贵州省安顺市2025届高三第三次质量监测考试数学试卷

保密★启用前 全市2025届高三第三次质量监测考试 数学参考答案 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 A C 0 B 0 A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部 分分（两个答案的每个3分；三个答案的每个2分），) 题号 9 10 11 答案 BC AC BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3 13.2 14.1:(0,25) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 解： 1)由B_1+cos4及正弦定理5 sin Asin C=smnC0+cos0. …2分 sinC 因为C是三角形的内角，则snC≠0，即√3snA-cosA=1, 由辅助角公式得254-名-1，即s4-身-分 …4分 又A0.对，所以A-=,得A=买. 31 …6分 66 2)由4：登C-海 4 sinB=sn(A+C)=sin5+马=5x巨+x巨_6+2 …8分 3 4 2221 2 4 由正弦定理得g=9snA4sn4 3= 2=2W6 …10分 sinc sin 2 所以△ABC的面积为 sa2csnB-x26x4x645-6+25. 1 4 13分 高三数学答案第1页（共6页） 16.(本小题满分15分) 解： (1)证明：在直三棱柱ABC-AB,C中，AC∥AC. ………2分 因为D,E分别是AB,BC的中点， 则DE是△ABC的中位线，即AC∥DE. …分 所以AC∥DE. 5分 又ACt平面BDE,DEc平面BDE, 所以AC∥平面B,DE. …7分 (2)如图，以C为坐标原点，分别以CACB,CC所在方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建 立空间直角坐标系C-g,则C00,00分分0.CQ02》4002F0b). 由题意得CD⊥平面ABBA, 则平面4B64的-个法向量为CD=分70叭.…10分 设平面ACF的法向量为方=(x,y), 因为C14=(1,00),CF=(0,1,-1) 所以有 nicAn-G4-x-0 i⊥CFi.CF=y-z=0 令y=1→2=1，得i=(0,1,1) …12分 设平面ABBA与平面ACF的夹角为0， 10++0 则cos0=cos<i,CD CDI …14分 IRL-ICDI0 2 故平面ABBA与平面AC,F的夹角的余弦值为2 …15分 17.(本小题满分15分) 解： (1)因为g(x)=e2x+e2 所以g(x)=2e2-2e-2x，8g(x)=4e2r+4e2r. …2分 所以g(0)=0,g'(0)=8. …4分 故曲线y=8()在0，g(0》的曲率K0)=图 =8 …6分 (1+02)2 高三数学答案第2页（共6页） (2)由题意有f'(x)=cosx-sinx,f(x)=-sinx-cosx. …7分 所以K(x)= -sinx-cosx ， 即[Kx= (sinx+cosx) …9分 [1+(cosx-sinx) (1+1-2 sinxcosx)月 令1=sinx+cosx,1∈[-V2,V2],则2 sinxcos=2-1, 所af:a 12 设0g-可[-5同]， 所以H0=23-fy+603-Y.23-2P68+2 …12分 (3-12) (3-12) 当1∈[-√2,0)时，H0<0:当1e(0,V2]时，hM)>0. 所以h)在[-√万，0)上单调递减，在(0，√上单调递增. …13分 又h(-√2)=M2)=2,h0)=0,所以0≤h0≤2. 因为K(x)>0,所以K(x)∈0，V, 故y=f(x)曲率的范围为[0，√2]. …l5分 18.(本小题满分17分) 解： (1)由题意知1-1-p=辶，解得P= …4分 9 3 (2)X的所有可能取值为-3,0,3,6. 5分 PrX=-3=-Py=务PX-0=Cianl-pr-g PX=3)=Cp0-p-号x==P=7 则X的分布列为 -3 0 3 6 8 27 9 27 所以E(X)=-3× 8+0x4+3x2+6x =0 2 9 27 …10分 高三数学答案第3页（共6页） (3)由(1)知p=5,1-p= 则Y的分布列为 1 2 3 n-1 n 1 2.1 80=1写+2×号对3x写++a-0xfr×对axr回 所以 号0=子x兮2x×对3x×对++a-x写对*nxr@ 由①-②得： -++++r”--0xr对nx 宵时时r …16分 所以B0)=3-3写<3. l7分 19.(本小题满分17分) 解： 0)由材料知椭圆号+号=1上点-2，少处的切线为2+=1，即x-2y+4=0, 82 8 2 所以切线1的方程为x-2y+4=0. 2分 (2)设抛物线w:y2=2pr(p>0)与直线x-2y+4=0相切于点(，%) 由题知抛物线w:y2=2x(p>0)在点(，%)处的切线方程为%y=p(x+xo) 即x-y+=0. …4分 x0=4 与x-2y+4=0对照得： y0=-2 6分 又因为哈=2p%,所以4p2=8p,解得p=2. 所以抛物线W的方程为y2=4x. …8分 高三数学答案第4页（共6页） (3)设直线I的方程为x=m四+n,A(,片)B(:片)， 由(2)得P的准线方程为x=-1. 联立 =-1得y=-力+ x=my+n ,即点C-,-”+马. …9分 m m 点到箱等子专-名子 么=2m+n+型 …10分 2m 由kk3k2成等差数列，得k1+飞=2k3, 即为-2+h-2-2m+n+1 ①. -】1分 -1x2-1 由A,B在直线I上得x=m%+n,x2=m%+n,代入①得 2myy2+(m-2m-1y+)-4(n-)_2m+n+1 m%+mn-1y+)+(n-12 ② …12分 {y=4x→y-4mv-4n=0, x=my+n 联立 则△=(-4m2-4×(-4n>0,即m2+n>0. 由韦达定理得y+乃2=4m,y2=-4n③. …13分 @海.20 …14分 m 化简得4m2m+n+)-4n-》_2m+n+1 -4m2+(n-1)2 即(n-1)2(2m+n+)+4m(n-1)=0, 即(n-10Xn2-1+2m+2m)=0, 即(n-1)[n+1n-1)+2m(n+1]=0, 即(n-1)(n+10(2m+n-l)=0. …16分 又因为直线/不过点(-1,0)和点Ml,2),则n≠-1且1≠2m+n,故n=1. 即直线/的方程为x=my+1,所以直线/恒过定点(1,0). …17分 高三数学答案第5页（共6页） 法二： 由人8金就物线上得写=芬，名=冬 代入①得 4 4y-2)+45-2)_2m+n+1 片2-422-4 m 即 4y+2+4)_2m+n+1 ② …小2分 %+2(4+2)+4 m [x=my+n 联立 y2=4x →y2-4my-4n=0. 则△=(-4m)2-4×(-4n)>0,即m2+n>0. 由韦达定理得+为2=4m,yy2=-4n③. …3分 将③代入@得2m-n+1m 4m+4_2m+n+1 …14分 即(2m+1+nX2m+1-m)=4m(m+1), 即(2m+1)2-n2=4m(m+1),得n2=1. …16分 又因为点C不在x轴上，所以直线/不过点(-l,0),则n≠-1 即直线/的方程为x=my+1,所以直线/恒过定点(1，O). …17分 高三数学答案第6页（共6页）全市2025届高三第三次质量监测考试 数 学 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.请在答题卡相应位置作答，在试卷上作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知复数x=(为虚数单位)，则x的虚部是 A.2 B.2i1 C.-2 D.-2i 2.已知函数f(x)=cosx十ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是 A(-∞，0] B.[0,1] C.[1,+∞) D.R 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a,十a,=20,S1=22,则{an)的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.甲、乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天龙屯堡景区，安顺古 城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的选法 共有 A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 5.将函数y=sin2x的图象向左平移a(0<a<x)个单位长度，得到函数y=sin(2x+)的 图象，则a= A活 Ba c D 6.已知F,F2为椭圆E:若+ =1(a>6>0)的两个焦点，0为坐标原点，P为椭圆E上的 点，∠F,PF,=,且IPF,l=2PF,,则椭圆E的离心率为 A号 c 【⊙高三数学第1页（共4页）⊙】 7.已知球O的半径为R,M为球O内一点，OM=1,若过点M的平面截球O所得最小截而 的面积为4π，则球O的体积为 A.205x 3 B.8v2n 3 D.20π 2 8.已知函数f(x)=1一2十1若实数a,b满足∫(2a)+f6-2)=0,则a2+的最小值为 A.2 c D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知集合A={a,a2},B={xl1≤x≤4)，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取 值可以是 A.1 B.√2 C.2 D.4 10.已知一组样本数据为x1,x2x3,x4,下列结论正确的是 A若x1,x2,x3,x的平均数为x,则2x1十1,2x2十1,2x3十1,2x4十1的平均数为2z十1 B.若x1z2,x3,x4的方差为s2,则2x1十1,2x2十1,2x1十1,2x4十1的方差为s2 C.若样本数据满足x1<x2<xa<x,则样本数据的极差为x4一x1 D.若样本数据满足z1<x2<,<x1,则样本数据的25%分位数为2十工 2 11.对于任意角a,β，下列结论正确的是 A(cosa+cosβ)2+(sina+sinβ)2=2-2cos(a-B) B.sin(a+B)sin(a-B)=sin'a-sin'B Cna-g=2ms生n 2 D.cosecosg-Lcos(a+g)+cos(-8) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若向量a=(3,2)在向量b=(4,0)方向上的投影向量为c,则|c|= 1.已知数列a,满足a,=”中，a∈N,则数列ea,的前99项和为 14已知F,P分别是双曲线C:x2-苦=1的左右焦点，P是双曲线C上第-象限内的点， 点G是△PF,F2的内心，则点G的横坐标是 ;△GF,F2的面积的取值范围是 【⊙高三数学第2页（共4页）@】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3L=+cosA sin C (1)求角A: (2)若C=牙c=4求△ABC的面积 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，D,E,F分别是AB,BC,BB1的中点 (1)证明：A,C1平面B,DE. (2)若AC⊥BC,AC=BC=1,AA1=2,求平面ABB1A1与平面A,C1F的夹角的余弦值 C 17.(本小题满分15分) 有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知.由于地形等原因， 在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率(Curvature)来刻画路线弯曲度.曲 线的曲率定义如下：记y=f'(x)为y=f(x)的导函数，y=f”(x)为y=f'(x)的导函数， 则曲线y=x)在点（红，f(x)处的曲率为K(x)=广(x (1+(f'(x)2) (1)已知函数g(x)=e+e“,求曲线y=g(x)在点(0，g(0)处的曲率K(0): (2)已知函数∫(x)=sinx十cosx,求曲线y=f(x)的曲率K(x)的范围. 【⊙高三数学第3页（共4页）⊙】 18.(本小题满分17分) 为了让高三同学们在紧张的学习之余放松身心，缓解压力，激发同学们的竞争意识，培养积 极向上的心态，为高三生活增添一抹别样的色彩，某校高三(1)班利用课余时间开展一次投 篮趣味比赛.已知该班甲同学每次投篮相互独立，每次投篮命中的概率为p(0<p<1),且 2次投篮至少命中1次的概率为号 (1)求p: (2)若甲同学连续投篮3次，每次投进记2分，未投进记一1分，记甲同学的总得分为X,求 X的分布列和数学期望； (3)若甲同学投篮时出现命中就停止投篮，且最多投篮n次，设随机变量Y为投篮的次数， 证明：E(Y)<3. 19.(本小题满分17分) 材料：椭圆后+景=1a>6>0)上点红9。)处的切线方程可化为警+紧=1，地物线 a?t y2=2px(p>0)上点(xo,yo)处的切线方程可化为yoy=p(x十xo). ]题：已知椭圆。+号=1上点（一2,1）处的切线为l1,且抛物线w:y2=2p.x(p>0)与 相切. (1)求切线1的方程 (2)求抛物线0的方程. (3)已知定点M(1,2),不过点M的直线l与抛物线w恒有两个不同交点A,B,且与其准线 交于点C(点C不在x轴上).若直线MA,MB,MC的斜率分别是k1,k2,k3,且k1,k:, k2成等差数列，证明：直线L恒过定点 【⊙高三数学第4页（共4页）⊙】