创T恤”销售价定为每个元，利用平均每天销售“文创T恤”获得的总利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设分别购进“文创T恤”x个，则“纪念湘绣”为个， ， 解得：， 设利润为元， 利润为：， 要使利润最大，则x取最小值， ∵，x为正整数， ∴， ∴购进“文创T恤”个，购进“纪念湘绣”个时，有最大利润， 最大利润为：元； （2）解：设“文创T恤”销售价定为每个元， ， 解得：，， ∵为尽快售完， ∴， 答：“文创T恤”销售价定为每个元，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元． 6．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据如图回答问题： (1)机动车行驶 小时后加油，途中加油 升； (2)写出加油前油箱余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式： ； (3)如果加油站离目的地还有250公里，车速为40公里/小时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【答案】(1)2，24 (2) (3)不够用，理由见解析 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的横坐标得出时间． （1）根据函数图象的横坐标，可得答案；根据函数图象的纵坐标，可得加油量； （2）根据待定系数法，可得函数解析式； （3）根据单位耗油量乘以行驶时间，可得行驶路程，根据有理数的大小比较，可得答案． 【详解】（1）解：由横坐标看出，5小时后加油，由纵坐标看出，加了升油． 故答案为：2，24； （2）解：设解析式为，将，代入函数解析式，得 ，解得， ∴函数解析式为； 故答案为：； （3）解：不够用，理由如下： 油量耗尽用时（小时）， 油量耗尽用时行驶路程， ∴油不够用． 【经典例题五 一次函数与反比例函数综合应用】 1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，点是函数的图象与函数的图象的交点． (1)求的值和函数的表达式； (2)若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，函数的表达式为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据交点，代入代入函数，求出的值，得出点的坐标为，再把代入，求出的值，即可得出函数的表达式； （2）由（1）得函数的表达式为，联立函数表达式，整理得出方程，求解得出函数的图象与函数的图象的交点，画出两函数的图象，根据图象，函数的值大于函数的值，即函数的图象在函数的图象上方时，得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点是函数的图象与函数的图象的交点， ∴把点代入函数得：， 解得：， ∴点的坐标为， 把代入得：， ∴， ∴函数的表达式为； （2）解：∵由（1）得函数的表达式为， ∴联立函数表达式得：， 整理得方程：， 解得：，， ∴，；，， ∴函数的图象与函数的图象的交点是和， 如图，画出两函数的图象， ∵函数的值大于函数的值， ∴或． 2．（2024·上海静安·模拟预测）在平面直角坐标系中，设函数与函数的图象交于点． (1)求的值，并写出，的解析式； (2)设图象的另一个交点为，求的坐标，并写出当时的取值范围； (3)设函数的图象与轴的交点为，将点先向右平移的单位，再向上平移个单位后，恰好落在函数的图象上，求的值． 【答案】(1)函数，函数； (2)，当时，的取值范围为或； (3)． 【分析】（）把点代入反比例函数解析式即可求出，确定解析式即可； （）联立解析式求出的坐标，即可求出当时的取值范围； （）求出的坐标，进而表示出平移后的解析式，代入反比例函数解析式求出即可； 本题考查了一次函数与反比例函数的图象及性质，待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数的平移，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）把点代入中，得， 解得， ∴函数，函数； （2）联立解析式得， 解得：或， ∴， ∴当时，的取值范围为或； （3）当时，，解得， ∴， ∵点先向右平移的单位，再向上平移个单位， ∴平移后的坐标为， ∴代入反比例函数解析式得， 解得：． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为4，B的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的交点坐标，求解函数关系式的基本方法，理解两个函数图象的交点与不等式的解集之间的关系是解题的关键． （1）根据正比例函数和反比例函数的中心对称性即可求得点，的坐标，把点的坐标代入反比例函数解析式即可求得． （2）根据图象，找出正比例函数图象在反比例函数图象上方的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点， ∴、关于原点对称， ∴， 把代入可得：， ∴； （2）解：由图象可知，不等式的解集是或． 4．（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于M，N两点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出中x的取值范围； (3)求△AOB的面积． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图像解不等式，及割补法求图形的面积，数形结合是解题的关键． （1）将点A、点B的坐标分别代入反比例函数解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的表达式； （2）由图象的位置关系进行解答即可； （3）将的面积转化为的面积进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，解得， ∴点的坐标为， 又∵点也在反比例函数上， ∴，解得， ∴点的坐标为， 又∵点、在的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：根据图象得：时，的取值范围为或； （3）解：当时，， 解得 ∵直线与轴的交点为， ∴点的坐标为， ． 5．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 【答案】(1)2 (2) (3)可以，证明见解析 【分析】本题主要考查正比例函数以及反比例函数的解析式，以及正比例函数以及反比例函数的应用，正确得到正比例函数以及反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用正比例函数解析式求法得出即可； （2）利用反比例函数解析式求法得出即可； （3）把分别代入正比例函数和反比例函数解析式求出自变量的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：点在的图象上， ， ； （2）解：设当时，与之间的函数表达式为; 点在的图象上 ∴当时，与之间的函数表达式为； （3）解：把分别代入和，得 和， ， ∴这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产． 6．（2024·上海闵行·模拟预测）如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为y=； (2)图中阴影部分的面积为7． 【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD求解即可． 【详解】（1）解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3， ∴点A的坐标为(-1，3)， ∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1，3)， ∴k=-1×3=-3， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称， ∴设直线l′的解析式为y=-x+m， 把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2， ∴直线l′的解析式为y=-x+2， 直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)， 直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)， ∴图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD=×6×3-×2×2=9-2=7． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键． 【经典例题六 一次函数几何综合应用】 1．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)用含的代数式表示； (2)若，求的取值范围； (3)已知，为轴上一点．当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）将点和点分别代入即可求解； （2）解一元一次不等式即可； （3）分两种情况讨论，利用勾股定理结合两点之间距离公式建立方程求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入， ； （2）解：由题意得， ． （3）解：当时，，设点的坐标为 ①当，，如图： ②当，，如图： ，解得， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象上的点的坐标特征，解一元一次不等式，勾股定理，两点间距离公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，有反比例函数的图像上有一点坐标为，点也在第一象限，已知． (1)求反比例函数解析式； (2)求的面积； (3)求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数和一次函数解析式、三角形全等，正确判定全等三角形是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）证明，得到点，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 则函数的表达式为：； （2）解：由题意得，为等腰直角三角形， 则的面积； （3）解：过点作轴于点，交过点和轴的平行线于点， ，， ， ，， 则， 则，， 则点， 设直线的表达式为：， 则，则， 故直线的表达式为：． 3．（24-25八年级下·上海黄浦·期中）如图，已知直线经过点与点，另一条直线经过点，且与轴相交于点． (1)求直线的解析式． (2)若的面积为3，求的解析式． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与几何的综合应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据的面积求出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】（1）解：直线经过点与点， ，解得：． 直线的解析式为． （2）点，另一条直线经过点，且与轴交于点，并且的面积为3， ， ， ∵， 的坐标为或， 或 解得：或 直线所对应的函数表达式为或． 4．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点为轴负半轴上一点，且． (1)求直线的表达式； (2)直线（为常数，且）交直线于点，交直线于点，当时，求此时点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)点的坐标为或． 【分析】（）先通过求出点、的坐标分别为、， 再由，从而求出点， 最后利用待定系数法求解析式即可； （）分当点位于轴的右侧时和当点位于轴的左侧时两种情况分析即可； 本题考查了一次函数的性质，一次函数与面积问题，熟练掌握一次函数性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由，令，解得，令，则， ∴点、的坐标分别为、， ∴，则， 解得， ∴点， 设直线的表达式为， ，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：设点的坐标为， 当点位于轴的右侧时，， 解得，此时， 将代入直线得， ， 解得：， 所以直线的表达式为， ∴，得， ∴； 当点位于轴的左侧时，， 解得，此时， 将代入直线得， ， 解得：， 所以直线的表达式为， 解，得， ∴， 综上：点的坐标为或． 5．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点． (1)求和的值； (2)函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒个单位长度匀速向轴负方向运动，设点的运动时间为秒 当的面积为时，求的值； 在点运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (3)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)；存在，或或 (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）根据点在直线上求得点坐标再根据点在函数的图象上，可以得到的值； （2）根据题意可得，进而根据三角形面积即可求解；存在，分三种情况讨论求解即可； （3）结合图象分析一次函数与不等式的关系即可求解； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 点， ∴函数的图象过点， ，得， 即的值是，的值是； （2）解：①∵函数的图象与轴，轴分别交于点，， ∴点，点， 点的坐标为：， 点， ∵函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为 由题意可得，， 则， 解得：； 存在 点，， ∵函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， ， 设点的坐标为： 当时， 则， 解得：； 当时， 则， 解得：（舍去）或， 故； 当时， 则， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形； （3）解：当时， 根据图像，可得：； 6．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）（1）【提出问题】将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ； （2）【初步思考】将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为 ，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为 ； （3）【深度思考】 已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B． ①将一次函数的图象关于x轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 【答案】（1）；（2）、，；（3）①．②．