四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)　2024-2025学年高三上学期12月八省联考热身考试数学试题

川大附中高2022级八省联考热身考试试题 （时间：120分钟 分值：150分） 第I卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则z的共轭复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知某样本的容量为，平均数为，方差为．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于，两点，且，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 8. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知变量，之间的经验回归方程为，且变量，的数据如图所示，则下列说法正确的是（ ） 2 3 5 9 11 12 10 7 3 A. 该回归直线必过 B. 变量，之间呈正相关关系 C. 当时，变量的值一定等于 D. 相应于的残差估计值为 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，且，则的最小值为9 B. 若，则 C. 若，，都有成立，则 D. 已知任意，若存在实数使不等式对任意的恒成立，则的最小值为6 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在处切线斜率不小于2 B. 时，有3个零点且三个零点的积为1 C. 时，有两个极值点且两极值点的和不小于4 D. 曲线上总存在两点，，对任意使得曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为 第II卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________. 13. 已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面为等腰直角三角形且，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为__________. 14. 已知数列满足，，则________；高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，称为高斯函数.设，且数列的前项和为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，为，，的对边，. （1）求； （2）若为的角平分线，交于点，，，求的面积. 16. 如图，已知矩形，所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且. （1）设点为棱的中点，求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由. 17. 重庆市高考数学自年起第至题为多选题，每道题共个选项，正确选项为两个或三个，其评分标准是:每道题满分分，全部选对得分，部分选对得部分分(若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得分;若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得分，漏选两个正确选项得分)，错选或不选得分.现甲、乙两名同学参加了有这种多选题的某次模拟考试. （1）假设第题正确选项为三个，若甲同学完全不会，就随机地选了两项或三项作答，所有选法等可能，求甲同学第题得分的概率; （2）已知第题乙同学能正确的判断出其中的一个选项是不符合题意的，他在剩下的三个选项中随机地猜选了两个选项;第题乙同学完全不会，他在四个选项中随机地猜选了一个选项.若第题和题正确选项是两个和三个的概率都为.求乙同学第题和题得分总和的分布列及数学期望. 18. 在平面直角坐标系中，椭圆的方程是. （1）若直线与椭圆交于两点，为椭圆上任意一点，直线、斜率分别为、，求； （2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于，两点.直线，作于点证明直线过定点，并求出点坐标. 19. 若函数对其定义域内任意满足：当时，有为同一常数，则称函数具有性质. （1）请写出一个定义域为且具有性质的函数； （2）已知，函数，当时，证明：； （3）设函数，， （i）判断函数是否具有性质； （ii）证明：. 川大附中高2022级八省联考热身考试试题 （时间：120分钟 分值：150分） 第I卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 第II卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 由已知，，可知，则， 又矩形中有，且， 平面，所以平面， 又， 则平面，所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以，所以， 又平面，所以平面. （2） （3）存在，点与点重合 【17题答案】 【答案】（1） （2）分布列： 0 2 3 4 6 7 8 9 期望为 【18题答案】 【答案】（1） （2） 当直线的斜率不为0时，如图可设其方程为， 代入，整理得：， 显然，设点， 则故得， 因，故，则直线的斜率为， 于是直线的方程为：， 由图形的对称性（交换点和点的位置）可知直线必经过轴上的一个定点， 故可令，代入可得：， 即直线经过定点. 显然，当直线的斜率为0时，直线即轴，满足题意. 故直线经过定点. 【19题答案】 【答案】（1）且（答案不唯一） （2）证明如下： 令，即， 是的两个不等实根，， 又且. （3）（i）不具有； （ii）证明如下： 由，求导可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 由，有， ①当时， ， 令，则， 当时，在单调递增，， 时，，即， 在上单调递减，，故. ②当时，只需证明. ， 令，则， 当时，在单调递增，， 时，，即， 在上单调递减，，故， 又. 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $