精品解析：广东省湛江市廉江市2024～2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期期末教学质量抽测 八年级数学试卷 时间：120分钟 分值：120分 页数：共7页 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个互联网公司logo中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 3. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 4. 用科学记数法表示：0.000000109是（　　） A. 1.09×10﹣7 B. 0.109×10﹣7 C. 0.109×10﹣6 D. 1.09×10﹣6 5. 分式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 变为原来的 B. 变为原来的3倍 C. 变为原来的9倍 D. 不变 6. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 7. 如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为( ) A. 115° B. 105° C. 95° D. 85° 8. 某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　） A. ﹣＝10 B. ﹣＝10 C. ﹣＝1.5 D. ﹣＝1.5 9. 将多项式再加上一项，使它能分解因式成的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ） A. 2x B. C. D. 4x 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D，下列四个结论：①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则．正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果是一个完全平方式，那么k的值是___________________ 12. 如图，点在同一条直线上，．添加一个条件，使得．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是______________． 13. 有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到点处行走的路程是_____米． 14. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则_____°． 15. 在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是___________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 18. （1）若，求m的值； （2）若n为正整数，且，求的值． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 在中，，D，E分别是边和延长线上的点，连接，，． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，已知，判断是否平分，并说明理由． 20. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是 ． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 21. 项目学习方案： 项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意得，方程：______①； 小组成员乙设______②，由题意得，方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己在单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求m的值 （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； （2）完成任务二． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）若，求的值； （4）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 23. 通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题：     【模型呈现】（1）如图1，，．过点B作于点C．过点D作于点E．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 【模型应用】（2）如图2，且．且．请按图中所标注的数据（于点P，于点G，与点H．，，）．计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【拓展延伸】（4）如图4，在平面直角坐标系中．点A的坐标为．点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形?如果存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末教学质量抽测 八年级数学试卷 时间：120分钟 分值：120分 页数：共7页 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个互联网公司logo中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 2. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 3. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 【答案】A 【解析】 【详解】分析:根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等可得∠ABC=108°,再根据等腰三角形和三角形内角和公式可得∠BAC=36°. 详解:因为正五边形 ABCDE, 所以∠ABC=108°, 因为三角形ABC是等腰三角形, 所以∠BAC=36°, 故选A. 点睛:本题主要考查正五边形的性质和等腰三角形的性质,解决本题的关键是要熟练运用正五边形和等腰三角形的性质. 4. 用科学记数法表示：0.000000109是（　　） A. 1.09×10﹣7 B. 0.109×10﹣7 C. 0.109×10﹣6 D. 1.09×10﹣6 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】用科学记数法表示：0.000000109是1.09×10﹣7． 故选：A． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5. 分式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 变为原来的 B. 变为原来的3倍 C. 变为原来的9倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 直接利用分式的性质将原式变形进而得出答案． 【详解】解：， ∴分式中的x，y同时变为原来的3倍，则分式的值变为原来的3倍， 故选：B． 6. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，点C的个数是（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 分两种情况进行讨论，即为腰和底时，找出合适的点即可． 【详解】解：如图，分情况讨论． ①为等腰底边时，符合条件的点有4个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个． 故选：C． 7. 如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折得到△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为( ) A. 115° B. 105° C. 95° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=100°，∠FNB=70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数． 【详解】∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°， ∴∠BMF=100°，∠FNB=70°， ∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN， ∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°， ∴∠F=∠B=180°-50°-35°=95°， ∴∠D=360°-100°-70°-95°=95°． 故选C． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键． 8. 某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　） A. ﹣＝10 B. ﹣＝10 C. ﹣＝1.5 D. ﹣＝1.5 【答案】B 【解析】 【分析】关键描述语是：“结果比用原价多买了10瓶”；等量关系为：实际价格买的瓶数-原价买的瓶数=10． 【详解】原价可买瓶，经过还价，可买瓶．方程可表示为： −=10． 故选B. 【点睛】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题要注意讨价前后商品的单价的变化． 9. 将多项式再加上一项，使它能分解因式成的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ） A. 2x B. C. D. 4x 【答案】A 【解析】 【分析】分①是平方项，②是乘积二倍项，③是乘积二倍项，然后根据完全平方公式的结构解答． 【详解】解：A、，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意； B、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； C、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； D、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意． 10. 如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D，下列四个结论：①；②；③点O到各边的距离相等；④设，，则．正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质，平行线的性质是解决问题的关键． ①先由角平分线的定义得，再由得，由此得，进而得，，据此可对结论①进行判断；②先根据角平分线的定义得， ，进而得，然后根据即可对结论②进行判断；③过点O作于M，作于N，连接，根据角平分线的性质得， ，由此可得，据此可对结论③进行判断；④由③得，则，进而得，据此可对结论④进行判断． 【详解】解：在中， 和的平分线相交于点O， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故①正确； 在中，和的平分线相交于点O， ∴， ， ， ∴， ∴；故②正确； 过点O作于M，作于N，连接， ， 在中，是的平分线，是的平分线， ， ， ， ∴点O到各边的距离相等，故③正确． ， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果是一个完全平方式，那么k的值是___________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：， ， 解得， 故答案为：． 12. 如图，点在同一条直线上，．添加一个条件，使得．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由得到，由得到，根据两个三角形全等的判定定理可知，要么找到另一组对应角，利用判定；要么选择，利用判定，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 根据两个三角形全等的判定定理，分三种情况： ①：取， 在和中， ， ； ②：取， 在和中， ， ； ③：取， 在和中， ， ； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查两个三角形全等的判定定理，读懂题意，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 13. 有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到点处行走的路程是_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键．先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，每一次都是向右转， 多边形的边数，周长（米）． 故答案为：48． 14. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则_____°． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵是的外角， ∴， 故答案为：30． 15. 在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程转化为整式方程是解题的关键． 先对分母因式分解，找到最简公分母，将分式方程转化为整式方程，解出方程，最后检验是否为增根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为得：， 检验：当时，最简公分母． 是原分式方程的解． 故答案为：． 17. 先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，-1． 【解析】 【分析】先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定x的值并代入计算即可． 【详解】解： = = = = = = 在、、0、1、2中只有当x=-2时，原分式有意义，即x只能取-2 当x=-2时，． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的x的值是解答本题的关键． 18. （1）若，求m的值； （2）若n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）m的值为15；（2）512 【解析】 【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值． 【详解】（1）解：原式 即，则，即， ∴m的值为15； （2）解：原式． ∴的值为512． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 在中，，D，E分别是边和延长线上的点，连接，，． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，已知，判断是否平分，并说明理由． 【答案】（1） （2） 平分， 理由如下： ，且，， ， ， ， 平分． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和的应用以及外角的性质，解题关键：能利用这些知识点和性质推出角与角之间的等量关系． （1）根据题意可知，由外角性质可推出：，将两角的度数代入即可求出； （2）利用可推出，因为，所以，即可证出平分； 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 【小问2详解】 略 20. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是 ． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 【答案】（1）B； （2）C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， 在和中 ， ， 故选B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， 即 ， 故选C； （3） 略 21. 项目学习方案： 项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意得，方程：______①； 小组成员乙设______②，由题意得，方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己在单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求m的值 （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； （2）完成任务二． 【答案】（1）；每枝A种花卉的价格为a元 （2） 【解析】 【分析】（1）若设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，则每枝A种花卉的价格为元，每枝种花卉的价格为元，表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，即可求解； （2）单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，根据完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列方程．即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得． ， 表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量， 即小组成员乙设每枝种花卉的价格为元． 故答案为：；每枝A种花卉的价格为a元． 【小问2详解】 解：由题意得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）若，求的值； （4）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设，则，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ∴； 【小问2详解】 由（1）可得， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， ， ， ； 【小问4详解】 设，则， ， ， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： ． 23. 通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题：     【模型呈现】（1）如图1，，．过点B作于点C．过点D作于点E．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 【模型应用】（2）如图2，且．且．请按图中所标注的数据（于点P，于点G，与点H．，，）．计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【拓展延伸】（4）如图4，在平面直角坐标系中．点A的坐标为．点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形?如果存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ∵， ∴； ∴，． （2）50 （3）证明：根据题意知，，且于点F，与直线交于点G，如图，作于M，于N，     ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． （4）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的平与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行线的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据证明； （2）利用（1）中的结论，，利用面积差求S的值； （3）作于M，于N，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． （4）分三种情况，①当时，；②当时，，③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）略 （2）∵， 由（1）得：， ∴， ∴ ， 故答案为：50； （3）略 （4）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，， 如图，分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ②当时，， 如图，分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵、， ∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ③当时，， 如图⑤，分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， 设， ∵、， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $