精品解析：山东省泰安市宁阳县第一中学2024-2025学年高一上学期12月阶段性考试数学试题

2024级高一上学期阶段性考试数学试题 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设，用二分法求方程的近似解的过程中，有，，，则该方程的根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 不能确定 3. “函数为偶函数”是“” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则（ ）． A. B. C. D. 6. 若函数同时满足下列三个性质:①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在区间上单调递减，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知α为钝角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中,下列关系恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（    ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数的图象不经过原点，则实数的值为________． 13. 函数的定义域为________． 14. 如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点为正六边形的一个顶点，当点第一次落在桌面上时，点走过的路程为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1）； （2）已知，求的值． （3）已知，化简. 16. 命题：“，”，命题：“，”. （1）写出命题的否定命题，并求当命题为真时，实数的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 物联网（InternetofThings，缩写：IOT）是基于互联网､传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络.其应用领域主要包括运输和物流､工业制造､健康医疗､智能环境（家庭､办公､工厂）等，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元），仓库到车站的距离x（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则和分别为2万元和7.2万元. （1）求出与的解析式； （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？ 18. 已知函数，． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值． （3）当时，方程恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围 19. 已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点． （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）若方程，恰有个互异的实数根，求实数的取值集合； （Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一上学期阶段性考试数学试题 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合、，由此求得. 【详解】， ， 所以. 故选：B 2. 设，用二分法求方程的近似解的过程中，有，，，则该方程的根所在的区间为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，根据已知条件结合零点存在定理即可判断. 【详解】因为，根据函数解析式可分析得函数为单调递增的连续函数， 由已知，，所以， 根据零点存在定理定理可知，方程的根所在区间为， 故选：B 3. “函数为偶函数”是“” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求；必要性判断：应用诱导公式化简并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系. 【详解】当为偶函数时， 则恒成立，即，； 当时，为偶函数； 综上，“函数为偶函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定，，即可解. 【详解】因为，，， 所以. 故选：A. 5. 已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求得定点，然后再由角的终边经过点，利用三角函数的定义求解. 【详解】令，则， 所以函数（，且）的图象恒过点， 又角的终边经过点， 所以， 故选：B 6. 若函数同时满足下列三个性质:①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在区间上单调递减，则的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用性质①可排除B，利用性质②可排除C，利用性质③可排除A，通过验证选项D同时满足三个性质. 【详解】对于A，的最小正周期为， 当时，，故图象关于对称， 当时，，则在上单调递增，不合题意，故A错误； 对于B，的最小正周期为，不合题意，故B错误； 对于C，的最小正周期为， 当时，，故图象不关于对称，故C错误； 对于D，的最小正周期为， 当时，，故图象关于对称， 当时，，由余弦函数的单调性，在上单调递减，故D正确. 故选：D. 7. 已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】令，则， 因为在上是减函数，由复合函数的单调性知， 函数与的单调性相反； 又因为单调递减， 所以需在上单调递增. 函数的对称轴为，所以只需要， 故选:A. 8. 已知α为钝角，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用平方关系求出，再根据，利用和角的余弦公式计算求解. 【详解】，则， ， . 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 9. 在中,下列关系恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据三角形中和倍角和半角公式化简求值即可。 【详解】A选项：，不正确； B选项：,正确； C选项： ,不正确； D选项：,正确. 故选：BD 【点睛】此题考查三角恒等变化，注意诱导公式和倍角半角公式的使用，属于较易题目。 10. 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据方程根的情况，解出等价条件，再利用其真子集是充分不必要条件即得结果. 【详解】一元二次方程有一个正根和一个负根， 则 ，解得， 则一元二次方程有一个正根和一个负根的充分而不必要条件应为的真子集，故BD正确，AC错误. 故选：BD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. D. 在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正切函数的周期性、定义域、特殊角的正切值和单调性依次判断选项即可. 【详解】对于A：函数的最小正周期，故A正确； 对于B：由，，得，， 所以函数的定义域为，故B错误； 对于C：，， 所以，故C正确； 对于D：当时，， 因为在单调递增， 所以在上单调递增，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数的图象不经过原点，则实数的值为________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据函数是幂函数，由求得m，再图象不经过原点确定. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或； 当时，，图象不经过原点，满足题意； 当时，，图象经过原点，不满足题意； 所以. 故答案为：. 13. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】由，在同一坐标系中作出函数，利用数形结合法求解. 【详解】因为，即， 在同一坐标系中作出函数如图所示： ， 由图象得：， 所以函数的定义域为， 故答案为： 14. 如图，边长为1的正六边形木块自图中实线标记位置起在水平桌面上从左向右做无滑动翻滚，点为正六边形的一个顶点，当点第一次落在桌面上时，点走过的路程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为，可得点第一次落在桌面上时，点走过的路程为：分别以为圆心，为半径，圆心角为的弧长和，求出三段弧长，即可得出结论. 【详解】 由正六边形的关系可得，， 正六边形与桌面相邻的边与桌面所成的角为， 点第一次落在桌面上时，点走过的路程为： . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1）； （2）已知，求的值． （3）已知，化简. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数与对数的运算公式求解即可； （2）根据诱导公式，转化为齐次问题进行求解即可； （3）根据诱导公式化简即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 命题：“，”，命题：“，”. （1）写出命题的否定命题，并求当命题为真时，实数的取值范围； （2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据全称命题的否定形式写出，当命题为真时，可转化为，当，利用二次函数的性质求解即可； （2）由（1）可得为真命题时的取值范围，再求解为真命题时的取值范围，分真和假，假和真两种情况讨论，求解即可 【小问1详解】 由题意，命题：“，”， 根据全称命题的否定形式，：“，” 当命题为真时，，当 二次函数为开口向上的二次函数，对称轴为 故当时，函数取得最小值，即 故实数的取值范围是 【小问2详解】 由（1）若为真命题，若为假命题 若命题：“，” 为真命题 则，解得 故若为假命题 由题意，和中有且只有一个是真命题， 当真和假时，且，故； 当假和真时，且，故； 综上：实数的取值范围是或 17. 物联网（InternetofThings，缩写：IOT）是基于互联网､传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络.其应用领域主要包括运输和物流､工业制造､健康医疗､智能环境（家庭､办公､工厂）等，具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元），仓库到车站的距离x（单位：千米，），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则和分别为2万元和7.2万元. （1）求出与的解析式； （2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？ 【答案】（1）， （2）把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元 【解析】 【分析】（1）设出与以及与x的解析式，将x=9的费用代入，求得答案; （2）列出两项费用之和的表达式，利用基本不等式求得其最小值，可得答案. 【小问1详解】 设，，其中， 当时，，. 解得，， 所以，. 【小问2详解】 设两项费用之和为z（单位：万元） 则 , 当且仅当，即时，“”成立， 所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元. 18. 已知函数，． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值． （3）当时，方程恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的单调性求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； （3）转化问题为函数与函数的图象有两个公共点，进而结合正弦函数的图象性质求解即可. 【小问1详解】 因为，， 由正弦函数的单调性可令， 解之得， 即的单调递增区间为； 【小问2详解】 当时，， 由正弦函数的单调性可知： 当，即时，取得最小值， 当，即时，取得最大值， 故当时，的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 由（1）知，函数的单调递增区间为， 函数的的最小正周期为， 则函数的单调递减区间为， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 且，， 所以当时，函数与函数的图象有两个公共点， 即当时，方程恰有两个不同的实数根. 所以实数k的取值范围为. 19. 已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点． （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）若方程，恰有个互异的实数根，求实数的取值集合； （Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到的值，再利用奇函数得到，进而得到的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断的单调性，再利用奇偶性和单调性得到，把在恰有个互异的实数根转化为在恰与轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数为上的减函数且为奇函数，得到，把问题转化为对任意的恒成立，令，利用二次函数的图像特点求解即可. 【详解】（Ⅰ）由指数函数的图象过点， 得， 所以， 又为上的奇函数， 所以， 得， 经检验，当时，符合， 所以； （Ⅱ）， 因为在定义域内单调递增， 则在定义域内单调递减， 所以在定义域内单调递增减， 由于为上的奇函数， 所以由， 可得， 则在恰有个互异的实数根， 即在恰与轴有两个交点， 则， 所以实数的取值集合为. （Ⅲ）由（Ⅱ）知函数为上的减函数且为奇函数， 由， 得， 所以， 即对任意的恒成立， 令， 由题意， 得， 所以实数的取值范围为：. 【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为在恰与轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为对任意的恒成立是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $