第8章 整式乘法（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

第8章 整式乘法思维导图 【类型覆盖】 类型一、杨辉三角 【解惑】如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于的多项式（中项的系数为（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 【答案】C 【分析】此题主要多项式乘以多项式，理解题目中给出的“杨辉三角”的规律，由已知规律得，再利用多项式乘多项式法则求出项的系数即可． 【详解】根据“杨辉三角”的规律得： ， ， ，， 项的系数为：． 故答案为：C． 【融会贯通】 1．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1     1  1     1  2  1     1  3  3  1     1  4  6  4  1     …    … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，找规律．先根据题中给出项找到规律，再写出问题中第二项的系数即可． 【详解】解：由题知， 展开式中含项的系数是． 故选：A． 2．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图，这个图叫做“杨辉三角”． ， ， ， ， ……， 请观察这些系数的规律，探究的展开式中含项的系数是 ． 【答案】10 【分析】根据“杨辉三角”找到展开式的规律即可． 【详解】解：； ∴含项的系数是10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查通过寻找规律解数学问题，发现展开式系数规律是求解本题的关键． 3．【数学文化】 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．杨辉三角是1261年我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个用数字排列起来的三角形阵．由于杨辉在书中引用了贾宪作的“开方作法本源”图和“增乘开方法”，因此这个三角形也称“贾宪三角”．在欧洲，这个三角形叫“帕斯卡三角形”，是帕斯卡在1654年研究出来的，比杨辉晚了近400年时间． 【问题解决】 如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．    (1)根据上面的规律，写出的展开式． (2)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据材料和b3展开式，进而得出的展开式； （2）根据材料的逆运算可得出答案． 【详解】（1）； （2） ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，整式的乘法运算，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键． 类型二、整除问题 【解惑】若n为整数，则代数式的值一定可以（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被9整除 【答案】B 【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用能力．先运用多项式乘多项式和合并同类项对该式进行计算，再运用因式分解进行求解． 【详解】解： ， 该代数式的值一定可以被3整除， 故选：B． 【融会贯通】 1．对任意自然数n，关于代数式的值，下列说法错误的是（    ） A．总能被6整除 B．总能被5整除 C．总能被4整除 D．总能被3整除 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵n是自然数， ∴也是自然数 ∴一定能被3，被4和被6整除，不一定能被5整除， 故选：B． 2．多项式能被整除，则 ， ． 【答案】 -11 4 【分析】设多项式和多项式的商为，通过和乘积与原多项式各项系数对比可求出b和c的值，从而得到m和n. 【详解】解：∵多项式能被整除， 设（）÷（）=， 则（）（）=， ∴可得， 解得：， ∴m=-3-2c=-11，n=c=4， 故答案为：-11，4. 【点睛】本题考查了多项式的乘除法，解题的关键是掌握运算法则. 3．观察：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）3 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）计算出92-62的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）， ∴是3的15倍； 故答案为：； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除； （3）余数为3，理由如下： 设这个数为，比大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3． 类型三、单项式乘多项式的应用 【解惑】如图，在长方形中，，其内部有两个正方形，如图放置，且这两个正方形的边长之和为4.5，两个正方形相交于点K，L，连接，四边形的面积是2.5，则正方形的边长为（    ） A．2 B．2.2 C． D．2.5 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，则正方形的边长为，表示出和的长，然后根据列方程求解即可． 【详解】设正方形的边长为x，则正方形的边长为， ∴，， ∵四边形的面积是2.5， ∴， ∴， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，单项式与多项式的乘法计算，根据题意列出方程是解答本题的关键． 【融会贯通】 1．8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用代数式表示出左上角与右下角部分的面积，根据面积相等求出a与b的关系式． 【详解】解：如图，左上角阴影部分的长为AE=AD-a，宽为AF＝4b，右下角阴影部分的长为PC=BC-4b=AD-4b，宽为CG=a， 四边形AEHF的面积为：， 四边形QPCG的面积为：， ∵左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等， ∴， ∴，即， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的混合运算的应用，用代数式表示出两个阴影部分的面积是解本题的关键． 2．小明外祖母家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的图形如图：现有三种地砖可供选择，请问需要砖 块，砖 块，砖 块. 【答案】 0 8 2 【分析】根据题意计算出破损的总面积，然后计算分别需要A、B、C三种砖的数量即可补修好破损部分房屋地板. 【详解】解：根据题意得：破损的总面积= 计算每一块A、B、C三种砖的面积为：A砖的面积=a2；B砖的面积=ab；C砖的面积=b2 ∴ 需要A、B、C三种砖分别为：0，8，2块. 故答案为0，8，2 . 【点睛】本题关键是求出破损的面积以及A、B、C三种砖每一块砖的面积，同时需要注意本题要求的是求出共需要这三种砖各多少块即可以补修好破损的地板． 3．（1）如图1，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （2）如图2，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （3）如图3，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，已知正方形的边长为8，则的面积为 （请直接写出结果，不需要过程） 【答案】（1）   （2）    （3）64 【分析】本题考查了整式的乘法运算的应用，关键是割补思想的应用； （1）由，结合整式的乘法即可求解； （2）由，结合整式的乘法即可求解； （3）利用（1）（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）连接，如图3， 由（1）可得的面积， 由（2）可得：三角形的面积为， 所以，的面积， 故答案为：64． 类型四、多项式乘多项式的应用 【解惑】三个边长分别为的正方形按如下图位置摆放，则图中3阴影部分的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了图形的面积，列代数式，准确识图，正确的根据图形的面积公式列出代数式是解决问题的关键．依题意得：，，根据即可得出结果． 【详解】解：如图所示： 依题意得：， ，， ， ， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，长方形的长，宽，其中，将这个长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到长方形，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，再根据多项式乘法的法则计算即可得． 【详解】解：∵将长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为， 则阴影部分的面积是 ， 故选：B． 2．如图，长方形，则阴影部分面积的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据“”即可求解． 【详解】解：由图形得 ∴ ， 故答案为：． 3．综合与实践 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．八年级课外活动小组剪了若干个边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片（如图1所示），发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 乐学组的同学：我们拼出了如图2的长方形，我们发现这个图形可以解释等式： ． (1)勤奋组的同学拼出了如图3的长方形，这个图形可以解释的等式为______． (2)启航组同学要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片______张，B类卡片______张，C类卡片______张． (3)卓越组的同学想用1张A卡片，5张B卡片，4张C卡片拼成一个长方形，验证某个等式，请你帮他们画出图形并写出可以解释的等式． 可以解释的等式为：______． (4)善思组的同学：用5张B类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为M，，若M的值与x无关，试探究a与b的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)2；7；3； (3)图形见解析（答案不唯一），； (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、整式的混合运算的应用等知识点，掌握数形结合能力以及整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据图②结合图形的面积以及整式乘法列代数式即可； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （3）根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据相关系数即可解答； （4）设，由图可知，然后再化简，最后让x的系数为0即可解答． 【详解】（1）解：由题意得． 故答案为：； （2）解：∵， ∴需用A类卡片2张，类卡片7张，类卡片3张． 故答案为：2；7；3； （3）解：∵1张A卡片，5张B卡片，4张C卡片拼成一个长方形， ∴， 图形为 ， 等式为； （4）解：，理由如下： 设， 由题意可得 由于M的值与无关，则，即． 类型五、平方差公式的应用 【解惑】如图，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的正方形，再将剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，那么通过图3的长方形的面积计算验证的恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握图3的长方形的面积的两种计算方法是解题关键．图3的长方形的面积的计算方法一：图3的长方形的长为，宽为，利用长方形的面积公式计算即可；方法二：利用图1中的大正方形的面积减去小正方形的面积计算，由此即可出答案． 【详解】解：由图可知，图3的长方形的长为，宽为， 则图3的长方形的面积为， 由图1可知，图3的长方形的面积为图1中的大正方形的面积减去小正方形的面积，即为， 所以通过图3的长方形的面积计算验证的恒等式为， 故选：A． 【融会贯通】 1．数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开（如图①），拼成新的图形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个乘法公式，这个乘法公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用代数式表示拼接前、后的面积可得答案． 【详解】解：阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 故选：A． 2．如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是 . 【答案】8 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，平方差公式的几何应用，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，直接利用正方形的性质结合三角形面积求法得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ， 故答案为：8． 3．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：___________； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 【答案】(1) (2)①4；② 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键． （1）分别计算两个阴影部分的面积即可得到答案； （2）①根据平方差公式得到，然后再将已知整体代入即可求解； ②先利用平方差公式将每一项化成两个分数积的形式，然后再利用互为倒数的两个分数的积为1即可计算结果． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为， ∵图1和图2中两阴影部分的面积相等， ∴上述操作能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ． 类型六、完全平方公式的应用 【解惑】将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利用外围正方形、中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形中各个部分的面积，根据面积之间的和差关系得出答案，熟练掌握掌握完全平方公式的结构特征并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵外围大正方形的边长为， ∴面积为， ∵中间小正方形的边长为， ∴面积为， ∵4个长方形的面积和为， ∴有， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，，则阴影部分的面积为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查整式混合运算的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键．根据大三角形的面积减小三角形的面积等于阴影部分面积，可列出算式，再结合完全平方公式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：阴影部分面积为 ． 故选A． 2．如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键． 【详解】如图，根据题意得：，， ∴ 则， ， ∵，， ∴， 故答案为：． 3．两个边长分别为a和b的正方形如图所示放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)则 ， ；（用含a，b的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当两个正方形按图③所示摆放时，若，求出图③中的阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2)13 (3)． 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键． （1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案； （2）根据（1）中的结论，将代入进行计算即可； （3）表示出，再变形整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可得，，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：由图可得，， ∵， ∴． 类型七、整式乘法中的规律 【解惑】观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_______________； (2)写出你猜想的第n个等式：___________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据规律直接写出第五个等式即可； （2）归纳规律写出第n个等式，检验等式左边等于等式右边恒等，可证明式子成立． 【详解】（1） （2） 证明：∵左边 ∵右边 ∴左边=右边 ∴等式成立． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，总结出等式左边的变化规律是解本题的关键． 【融会贯通】 1．观察下列各式，回答问题： ①； ②； ③； …… (1) ； (2)按此规律，第n个等式是：                                    ； (3)的值的末位数字是 ． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) 【分析】本题考查等式和数字的规律探索， （1）观察已知的3个等式，即可确定出所求式子的结果； （2）观察一系列等式得到一般性规律，即可确定出所求式子的结果； （3）先根据（2）得出的规律求出它的值，再根据末位数字的循环规律即可得解； 解题的关键是根据已知式子确定一般规律． 【详解】（1）解：依题意，得： ， 故答案为：； （2）∵， ， ， ， …… 再结合（1）的结论，得： 第n个等式是：（为正整数）， 故答案为：（为正整数）； （3）解： ， ∵，末位数学是， ，末位数学是， ，末位数学是， ，末位数学是， ，末位数学是， …… ∴结果的末位数学有一个循环的规律，即，，，这四个数字依次循环， ∵， ∴的末位数字是， ∴的值的末位数字是． 故答案为：． 2．我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… (1)设为整数，且，请用含的式子表示上述等式蕴含的一般规律_____； (2)请证明（1）中得到的规律； (3)小明同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：，，，……． 请你用发现的规律计算．（写出计算过程） 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，多项式乘以多项式： （1）个位数字为5的数的平方，其结果为这个两位数的十位数字与其十位数字加1的数字相乘的结果的100倍再加上25，据此求解即可； （2）利用完全平方公式把展开即可； （3）证明 ，再利用该结论计算求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； ……， 以此类推可知，， 故答案为：； （2）证明： ； （3）解： ， ∴，． 3．我们学习了平方差公式，平方差公式是我们初中数学的重要公式，它在后面学习的分式、方程中有很重要的应用．请观察下列几个等式 (1)根据上述规律，请直接写出结果： ； (2)根据上述规律计算： ① ； ②． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题考查了平方差公式，探索规律，掌握是解题的关键． 根据3个例子可得规律， （1）根据题目的规律，请直接写出结果： （1）多次利用平方差公式计算即可； （2）先在算式前面添加，再多次利用平方差公式计算即可即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得出：， 故答案为：； （2）解：① ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ． 类型八、整式乘法中的新定义 【解惑】定义一种新运算“”，满足，如：． (1)计算： ； (2)求的值； (3)等式“”是否成立？请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据题干提供的信息列式计算即可； （3）根据题干提供的信息分别求出等式左边和等式右边的值，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：5． （2）解： ； （3）解：成立；理由如下： 左边 ， 右边 所以左边右边，所以原等式成立． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，整式混合运算的应用，解题的关键是正确理解新运算法则，准确计算． 【融会贯通】 1．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a＋bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算： （3＋5i）＋（2－3i）＝（3＋2）＋（5－3）i＝5＋2i， （1＋i）×（2－i）＝1×2－1×i＋i×2－＝2－i＋2i＋1＝3＋（－1＋2）i＝3＋i， (1)填空：＝ ，＝ ； (2)计算：（3＋2i）×（1－i）； (3)计算： 【答案】(1)-i，1 (2)5-i (3)i-1 【分析】（1）将和化成含的形式求解即可； （2）利用多项式乘以多项式运算法则将原式展开求解即可； （3）根据的计算结果，发现规律进行计算即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：-i，1； （2）解：（3＋2i）×（1－i） =3-3i+2i-2 =3-i+2 =5-i； （3）解：∵，，，，，…， ∴的结果依次按i，-1，-i，1，i，……四次一循环的规律出现， ∵2022÷4=505…2， ∴ =i++(i-1-i+1)×505 =i-1+0×505 = i-1． 【点睛】本题考查利用新定义解决数字运算规律的能力，读懂题中新定义的运算法则，并能正确计算，（3）中找到变化规律是解答的关键． 2．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可． 【详解】（1）解：， ∴该多项式关于对称， 故答案为：； （2）解：∵， ∵关于x的多项式关于对称， ∴， ∴； （3）解： ， ∴该多项式关于对称， 故答案为：． 3．阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下： 该式有最小值1 材料二：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，；，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9． 根据材料，完成下面问题： (1)已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； (2)已知多项式，（，为常数），M是N的“雅常式”，且当为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”． 【答案】(1)是的“雅常式”，“雅常值”为 (2)关于的“雅常值”是 【分析】本题考查了配方法的应用、整式的加减运算、新定义和因式分解，理解是的“雅常式”的定义是解决本题的关键． （1）先计算，再根据“雅常式”的定义即可判断是的“雅常式”并求出“雅常值”即可求解； （2）先求出，由是的“雅常式”，得出，得出，由为实数时，的最小值为，得出，求出，进而求出； 【详解】（1）解： ， C是D的“雅常式”， C关于D的“雅常值”为； （2）M是N的“雅常式”， ， ， ． ，且当x为实数时，N 的最小值为， ， ， ． 所以M关于N的“雅常值”是3； 类型九、配方法求最值 【解惑】定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)若多项式，． 证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； 求多项式的最小值； (2)因为可得到：，即这是重要的基本不等式；，（当时，且是定值时，有最小值是），若，求的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)见解析；； (2)最小值为，或． 【分析】（）根据配方法的定义配方，由平方具有非负性，即可得证； 将配方成，即可确定最小值； （ ）根据，（当时，且是定值时，有最小值是），即可确定S最小值，然后解方程即可求出的值； 本题考查了配方法，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是理解题意，掌握知识点的应用． 【详解】（1）证明：∵， ∴多项式的值一定恒为正数； ②解： ， ∴最小值为； （2）解：， ∴最小值为，此时有， ∴， ∴， ∴或． 【融会贯通】 1．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题都有广泛的应用． 例如：用配方法分解因式：． 原式． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 【答案】(1)；6 (2)，最小值 【分析】（1）根据配方的基本步骤解答即可； （2）根据配方的基本要求配方成，利用实数的非负性求得最小值即可． 本题考查了配方法解题，非负性解题，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得， 故答案为：；6． （2）根据题意，得， ， 故最小值为． 2．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；；； (2)；；； (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的逆写，熟练掌握完全平方式的结构是解题关键． （1）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （2）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （3）利用完全平方公式，将等式化为，进而求出，，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：； ； （3）解： ， ， ，，， ，，， 3．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)解决问题： 请你再写一个小于16的“完美数”______；并判断40是否为“完美数”______； (2)若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； (3)探究问题： 已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则符合条件的k值为______； 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)10，是 (2)2 (3)13，4 【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由题意知，，由（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），可得，，然后代值求解即可； （3），由S为“完美数”，可得，解得，；由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：10，是； （2）解：由题意知，， ∵（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数）， ∴，， ∴， 故答案为：2； （3）解：， ∵S为“完美数”， ∴，解得，， 故答案为：13； ∵， ∴， ∴当时，最小，最小值为4． 【点睛】本题考查了完全平方公式，代数式求值等知识．解题的关键在于理解题意并熟练掌握完全平方公式． 类型十、项目式学习 【解惑】【项目学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由；    (3)如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？    【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，；当时，，理由见解析 (3)当时，长方形场地的面积最大，最大值为243 【分析】本题考查了完全平方公式的应用； （1）先配方，再根据求解即可； （2）分别表示出，，计算，根据可得时，，时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则，求出，然后利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）由题意得：，， ∴， ∵， ∴当时，，即， ∴； 当时，，即， ∴； 综上所述，当时，；当时，； （3）设长为米，长方形的面积为S平方米，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为243． 【融会贯通】 1．阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按x的指数从大到小排列： ． 任务二  竖式计算： 如下边竖式中，除以，商为，余数为，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（    ） A．数形结合           B．类比              C．方程 任务三  学以致用 （3）请计算的商式与余式 【答案】（1）；（2）B；（3）商式是，余式是； 【分析】本题考查多项式、单项式的次数及多项式的除法： （1）根据单项式的次数按照从大到小排列即可得到答案； （2）根据（1）中的图形归纳即可得到答案； （3）利用（1）的规律计算即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， ， ∴按x的指数从大到小排列是：， 故答案为：； （2）由题意可得， “刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，运用了类比的思想， 故选B； （3）由题意可得， ∴的商式是，余式是； 2．我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）： 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． 请用上述方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，多项式除以多项式，用竖式形式计算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键； （1）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； （2）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）． ． 3．阅读与理解 下面是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日  星期日 多项式除以多项式我们曾经学习过单项式除以单项式，多项式除以单项式． 类比数字的除法运算，我们可以将多项式除以单项式使用竖式除法，如用如图1所示的竖式表示：   如果是多项式除以多项式，可以类比图1的过程用竖式除法吗？ 经过查阅资料，我写出了如图2所示的竖式，它的计算步骤如下： （1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列； （2）将被除式的第一项除以除式的第一项2x，即，得出商式的第一项3x； （3）用商的第一项3x与除式相乘得，写在的下面； （4）用减去得差，写在下面； （5）再用的第一项4x除以除式的第一项2x．即，写在商式的第一项3x的后面，写成代数和的形式； （6）以商式的第二项2与除式相乘，得，写在（4）中差的下面； （7）两式相减得0，表示刚好能除尽； （8）写出结果：． 任务： (1)材料中，由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法体现的数学思想是______； A．数形结合思想    B．类比思想    C．分类讨论思想    D．公理化思想 (2)请你用竖式除法计算：； (3)若是的一个因式，则 ． 【答案】(1)B (2)，见解析 (3)11 【分析】（1）找到两种除法之间的共同点，是类比思想， （2）根据多项式除以多项式的竖式除法，即可求解， （3）多项式除以多项式的竖式除法，根据余数为，即可求解， 本题考查了多项式的除法，解题的关键是：掌握多项式除多项式的运算规则． 【详解】（1）解：根据由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法，是类比思想， 故选：B， （2）解： 故答案为：， （3）解： ∵余式为，， ∴商式的最后一项为，，解得：， 故答案为：． 【一览众山小】 1．若是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 利用完全平方式的特征判断即可确定出的值． 【详解】解：由完全平方公式的形式：， 可知，， 即，， 故， 故选：C． 2．如图，4个全等的小长方形与1个小正方形拼成了一个大正方形图案，已知大正方形边长为a，小正方形的边长为b，小长方形的长和宽分别为m，n（）．下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法公式的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，推出，可得，故选项A，C正确；因为，推出，故选项B正确；由，可判断D不正确． 【详解】解：由题意， ∴， ∴，故选项A，C正确； ∵， ∴，故选项B正确； ∵，， ∴，故D不正确． 故选：D． 3．若，为有理数，且，则（   ） A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值等知识，利用完全平方公式确定的值是解题关键．由，可化为两个完全平方的形式，根据非负数相加等于0，所以各个非负数都为0确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 整理可得， ∴， ∴，解得， ∴． 故选：B． 4．已知，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将已知等式利用完全平方公式变形可得，由此即可得． 【详解】解：∵①，， ∴②， 由②①得：， ∴， 故答案为：10． 5．已知为有理数，且满足，当为整数时，的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，先由题意，利用完全平方公式恒等变形求得或，代值求解即可得到答案，熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ，即， ， ，为整数， 或， 当时，； 当时，； 综上所述，的值为1或， 故答案为：1或． 6．观察下列等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；其中为常数，按照上面的规律，则 ； ；若，则 ． 【答案】 2022 【分析】本题主要考查了数字规律，涉及整式运算和有理数混合运算，熟练发现数字规律进行计算是解答本题的关键．根据示例得出规律，进而可求解． 【详解】解：∵第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； ∴； ； 当时， = = = = =2022， 故答案为：；；2022． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】题目主要考查利用完全平方公式及平方差公式计算，熟练掌握两个公式是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）根据平方差公式求解即可； （3）根据平方差公式求解即可； （4）根据平方差公式求解即可； （5）根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． （5）原式 ． 8．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：__________； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据图形得到完全平方公式即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ； （3）解： 这个长方形的面积为17． 