辽宁省大连市瓦房店市2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省大连市瓦房店市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1） 3．（3分）下列说法错误的是（　　） A．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．多边形的内角和等于360° C．直角三角形两锐角互余 D．全等三角形对应角相等 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．m3•m5＝m15 B．（m3）3＝m6 C．﹣m7÷（﹣m）2＝﹣m5 D．4m2n3÷2mn＝4mn2 5．（3分）使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A．a≠3 B．a≠﹣3 C．a≠5 D．a≥3 6．（3分）一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 7．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+1）2＝x2+2x+1 B．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x2﹣2x＝x（x+2） 8．（3分）如图，∠ABD＝∠CDB，AB＝2，要使△ABD≌△CDB，添加下列条件正确的是（　　） A．BC＝2 B．BC＝4 C．CD＝2 D．CD＝4 9．（3分）下列说法中，正确结论的个数为（　　） （1）关于某一条直线对称的两个图形一定全等； （2）有一角为75°，且腰长相等的两个等腰三角形全等； （3）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形； （4）如果一个三角形的一个外角的角平分线与这个三角形的一边平行，那么这个三角形一定是等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）某工程队要铺建一条长2000米的管道，采用新的施工方式，工作效率提高了25%，设这个工程队原计划每天要铺建x米管道，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）因式分解：﹣x2+1＝　 　． 12．（3分）方程的解为 　 　． 13．（3分）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量　 　． 14．（3分）如图，在等边△ABC中，D为AC中点，Q分别为AB，AD上的点，QD＝2，在BD上有一动点E　 　． 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，以BC为半径作弧交AB于点D，D为圆心，以大于，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点F，则∠AFD的度数为　 　． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（8分）（1）化简：（8x4﹣6x3）÷（﹣2x2）； （2）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）． 17．（8分）（1）因式分解：9x2﹣1； （2）解方程：． 18．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1． 19．（8分）如图，点E，B，C，F在一条直线上，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD （1）∠A＝∠D； （2）OE＝OF． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣1）． （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）若△A2B2C2是△ABC关于y轴的对称图形，请直接写出△A2B2C2三个顶点的坐标：A2　 　，B2　 　，C2　 　； （3）每个小正方形的边长为1个单位长度，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，若格点D在线段AB左侧，直接写出满足条件的D点坐标； （4）若点P（a，b）是△A1B1C1内部一点，则P在△A2B2C2中对应点的坐标为 　 　． 21．（8分）瓦房店市被誉为轴承之都，某轴承厂接受生产240件大型轴承任务，由甲、乙两个车间承担，乙车间每天生产的能力是甲车间的1.5倍．求：甲、乙两车间单独生产这批轴承各需要几天． 22．（12分）问题背景： 在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记 某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．其原理是：将一个多项式分解因式3﹣x因式分解的结果为x（x﹣1）（x+1），当x＝10时，x﹣1＝9，此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011． 实际应用： （1）根据上述方法，小明同学设置了智学网登录密码：多项式x3﹣xy2分解因式后利用x，y的数值设置密码，当x＝9，请破解小明的密码是多少； （2）学校管理员设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数x，y3﹣4xy2分解因式后得到的密码． 拓展应用： （3）若多项式x3+（m﹣2n）x2+5nx因式分解后，利用前面的方法，当x＝24时，求m，n的值． 23．（13分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，若AE是∠BAD的平分线，可判断：AB、AD、CD之间的等量关系是　 　； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是AD边的中点，∠BEC＝90°，AB＝3，求BC的长； （3）如图3，在四边形ABCD中，AB∥DC，连接AN，点M是BC的中点，试探究AB，AN，并证明你的结论. 2024-2025学年辽宁省大连市瓦房店市八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C B A C C B A 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形， 故选：D． 【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键． 2．（3分）已知点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点P′的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1） 【分析】根据坐标平面内两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案． 【解答】解：∵点P与点P′关于x轴对称，点P（﹣2， ∴P′的坐标为（﹣2，﹣8）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了坐标平面内两个点关于x轴对称的特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，难度不大． 3．（3分）下列说法错误的是（　　） A．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．多边形的内角和等于360° C．直角三角形两锐角互余 D．全等三角形对应角相等 【分析】根据角平分线的性质，多边形的内角和，直角三角形的性质及全等三角形的性质逐项判断即可． 【解答】解：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，正确； 多边形的内角和为（n﹣2）•180°，其中n为不小于3的整数； 直角三角形两锐角互余，正确； 全等三角形对应角相等，正确； 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的性质，多边形的内角和，直角三角形的性质及全等三角形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．m3•m5＝m15 B．（m3）3＝m6 C．﹣m7÷（﹣m）2＝﹣m5 D．4m2n3÷2mn＝4mn2 【分析】利用同底数幂的乘法的运算法则可判断A选项；利用幂的乘方的运算法则可判断B选项；利用单项式除以单项式的运算法则可判断C选项；利用整式的除法的运算法则可判断D选项． 【解答】解：对于A选项，m3•m5＝m7，故A选项不符合题意； 对于B选项，（m3）3＝m8，故B选项不符合题意； 对于C选项，﹣m7÷（﹣m）2＝﹣m8，故C选项符合题意； 对于D选项，4m2n4÷2mn＝2mn7，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（3分）使分式有意义的实数a的取值范围是（　　） A．a≠3 B．a≠﹣3 C．a≠5 D．a≥3 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：要使分式有意义，分母不为零， 即a+3≠0， 解得a≠﹣6． 故选：B． 【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 6．（3分）一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是（　　） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数＝边数可得答案． 【解答】解：∵多边形的每个内角都是108°， ∴每个外角是180°﹣108°＝72°， ∴这个多边形的边数是360°÷72°＝5， ∴这个多边形是五边形， 故选：A． 【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补． 7．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+1）2＝x2+2x+1 B．a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．x2﹣2x＝x（x+2） 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，就是因式分解，通过分析各项中，哪项等式右边为乘积的形式，即可解答题目． 【解答】解：A、（x+1）2＝x2+2x+1是整式乘法，不是因式分解； B、a5﹣a+1＝a（a﹣1）+5，等式右边不是乘积的形式，不符合题意； C、x2﹣4＝（x+4）（x﹣2）是因式分解，符合题意； D、x2﹣5x≠x（x+2），不是因式分解． 故选：C． 【点评】此题考查因式分解的定义，解题关键在于需要掌握因式分解的定义． 8．（3分）如图，∠ABD＝∠CDB，AB＝2，要使△ABD≌△CDB，添加下列条件正确的是（　　） A．BC＝2 B．BC＝4 C．CD＝2 D．CD＝4 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、BC＝2＝AB，不能判定△ABD≌△CDB； B、BC＝4＝AD，不能判定△ABD≌△CDB； C、CD＝6＝AB，故C符合题意； D、CD＝4＝AD，不能判定△ABD≌△CDB． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 9．（3分）下列说法中，正确结论的个数为（　　） （1）关于某一条直线对称的两个图形一定全等； （2）有一角为75°，且腰长相等的两个等腰三角形全等； （3）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形； （4）如果一个三角形的一个外角的角平分线与这个三角形的一边平行，那么这个三角形一定是等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用轴对称的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质一一判断即可． 【解答】解：（1）关于某一条直线对称的两个图形一定全等．正确； （2）有一角为75°，且腰长相等的两个等腰三角形全等，75°角可能是底角； （3）如果点M与N到直线l的距离相等，那么点M与点N关于直线l对称，直线l不一定垂直平分线段MN； （4）如果一个三角形的一个外角的角平分线与这个三角形的一边平行，那么这个三角形一定是等腰三角形． 故选：B． 【点评】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（3分）某工程队要铺建一条长2000米的管道，采用新的施工方式，工作效率提高了25%，设这个工程队原计划每天要铺建x米管道，则根据题意所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设施工队原计划每天铺设管道x米，实际每天要铺建（1+25%）x米，根据题意可知，实际比计划提前2天完成任务，列方程即可． 【解答】解：依题意可得：﹣2＝． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意，正确的列出分式方程，是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）因式分解：﹣x2+1＝　（1+x）（1﹣x）　． 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：﹣x2+1 ＝5﹣x2 ＝（1+x）（7﹣x）， 故答案为：（1+x）（1﹣x）． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 12．（3分）方程的解为 　x＝2　． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：x＝2（x﹣1）， 整理得：x＝2x﹣2， 解得：x＝2， 检验：当x＝8时，x（x﹣1）≠0， 故原方程的解为x＝4， 故答案为：x＝2． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 13．（3分）据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量　2.3×10﹣7　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.00000023＝2.3×10﹣7． 故答案为：2.3×10﹣7． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 14．（3分）如图，在等边△ABC中，D为AC中点，Q分别为AB，AD上的点，QD＝2，在BD上有一动点E　7　． 【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，求出PQ′即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC， ∵D为AC中点， ∴BD⊥AC， ∵AQ＝3，QD＝2， ∴AD＝DC＝AQ+QD＝3， 如图，作点Q关于BD的对称点Q′，连接QE， PE+QE＝PE+EQ′ 当点P，E，Q′共线时．最小值为PQ′，   ∵AQ＝3，AD＝DC＝5， ∴QD＝DQ′＝2， ∴CQ′＝BP＝3， ∴AP＝AQ′＝7， ∵∠A＝60°， ∴△APQ′是等边三角形， ∴PQ′＝PA＝3， ∴PE+QE的最小值为7． 故答案为：7． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，以BC为半径作弧交AB于点D，D为圆心，以大于，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点F，则∠AFD的度数为　30°　． 【分析】由作图过程可知，BC＝BD，射线BE为∠ABC的平分线，可得∠ABF＝∠CBF，进而可证明△BCF≌△BDF，则∠BDF＝∠BCF．由等腰三角形的性质可得∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，则∠BDF＝70°，再根据∠AFD＝∠BDF﹣∠FAD可得答案． 【解答】解：由作图过程可知，BC＝BD， ∴∠ABF＝∠CBF． ∵BF＝BF， ∴△BCF≌△BDF（SAS）， ∴∠BDF＝∠BCF． ∵AB＝AC，∠BAC＝40°， ∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°， ∴∠BDF＝70°， ∴∠AFD＝∠BDF﹣∠FAD＝30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16．（8分）（1）化简：（8x4﹣6x3）÷（﹣2x2）； （2）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）． 【分析】（1）根据多项式除以多项式的运算法则即可求出答案． （2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案． 【解答】解：（1）（8x4﹣6x3）÷（﹣2x8） ＝8x4÷（﹣5x2）﹣（6x3）÷（﹣2x2） ＝﹣6x2+3x． （2）（4x﹣1）2﹣（6x+3）（2x﹣4） ＝4x2﹣3x+1﹣4x7+9 ＝﹣4x+10． 【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是运用运算法则来计算． 17．（8分）（1）因式分解：9x2﹣1； （2）解方程：． 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先变形，再方程两边同乘x﹣3，将分式方程化为整式方程求解即可． 【解答】解：（1）9x2﹣2＝（3x+1）（8x﹣1）； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘x﹣4，得2﹣x﹣1＝x﹣5， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2≠0， 所以原分式方程的解是x＝2． 【点评】本题考查了解分式方程，因式分解﹣运用公式法，熟练掌握解分式方程的步骤以及平方差公式是解题的关键． 18．（8分）先化简，再求值：，其中a＝1． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝﹣•• ＝﹣， 当a＝1时，原式＝﹣ ＝﹣ ＝． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19．（8分）如图，点E，B，C，F在一条直线上，AB＝DC，∠ABC＝∠BCD （1）∠A＝∠D； （2）OE＝OF． 【分析】（1）由CF＝BE，推导出BF＝CE，而∠ABF＝∠DCE，AB＝DC，即可根据“SAS”证明△ABC≌△DCE，则∠A＝∠D； （2）由全等三角形的性质得∠F＝∠E，即可根据“等角对等边”证明OE＝OF． 【解答】证明：（1）∵点E，B，C，F在一条直线上， ∴CF+BC＝BE+BC， ∴BF＝CE， ∵∠ABC＝∠BCD， ∴∠ABF＝∠DCE， 在△ABC和△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）， ∴∠A＝∠D． （2）由（1）得△ABC≌△DCE， ∴∠F＝∠E， ∴OE＝OF． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，推导出BF＝CE，进而证明△ABC≌△DCE是解题的关键． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0），B（2，﹣3），C（4，﹣1）． （1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1； （2）若△A2B2C2是△ABC关于y轴的对称图形，请直接写出△A2B2C2三个顶点的坐标：A2　（﹣1，0）　，B2　（﹣2，﹣3）　，C2　（﹣4，﹣1）　； （3）每个小正方形的边长为1个单位长度，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，若格点D在线段AB左侧，直接写出满足条件的D点坐标； （4）若点P（a，b）是△A1B1C1内部一点，则P在△A2B2C2中对应点的坐标为 　（﹣a，﹣b）　． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可； （3）根据等腰直角三角形的判定以及题目要求画出点D即可； （4）利用中心对称变换的性质求解即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C5即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求；A1（﹣1，2），B2（﹣2，﹣2），C2（﹣4，﹣6）． 故答案为：（﹣1，0），﹣5），﹣1）； （3）如图，D1（6，﹣2），D2（﹣4，﹣1），D3（﹣4，﹣4）即为所求； （4）点P（a，b）是△A1B6C1内部一点，则P在△A2B3C2中对应点的坐标为（﹣a，﹣b）． 故答案为：（﹣a，﹣b）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，点的坐标，等腰直角三角形等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 21．（8分）瓦房店市被誉为轴承之都，某轴承厂接受生产240件大型轴承任务，由甲、乙两个车间承担，乙车间每天生产的能力是甲车间的1.5倍．求：甲、乙两车间单独生产这批轴承各需要几天． 【分析】设乙车间单独生产这批轴承需要x天，则甲车间单独生产这批轴承需要（x+5）天，就可以表示出甲、乙两车间的工作效率，根据乙车间每天生产的轴承是甲车间的1.5倍建立方程求出其解即可． 【解答】解：设乙车间单独生产这批轴承需要x天，则甲车间单独生产这批轴承需要（x+5）天，得 ×3.5， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的根， ∴甲车间单独生产这批轴承需要的时间为：10+5＝15（天）． 答：乙车间单独生产这批轴承需要10天，则甲车间单独生产这批轴承需要15天． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 22．（12分）问题背景： 在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记 某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．其原理是：将一个多项式分解因式3﹣x因式分解的结果为x（x﹣1）（x+1），当x＝10时，x﹣1＝9，此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011． 实际应用： （1）根据上述方法，小明同学设置了智学网登录密码：多项式x3﹣xy2分解因式后利用x，y的数值设置密码，当x＝9，请破解小明的密码是多少； （2）学校管理员设置了一个密码，一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数x，y3﹣4xy2分解因式后得到的密码． 拓展应用： （3）若多项式x3+（m﹣2n）x2+5nx因式分解后，利用前面的方法，当x＝24时，求m，n的值． 【分析】（1）先利用提取公因式法把多项式x3﹣xy2分解因式，然后按照已知条件求出分解因式后的所有因式的值，从而得到密码即可； （2）先根据等腰三角形的周长公式求出x，y，再把多项式x3﹣4xy2分解因式，从而求出密码即可； （3）先把x3+（m﹣2n）x2+5nx分解因式，然后设x[x2+（m﹣2n）x+5n]＝x（x+a）（x+b）＝x[x2+（a+b）x+ab]，再根据当x＝24时，可以得到密码为242932，求出a，b，从而求出a+b和ab，从而列出关于m，n的方程组，解方程组求出m，n即可． 【解答】解：（1）x3﹣xy2 ＝xy（x3﹣y2） ＝xy（x﹣y）（x+y）， 当x＝9，y＝2时，x﹣y＝9﹣3＝7， ∴小明的密码是061227； （2）∵一个等腰三角形的周长是12，其中腰和底分别为不同的整数x，y， ∴2x+y＝12， ∵x，y都为整数， ∴或（不合题意， x2﹣4xy2 ＝x（x8﹣4y2） ＝x（x+3y）（x﹣2y） 当x＝5，y＝4时， x+2y＝5+6×2＝9，x﹣8y＝5﹣2×5＝1， ∴多项式x3﹣2xy2分解因式后得到的密码010509； （3）x3+（m﹣6n）x2+5nx ＝x（x3+mx﹣2nx+5n） ＝x[x7+（m﹣2n）x+5n]， 设x[x4+（m﹣2n）x+5n]＝x（x+a）（x+b）＝x[x5+（a+b）x+ab]， ∵当x＝24时，可以得到密码为242932， ∴x+a＝29，x+b＝32， ∴a＝5，b＝8， ∴a+b＝13，ab＝40， ∴， 由②得：n＝8， 把n＝3代入①得：m＝29， ∴m＝29，n＝8． 【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 23．（13分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，若AE是∠BAD的平分线，可判断：AB、AD、CD之间的等量关系是　AD＝CD+AB　； （2）如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是AD边的中点，∠BEC＝90°，AB＝3，求BC的长； （3）如图3，在四边形ABCD中，AB∥DC，连接AN，点M是BC的中点，试探究AB，AN，并证明你的结论. 【分析】（1）先判断出△AEB≌△FEC（AAS），得出AB＝CF，得出∠BAE＝∠DAE，进而得出∠DAE＝∠CFE，AD＝DF，即可得出结论； （2）延长CE交BA的延长线于点F，证明△AEF≌△DEC（AAS），得出AF＝CD，EF＝CE，即可得出结论； （3）延长AM，DC相交于点P，同（1）的方法得，△ABM≌△PCM（AAS），得出AB＝CP，证出AN＝PN，即可得出结论． 【解答】解：（1）延长AE交DC的延长线于点F， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CFE，∠B＝∠ECF， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴△AEB≌△FEC（AAS）， ∴AB＝CF， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠CFE， ∴AD＝DF＝CD+CF＝CD+AB， 故答案为：AD＝CD+AB； （2）延长CE交BA的延长线于点F， ∵AB∥CD， ∴∠D＝∠FAE，∠F＝∠ECD， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝CD，EF＝CE， ∵CD＝2，AB＝3， ∴BF＝AB+AF＝8+2＝5， ∵∠BEC＝90°，EF＝CE， ∴BC＝BF＝8； （3）AB＝CN+AN． 证明：延长AM，DC相交于点P， 同（1）的方法得，△ABM≌△PCM（AAS）， ∴AB＝CP， ∵AM是∠BAN的角平分线， ∴∠BAM＝∠NAM， ∵AB∥CD， ∴∠P＝∠BAM， ∴∠NAM＝∠P， ∴AN＝PN， ∵CP＝CN+PN＝CN+AN， ∴AB＝CN+AN． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/23 21:47:49；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$