③ 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）①找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； ②设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ③过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、的直线对应的函数表达式为． 故答案为：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，， ∴点． ①如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． ②如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． ③如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． 【经典例题七 一次函数翻折问题】 1．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿BC翻折，点O恰好落在AB边的点D处，BC为折痕． (1)求线段AB的长； (2)求直线BC的解析式． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）先求出点A、B的坐标可得OA、OB的长，再由勾股定理，即可求解； （2）根据折叠的性质可得∠ADC=∠BDC=∠BOC=90°，BD=OB=6，从而得到AD= 4，然后设OC=x，则AC=OA-OC=8-x，在中，由勾股定理可得OC=3，可得到点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：令x=0，则y=6， 令y=0，则，解得：， ∴点A的坐标为（-8，0），点B的坐标为（0，6）， ∴OA=8，OB=6， ∴； （2）解：根据题意得：∠ADC=∠BDC=∠BOC=90°，BD=OB=6， ∴AD=AB-BD=10-6=4， 设OC=x，则AC=OA-OC=8-x， 在中，， ∴，解得：x=3，即OC=3， ∴点C的坐标为（-3，0）， 设直线BC的解析式为， 把点B（0，6），C（-3，0）代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，勾股定理，图形的折叠，熟练掌握一次函数的图象和性质，用待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，图形的折叠的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)将直线向下平移至处，点，点D在y轴上．连接，，求的面积； (2)将直线向下平移t个单位后再沿y轴翻折，与双曲线交于P、Q两点，点P到原点O的距离为，求t的值． 【答案】(1)； (2)或5． 【分析】本题主要考查反比例的图像和性质，反比例与一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据题意计算出反比例函数以及一次函数的解析式，设，求出，即可计算； （2）设，由列出方程计算即可得到答案． 【详解】（1）解：双曲线过点，， ， ，， 直线过点，， ，解得， ， ∵将直线向下平移至处， 设， 过点， ， ， ， 当时，， ， 设直线与y轴交于点E，当时 则， ； （2）解：根据“上加下减”，直线向下平移t个单位后得， 令， 解得， 沿y轴翻折，与轴相交于， 故设表达式为， ，向下平移t个单位后再沿y轴翻折后过点，代入表达式， 解得， 设， 双曲线过点P ， ， ， ， ， ， ， 或5． 3．（2024·上海徐汇·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． (1)求，的值； (2)请直接分别写出当时，一次函数和反比例函数的取值范围； (3)将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求面积． 【答案】(1)，； (2)一次函数的取值范围为，反比例函数的取值范围为； (3)8 【分析】（1）将点代入解析式即可求出； （2）分别求出解析式，再利用随的增大而变化的情况得到的范围； （3）利用翻折得到，再使用割补法求出三角形的面积． 【详解】（1）将代入，得， 该反比例函数解析式为， 将代入，得； （2）将，代入得： ，解得， ， 当时，一次函数中，随的增大而减小， 时，最大；时，最小， 故的取值范围为， 当时，反比例函数中，随的增大而增大， 时，最小；时，最大， 故反比例函数的取值范围为； （3）一次函数与轴交于点C，得，故， 点沿轴翻折至点，作于，作于，如下图： 由图形可知：， ． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合题，计算点的坐标，范围，任意3点构成三角形的面积，根据条件逐步计算是解题的关键． 4．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． (1)直线的函数表达式． (2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标． (3)若为直角三角形，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于M，轴于N，则，由折叠得，利用勾股定理列得，代入计算即可得到的长，由此得到答案； （3）分两种情况：①当时，过A作轴于G，得到，从而得到答案；当时，由折叠得，，设，则，利用勾股定理得到，求出m，再求OD即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为， 将点A的坐标代入，得， ∴， 将点A的坐标代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为： （2）（3）过点A作轴于M，轴于N，则， 由折叠得， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）， 又E在y轴负半轴， ∴； （3）分两种情况： ①当时，如图， 由折叠得， ， 过A作AG⊥x轴于G， ， ， ， ∴； ②当时，如图， 由折叠得，， ∴， 由A、B两点坐标可得：， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上，或． 【点睛】此题考查一次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键． 5．（23-24八年级下·青浦·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如，如图1就是函数的“V形”图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______； (2)在（1）的条件下，若直线与一次函数的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V形”图象经过，两点，且，求k的取值范围． 【答案】(1)图见解析， (2)2 (3)或 【分析】（1）根据题意作出相应函数图象，然后由一次函数解析式确定点A的坐标即可； （2）先确定出函数解析式，然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可； （3）根据题意得出经过定点，该图象与x轴交点，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求函数图象： y=x+1， 当y=0时，x=-1， ∴点A的坐标为 （2）由图可得：线段AE所在直线的解析式为y=-x-1， ∴， 解得 ∴ 线段AD所在直线的解析式为y=x+1， ∴， 解得 ∴ 由（1）得： ∴△ABC的面积； （3）∵直线（，且为常数） 当时， ∴经过定点 当时， ∴该图象与x轴交点 ①当时 ∵， 由图象可知， 解之得 ∴ ②当时，由图象可知，始终有 综上所述，或． 【点睛】题目主要考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． 6．（2024·上海浦东新·三模）在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用图象解决问题”的学习过程，画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的函数知识探究函数的图象与性质并利用图象解决如下问题： 列出与的几组对应的值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 3 0 … （1）根据表格中、对应关系求出该函数的解析式； （2）用你喜欢的方式画出该函数图象：根据函数图象，写出该函数的一条性质：______． （3）根据图象，直接写出方程的根．（精确到0.1，误差不超过0.2）______． 【答案】（1）；（2）见解析；性质：当，有最小值；（3） 【分析】（1）根据表格将两点代入函数，即可解决问题； （2）根据表格数据描点连线即可； （3）画出的图像，观察与函数的交点即可得出答案． 【详解】解：（1）将两点代入函数， 得：，， 则，（负值舍去）， ∴； （2）函数图像如图： 性质：当，有最小值， ； （3）如上图，与直线与直线有三个交点， 当时，，当时，， ∴； 当时，，当时，， ∴； 当时，，当时，， ∴； ∴的根为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的结合，解题的关键是画出函数的图像，运用数形结合的思想解题． 【经典例题八 一次函数规律问题】 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数（）的图象交于点． (1)求m与k的值； (2)当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数性质，两条直线相交或平行问题，正确理解一次函数性质，并熟练掌握两条直线相交或平行情况是解题的关键． （1）将点代入函数求解，即可得到m的值，再结合待定系数法求解即可得到k的值； （2）联立与求出交点横坐标为，再结合题意和一次函数性质得到，求解，即可解题． 【详解】（1）解：将点代入函数有：， 解得， ， ， 解得； （2）解：由（1）知，， 联立与有：， 解得， 当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值， 又时，直线与直线平行， ，， 当时，解得， 即n的取值范围为． 2．（23-24八年级下·上海崇明·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”． 例如，点为双曲线的“3级方点”，点为直线的“级方点”． (1)下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是　 　（只填序号）； ①；②；． (2)判断直线的“2级方点”的个数，并说明理由； 【答案】(1)① (2)的“2级方点”有两个，理由见解析 【分析】（1）根据定义求得函数的“1级方点”，即可得到答案； （2）函数过定点，由“a级方点”的定义可知，函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点，点恰好落在该正方形的内部，直线与该正方形必有两个交点，故的“2级方点”有两个． 【详解】（1）解：函数图象的“1级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为2且一边平行于x轴的正方形上的点， ①直线与边长为2正方形有两个交点和； ②反比例函数与这个正方形没有交点， 故答案为：①； （2）解：的“2级方点”有两个，理由如下： ∵， ∴函数过定点， 由“a级方点”的定义可知，函数图象的“2级方点”是指函数图象上落在以原点为中心，边长为4且一边平行于x轴的正方形上的点， ∵点恰好落在该正方形的内部，直线与该正方形必有两个交点， ∴的“2级方点”有两个． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键． 3．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）小东同学根据函数的学习经验，对函数y 进行了探究，下面是他的探究过程： （1）已知x＝-3时 0；x＝1 时 0，化简： ①当x＜-3时，y＝ ； ②当-3≤x≤1时，y＝ ； ③当x＞1时，y＝ ． （2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，根据图象，写出该函数的一条性质：　 ； 【答案】（1）①﹣2﹣2x；②4；③2x+2；（2）画出图象见解析；函数图象不过原点． 【分析】（1）根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可； （2）画出函数图象，则易得一条函数性质； 【详解】解：（1）∵x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0 ∴当x＜﹣3时，y＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2﹣2x； ②当﹣3≤x≤1时，y＝1﹣x+x+3＝4； ③当x＞1时，y＝x﹣1+x+3＝2x+2； 故答案为：﹣2﹣2x；4；2x+2． （2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，如图所示： 根据图象，该函数图象不过原点． 故答案为：函数图象不过原点； 【点睛】本题考查了一次函数的图象上的点的坐标特点及绝对值的化简计算，数形结合是解题的关键． 5．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）． (1)按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示） (2)已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有，根据题意列式即可； （2）设裁完这些纸板共需，根据题意写出函数，再利用函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）解：设按B种裁法裁剪的纸板有y张，则按C种裁法裁剪的纸板有张， 由题意得 ∴， ∴按C种裁法裁剪的纸板有（张）， 故答案为：；； （2）解：设裁完这些纸板共需， 根据题意，得．         ∵， ∴z随x的增大而减小． 又∵， ∴当时，z取最小值，最小值为． 答：裁完这些纸板的时间的和至少为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意写出一次函数的解析式是解题的关键． 6．（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3 (2)， (3) 【分析】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标； ②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出点A关于直线的对称点的坐标(3，0)．设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （2）先求出点A关于的对称点的坐标(7，0)．由的坐标规律可得点的横坐标为．再求出的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （3）由，可得，再利用三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B， ∴， 故答案为：(-1，0)，(0，1)； ②∵A(-1，0)，B(0，1)， ∴点A关于y轴的对称点是(1，0)． 当x=1时，y=2， ∴B(1，2)． 点A关于直线的对称点是(3，0)． 设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)， ∴，解得， ∴直线的函数关系式是y=-x+3； （2）∵A(﹣1，0)，(3，0)． 由题意过点作x轴的垂线，点是点A关于的对称点得， ∴(7，0)． 由(1，0)，(3，0)，(7，0)， 可得点的坐标为(，0)， 直线的函数关系式为． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质． 【经典例题九 一次函数最值问题】 1．（2024·上海徐汇·二模）孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售，若按康乃馨和百合花各5束搭配需成本1200元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本880元． (1)求一束康乃馨和一束百合花的成本价各多少元； (2)若花店共进康乃馨，百合花两款花束共100束，其中一束康乃馨售价为120元，一束百合花售价为220元，设销售康乃馨x束，获得总利润为w元． ①求w关于x的函数关系式； ②要使销售花束的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该花店设计一个配货方案，并求出其所获利润的最大值． 【答案】(1)一束康乃馨成本为80元，一束百合花成本为160元 (2)①；②该花店应该购进康乃馨75束，百合花25束，可以使利润最大，最大值为4500元 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，读懂题意列出方程或函数解析式是解题的关键． （1）利用二元一次方程组解题即可； （2）①根据总利润为康乃馨，百合花花束利润的总和列函数关系式； ②根据实际情况求出自变量的取值范围，然后利用一次函数的增减性解题即可． 【详解】（1）设一束康乃馨成本为x元，一束百合花成本为y元，            由题意可得： ，           解得：，                答：一束康乃馨成本为80元，一束百合花成本为160元． （2）①                   ②由题意得 即         解得                随x的增大而减小              即当时，w取得最大值，最大值为 该花店应该购进康乃馨75束，百合花25束，可以使利润最大，最大值为4500元． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高为厘米，个叠放在一起的纸杯的高为厘米．      (1)求个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米？ (2)若设个叠放在一起的纸杯的高为厘米（如图），并将这个叠放在一起的杯按如图所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计． ①求关于的函数表达式； ②若竖立的方盒的高为厘米，求的最大值． 【答案】(1)过程见详解； (2)①，过程见详解；②，过程见详解． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式以及不等式是解题的关键． （1）根据题意得出增加个纸杯，高度增加，进而即可求解； （2）①待定系数法求解析式即可求解； ②根据题意列出一元一次不等式，解不等式，求得最大正整数解即可求解． 【详解】（1）解：量得个纸杯的高为，个叠放在一起的纸杯的高为， 个叠放在一起的纸杯增加的高为， 增加个纸杯，高度增加， 个叠放在一起的纸杯的高为； （2）①依题意，是的一次函数，设，将代入得： 解得： ； ②依题意，， 解得：， 为正整数， 的最大值为． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图，过点的直线：与直线：交于点，其中． (1)求直线对应的表达式； (2)若点P在直线上运动，点Q在y轴上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与性质，垂线段最短，面积法求三角形的高，是解题的关键． （1）代入求出a值，令求出，得，由得，把，代入即可求解； （2）连接，过点A作于点D，根据，得的最小值为长，求出，根据，得，即得． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴． ∴． ∴． ∵时，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点B和点C在直线：上， ∴． 解得． ∴求直线对应的表达式为：． （2）解：连接，过点A作于点D， ∵， ∴当点Q在上，且点P与点D重合时，， 此时取得最小值． ∵，， ∴． 4．（24-25八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)11 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，轴对称的性质及勾股定理，用平移的思想解决问题是就本题的关键． （1）根据坐标轴上点的特点即可得出结论； （2）将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数中，令时，， ， 令时，， ， ； （2）解：如图，将点向下平移个单位到点，作出点O关于直线的对称点，连接，，当点三点在同一直线上时，此时四边形的周长最小， 由作图可得 点O关于直线的对称点， ， ， 四边形的周长最小值 5．（2024·上海·二模）如图，点处有一发球机，发射的乒乓球（看做点）经过挡板（直线）上点处反弹后沿直线运动，矩形为球框，在轴上，且，，． (1)若反弹的点坐标为，求直线解析式； (2)在（1）的情况下，若乒乓球经过点反弹后直接落入框底，则点的横坐标的最大值比最小值大多少？ (3)现将球框固定，且点坐标为，乒乓球经过挡板点处反弹后仍落入球框（球落在点或点视为入框），求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）找到点关于直线的对称点，然后根据待定系数法求得直线的解析式即可； （2）设点，则，，分别计算直线经过点时和直线经过点时的值，即可获得答案； （3）找到点关于直线的对称点，根据题意易得点，，分别计算直线经过点和时、直线经过点和时的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：找到点关于直线的对称点， 将点、代入直线， 可得，解得， ∴； （2）设点，则，， 当直线经过点时， 可得，解得； 当直线经过点时， 可得，解得． ∴点横坐标最大值与最小值的差为； （3）找到点关于直线的对称点， 根据题意，点，， 当直线经过点和时，将两点代入解析式， 可得，解得， 当直线经过点和时， 将两点代入解析式， 可得，解得， ∴的取值范围为． 6．（24-25八年级下·上海浦东新·阶段练习）在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程. (1)请通过“列表-描点-连线”的过程画出的函数图象； ①下表是与的几组对应值：的值为____________； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (2)下列关于函数图象及性质描述正确的是__________； ①此函数图象关于轴对称； ②当时，函数有最小值为0. ③当时，随的增大而增大； (3)已知的图象与轴的交点为点，的图象上有一点，在轴上存在一点，使面积为6，直接写出点的坐标. 【答案】(1)①0；②画图象见解析 (2)①③ (3)或或或 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，画函数图象，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． （1）①把代入即可求得的值；②描点、连线即可； （2）根据图象判断即可； （3）根据函数解析式求得、的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）①把代入得， ， 故答案为：； ②解：如图， （2）观察图象： ①此函数图象关于轴对称，正确； ②当时，函数有最小值为，故错误． ③当时，随的增大而增大；则，随的增大而增大，故正确； 故答案为：①③； （3）的图象上有一点， ， 或， 或， 的图象与轴的交点为点，在轴上存在一点，使面积为， ， 当时，， 此时或； 当时，， 此时或． 综上所述，或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数54道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 一次函数的图像与性质 题型二 一次函数增减性求最值 题型三 一次函数与不等式、方程组 题型四 一次函数的应用（利润、分配、行程）问题 题型五 一次函数与反比例函数综合应用 题型六 一次函数几何综合应用 题型七 一次函数翻折问题 题型八 一次函数规律问题 题型九 一次函数最值问题 【经典例题一 一次函数的图像与性质】 1．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知与成正比，且时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的值． 2．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，直线：和直线：交于点． (1)求k，m的值． (2)根据图象求：当时，自变量x的取值范围． 3．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）在平面直角坐标系中画出一次函数的图像． (1)求出直线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若该一次函数图像上的点到轴的距离是，求点的坐标． 4．（24-25八年级下·上海虹口·期末）本如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设一次函数与轴交于点，点是轴上不同于点的另一点，且．求出点的坐标坐际． (3)若点是轴正半轴上的一点，且，直接写出点的坐标______． 5．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点， (1)求直线的表达式； (2)若点C是直线上的一个动点，当的面积为8时，求点C的坐标． 6．（24-25八年级下·上海宝山·期末）一次函数经过点，交反比例函数于点． (1)求； (2)连接，求的面积． (3)点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围． 【经典例题二 一次函数增减性求最值】 1．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）已知一次函数（k，b是常数，且）的图象经过两点． (1)求该一次函数解析式； (2)若，请分别求出函数y的最大值和最小值． 2．（2024·上海徐汇·二模）已知反比例函数和一次函数． (1)当时，反比例函数有最小值，一次函数有最大值，求和的值； (2)若，求的取值范围． 3．（23-24八年级下·上海静安·期中）定义新的运算，已知，； (1)__________，__________； (2)已知，求a的取值范围； (3)若关于b的不等式组有三个整数解，求t的取值范围并求此时的最大值． 4．（23-24八年级下·上海宝山·期末）阅读理解题： 【定义】对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数． 例如：一次函数，它的相关函数为． （1）已知点A（－2，5）在一次函数的相关函数的图像上，求a的值； （2）已知一次函数． ①若点B（t，－4）在这个函数的相关函数的图像上，求t的值； ②当－1≤ x ≤2时，求函数的相关函数的最大值和最小值． 5．（24-25八年级下·上海松江·期中）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 1 3 n 7 … (1)列表：表格中 ， ． (2)描点、连线：在平面直角坐标系中画出该函数图象． (3)观察图象： ①y的最小值是 ； ②写出该函数的一条性质； ③函数图象与x轴有 个交点，所以方程有 个解． 6．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）综合与探究：如图1，在长方形中，．点Q在上，且，点P在上，连接． (1)若点P从点C出发，以2个单位长度/秒的速度沿方向运动（不超过点D），设点P运动时间为t秒，求的面积S与t之间的函数关系式； (2)直接写出t的取值范围； (3)当时，求的面积； (4)请在图2如示的坐标系中画出此函数的图象，并结合图象写出面积的最大值为______． 【经典例题三 一次函数与不等式、方程组】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）利用函数图象解下列方程 (1) (2) 2．（23-24八年级下·上海徐汇·开学考试）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，点A向右平移4个单位长度得到点B (1)求B点的坐标； (2)若直线l：与线段有公共点，直接写出k的取值范围． 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）已知点，在第一象限，a、b、c、d均为整数，且，，满足方程． (1)求A、B两点坐标； (2)若在直线上的点横纵坐标均为上面方程的解，则直线叫做方程的图象，已知点是线段上一点，写出m和n的关系式（用n表示m）并写出m的取值范围． 4．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如图，一次函数与轴、轴分别交于点A，B． (1)求点A，B的坐标； (2)当时，直接写出x的取值范围． 5．（24-25八年级下·上海青浦·阶段练习）画出函数图象． (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)如果值在的范围内，求相应的的取值范围． 6．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）综合与探究 【课本再现】 八年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和．作出直线． 【解决问题】 (1)已知、、，则点______（填“A或B或C”）在方程的图象上． (2)请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程） (3)观察图象，两条直线的交点坐标为______，由此你得出这个二元一次方程组的解是______． 【经典例题四 一次函数的应用（利润、分配、行程）利润问题】 1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）现从A村，B村向甲、乙两地运送蔬菜，A村，B村两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A村到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B村到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨．设A村往甲地运送蔬菜x吨． (1)设A村运费为元，请写出与的函数关系式，并说明x为何值时，最小？ (2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．并求出当时，怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 2．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）某商场计划购进，两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 30 45 50 70 (1)若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件？ (2)若商场规定种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元？ 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）上游A地与下游B地相距，一艘游船计划先从A地出发顺水航行到达B地，然后立即返回A地．已知航行过程中，水流速度和该船的静水速度都不变．如图是这艘游船离A地的距离与航行时间之间的关系图象． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若一艘货船在A地下游处，货船与A地的游船同时前往B地，已知货船的静水速度为，求游船在前往B地的航行途中与货船相遇的时间． 4．（23-24八年级下·上海·期末）为了全面开展校园足球，学校决定购买甲、乙两种型号的足球，体育用品商店甲型号足球售价为60元/个，乙型号足球购买x个与需要付款y元之间的函数图象如图所示．    (1)求与之间的函数解析式； (2)学校准备购买甲、乙两种型号的足球共60个，其中乙型号足球个，且，学校付款总金额为元，学校如何分配购买甲、乙两种型号足球的数量，才能使付款总金额最小，最小值是多少？ 5．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，我市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创T恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如表： 纪念品 价格 文创T恤 纪念湘绣 进货价（元/个） 59 66 销售价（元/个） 79 88 (1)该店铺购进“文创T恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创T恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ (2)该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创T恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每个多少元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元？ 6．（24-25八年级下·上海静安·阶段练习）某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根据如图回答问题： (1)机动车行驶 小时后加油，途中加油 升； (2)写出加油前油箱余油量Q与行驶时间t之间的函数关系式： ； (3)如果加油站离目的地还有250公里，车速为40公里/小时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由． 【经典例题五 一次函数与反比例函数综合应用】 1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，点是函数的图象与函数的图象的交点． (1)求的值和函数的表达式； (2)若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 2．（2024·上海静安·模拟预测）在平面直角坐标系中，设函数与函数的图象交于点． (1)求的值，并写出，的解析式； (2)设图象的另一个交点为，求的坐标，并写出当时的取值范围； (3)设函数的图象与轴的交点为，将点先向右平移的单位，再向上平移个单位后，恰好落在函数的图象上，求的值． 3．（24-25八年级下·上海徐汇·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为4，B的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集． 4．（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与坐标轴分别交于M，N两点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出中x的取值范围； (3)求△AOB的面积． 5．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间的函数关系如图示，当血液中药物浓度上升（）时，满足；当血液中药物浓度下降（）时，y与x成反比例函数关系． (1)求k的值； (2)求当时，y与x之间的函数表达式； (3)若血液中药物浓度不低于3微克毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，则研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？ 6．（2024·上海闵行·模拟预测）如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 【经典例题六 一次函数几何综合应用】 1．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)用含的代数式表示； (2)若，求的取值范围； (3)已知，为轴上一点．当为直角三角形时，求点的坐标． 2．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，有反比例函数的图像上有一点坐标为，点也在第一象限，已知． (1)求反比例函数解析式； (2)求的面积； (3)求直线的函数解析式． 3．（24-25八年级下·上海黄浦·期中）如图，已知直线经过点与点，另一条直线经过点，且与轴相交于点． (1)求直线的解析式． (2)若的面积为3，求的解析式． 4．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点为轴负半轴上一点，且． (1)求直线的表达式； (2)直线（为常数，且）交直线于点，交直线于点，当时，求此时点的坐标． 5．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点． (1)求和的值； (2)函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒个单位长度匀速向轴负方向运动，设点的运动时间为秒 当的面积为时，求的值； 在点运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (3)当时，请直接写出的取值范围． 6．（24-25八年级下·上海金山·阶段练习）（1）【提出问题】将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为 ； （2）【初步思考】将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为 ，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为 ； （3）【深度思考】 已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B． ①将一次函数的图象关于x轴对称，求所得图象对应的函数表达式； ②如图①，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式； ③如图②，将直线绕点A逆时针旋转，求所得图象对应的函数表达式． 【经典例题七 一次函数翻折问题】 1．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿BC翻折，点O恰好落在AB边的点D处，BC为折痕． (1)求线段AB的长； (2)求直线BC的解析式． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)将直线向下平移至处，点，点D在y轴上．连接，，求的面积； (2)将直线向下平移t个单位后再沿y轴翻折，与双曲线交于P、Q两点，点P到原点O的距离为，求t的值． 3．（2024·上海徐汇·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点C． (1)求，的值； (2)请直接分别写出当时，一次函数和反比例函数的取值范围； (3)将轴下方的图象沿轴翻折，点落在点处，连接，，求面积． 4．（23-24八年级下·上海杨浦·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． (1)直线的函数表达式． (2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标． (3)若为直角三角形，求点D的坐标． 5．（23-24八年级下·青浦·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如，如图1就是函数的“V形”图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______； (2)在（1）的条件下，若直线与一次函数的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V形”图象经过，两点，且，求k的取值范围． 6．（2024·上海浦东新·三模）在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用图象解决问题”的学习过程，画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的函数知识探究函数的图象与性质并利用图象解决如下问题： 列出与的几组对应的值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 2 3 0 … （1）根据表格中、对应关系求出该函数的解析式； （2）用你喜欢的方式画出该函数图象：根据函数图象，写出该函数的一条性质：______． （3）根据图象，直接写出方程的根．（精确到0.1，误差不超过0.2）______． 【经典例题八 一次函数规律问题】 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数（）的图象交于点． (1)求m与k的值； (2)当时，对于x每一个值，总有函数（）的值大于函数（）的值，直接写出n的取值范围． 2．（23-24八年级下·上海崇明·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于a的点叫做该函数图象的“a级方点”． 例如，点为双曲线的“3级方点”，点为直线的“级方点”． (1)下列函数中，其图象的“1级方点”恰有两个的是　 　（只填序号）； ①；②；． (2)判断直线的“2级方点”的个数，并说明理由； 3．（24-25八年级下·上海宝山·阶段练习）正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 4．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）小东同学根据函数的学习经验，对函数y 进行了探究，下面是他的探究过程： （1）已知x＝-3时 0；x＝1 时 0，化简： ①当x＜-3时，y＝ ； ②当-3≤x≤1时，y＝ ； ③当x＞1时，y＝ ． （2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象，根据图象，写出该函数的一条性质：　 ； 5．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）某纸箱加工厂计划用50张纸板制作某种型号的长方体纸箱，每张纸板有如图所示的3种裁法．设按A种方法裁剪的纸板有x张，且按照3种裁法裁得的侧面和底面正好用完（用4个侧面和2个底面可以制作一个纸箱）． (1)按B种裁法裁剪的纸板有___张，按C种裁法裁剪的纸板有___张；（用含x的代数式表示） (2)已知按A种裁法裁一张纸板需要，按B种裁法和C种裁法裁一张纸板均需要，若10≤，求裁完这些纸板的时间的和至少为多少． 6．（23-24八年级下·上海虹口·阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 【经典例题九 一次函数最值问题】 1．（2024·上海徐汇·二模）孝敬父母是中华民族的传统美德．母亲节来临之际，某花店新进了康乃馨和百合花进行搭配销售，若按康乃馨和百合花各5束搭配需成本1200元，按3束康乃馨和4束百合花搭配需成本880元． (1)求一束康乃馨和一束百合花的成本价各多少元； (2)若花店共进康乃馨，百合花两款花束共100束，其中一束康乃馨售价为120元，一束百合花售价为220元，设销售康乃馨x束，获得总利润为w元． ①求w关于x的函数关系式； ②要使销售花束的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该花店设计一个配货方案，并求出其所获利润的最大值． 2．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）如图，图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高为厘米，个叠放在一起的纸杯的高为厘米．      (1)求个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米？ (2)若设个叠放在一起的纸杯的高为厘米（如图），并将这个叠放在一起的杯按如图所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计． ①求关于的函数表达式； ②若竖立的方盒的高为厘米，求的最大值． 3．（24-25八年级下·上海虹口·期中）如图，过点的直线：与直线：交于点，其中． (1)求直线对应的表达式； (2)若点P在直线上运动，点Q在y轴上运动，求的最小值． 4．（24-25八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线（直线上所有点的横坐标均为2）上，且． (1)求A、B两点坐标； (2)四边形的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理由． 5．（2024·上海·二模）如图，点处有一发球机，发射的乒乓球（看做点）经过挡板（直线）上点处反弹后沿直线运动，矩形为球框，在轴上，且，，． (1)若反弹的点坐标为，求直线解析式； (2)在（1）的情况下，若乒乓球经过点反弹后直接落入框底，则点的横坐标的最大值比最小值大多少？ (3)现将球框固定，且点坐标为，乒乓球经过挡板点处反弹后仍落入球框（球落在点或点视为入框），求的取值范围． 6．（24-25八年级下·上海浦东新·阶段练习）在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程. (1)请通过“列表-描点-连线”的过程画出的函数图象； ①下表是与的几组对应值：的值为____________； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (2)下列关于函数图象及性质描述正确的是__________； ①此函数图象关于轴对称； ②当时，函数有最小值为0. ③当时，随的增大而增大； (3)已知的图象与轴的交点为点，的图象上有一点，在轴上存在一点，使面积为6，直接写出点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$