9．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2；13 (2) (3)18 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； 代数式有最小值2； ， ； ； 代数式有最大值13； 故答案为：2；13． （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ， ， ∵，设，则， ， ∵， ， ∴四边形面积的最大值为18． 10．2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．      (1)通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式． ①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为______； ②图1中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为______、______； ③你能得出的a，b，c之间的数量关系是______（等号两边需化为最简形式）； ④一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为______． (2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______； ②已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】(1)①；②，；③；④17 (2)①；②80 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）①根据直角三角形的两边长即可得到结论； ②求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； ③根据②的结果，即可得出答案； ④代入求出即可； （2）①求出大正方体的体积和各个部分的体积，即可得出答案； ②代入①中的等式求出即可． 【详解】（1）解：①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为， 故答案为：； ②图1中阴影部分的面积为或， 故答案为：，； ③由②知：， 即， 故答案为：； ④∵， ∴， 故答案为：17； （2）解：①图形的体积为或， 即， 故答案为：； ②∵ ∴， 解得：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 整式乘法思维导图 【类型覆盖】 类型一、杨辉三角 【解惑】如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于的多项式（中项的系数为（    ） A．80 B．60 C．40 D．20 【融会贯通】 1．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 1     1  1     1  2  1     1  3  3  1     1  4  6  4  1     …    … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 2．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图，这个图叫做“杨辉三角”． ， ， ， ， ……， 请观察这些系数的规律，探究的展开式中含项的系数是 ． 3．【数学文化】 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．杨辉三角是1261年我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中给出的一个用数字排列起来的三角形阵．由于杨辉在书中引用了贾宪作的“开方作法本源”图和“增乘开方法”，因此这个三角形也称“贾宪三角”．在欧洲，这个三角形叫“帕斯卡三角形”，是帕斯卡在1654年研究出来的，比杨辉晚了近400年时间． 【问题解决】 如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等．    (1)根据上面的规律，写出的展开式． (2)利用上面的规律计算：． 类型二、整除问题 【解惑】若n为整数，则代数式的值一定可以（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被9整除 【融会贯通】 1．对任意自然数n，关于代数式的值，下列说法错误的是（    ） A．总能被6整除 B．总能被5整除 C．总能被4整除 D．总能被3整除 2．多项式能被整除，则 ， ． 3．观察：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由． 类型三、单项式乘多项式的应用 【解惑】如图，在长方形中，，其内部有两个正方形，如图放置，且这两个正方形的边长之和为4.5，两个正方形相交于点K，L，连接，四边形的面积是2.5，则正方形的边长为（    ） A．2 B．2.2 C． D．2.5 【融会贯通】 1．8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（    ） A． B． C． D． 2．小明外祖母家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的图形如图：现有三种地砖可供选择，请问需要砖 块，砖 块，砖 块. 3．（1）如图1，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （2）如图2，正方形和的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示的面积． （3）如图3，正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，已知正方形的边长为8，则的面积为 （请直接写出结果，不需要过程） 类型四、多项式乘多项式的应用 【解惑】三个边长分别为的正方形按如下图位置摆放，则图中3阴影部分的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，长方形的长，宽，其中，将这个长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到长方形，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，长方形，则阴影部分面积的表达式为 ． 3．综合与实践 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．八年级课外活动小组剪了若干个边长为a的小正方形（A类），长为b、宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类）卡片（如图1所示），发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 乐学组的同学：我们拼出了如图2的长方形，我们发现这个图形可以解释等式： ． (1)勤奋组的同学拼出了如图3的长方形，这个图形可以解释的等式为______． (2)启航组同学要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需用A类卡片______张，B类卡片______张，C类卡片______张． (3)卓越组的同学想用1张A卡片，5张B卡片，4张C卡片拼成一个长方形，验证某个等式，请你帮他们画出图形并写出可以解释的等式． 可以解释的等式为：______． (4)善思组的同学：用5张B类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设右下角与左上角的阴影部分的面积之差为M，，若M的值与x无关，试探究a与b的数量关系，并说明理由． 类型五、平方差公式的应用 【解惑】如图，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的正方形，再将剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，那么通过图3的长方形的面积计算验证的恒等式为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开（如图①），拼成新的图形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个乘法公式，这个乘法公式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，大正方形和小正方形面积之差是16，则阴影部分的面积是 . 3．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：___________； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 类型六、完全平方公式的应用 【解惑】将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放，利用外围正方形、中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，，则阴影部分的面积为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．如图，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是 ． 3．两个边长分别为a和b的正方形如图所示放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)则 ， ；（用含a，b的代数式表示） (2)若，求的值； (3)当两个正方形按图③所示摆放时，若，求出图③中的阴影部分的面积． 类型七、整式乘法中的规律 【解惑】观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_______________； (2)写出你猜想的第n个等式：___________________（用含n的等式表示），并证明． 【融会贯通】 1．观察下列各式，回答问题： ①； ②； ③； …… (1) ； (2)按此规律，第n个等式是：                                    ； (3)的值的末位数字是 ． 2．我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ； ； ； …… (1)设为整数，且，请用含的式子表示上述等式蕴含的一般规律_____； (2)请证明（1）中得到的规律； (3)小明同学在上面探究的基础上，发现十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积也存在一定的规律，如：，，，……． 请你用发现的规律计算．（写出计算过程） 3．我们学习了平方差公式，平方差公式是我们初中数学的重要公式，它在后面学习的分式、方程中有很重要的应用．请观察下列几个等式 (1)根据上述规律，请直接写出结果： ； (2)根据上述规律计算： ① ； ②． 类型八、整式乘法中的新定义 【解惑】定义一种新运算“”，满足，如：． (1)计算： ； (2)求的值； (3)等式“”是否成立？请说明理由． 【融会贯通】 1．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a＋bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算： （3＋5i）＋（2－3i）＝（3＋2）＋（5－3）i＝5＋2i， （1＋i）×（2－i）＝1×2－1×i＋i×2－＝2－i＋2i＋1＝3＋（－1＋2）i＝3＋i， (1)填空：＝ ，＝ ； (2)计算：（3＋2i）×（1－i）； (3)计算： 2．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于 对称． (2)若关于的多项式关于对称，求的值． (3)整式关于 对称． 3．阅读理解： 材料一：把形如的二次三项式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：我们可以将代数式进行变形，其过程如下： 该式有最小值1 材料二：我们定义：如果两个多项式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅常式”，这个常数称为关于的“雅常值”．如多项式，；，则是的“雅常式”，关于的“雅常值”为9． 根据材料，完成下面问题： (1)已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”； (2)已知多项式，（，为常数），M是N的“雅常式”，且当为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”． 类型九、配方法求最值 【解惑】定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)若多项式，． 证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； 求多项式的最小值； (2)因为可得到：，即这是重要的基本不等式；，（当时，且是定值时，有最小值是），若，求的最小值，并求出此时的值． 【融会贯通】 1．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题都有广泛的应用． 例如：用配方法分解因式：． 原式． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 2．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 3．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． (1)解决问题： 请你再写一个小于16的“完美数”______；并判断40是否为“完美数”______； (2)若二次三项式（x是整数）是“完美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为______； (3)探究问题： 已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，则符合条件的k值为______； 拓展结论：已知实数x，y满足，求的最小值． 类型十、项目式学习 【解惑】【项目学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当x为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图1，是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；图2是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由；    (3)如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地，且边上留两个1米宽的小门，设长为x米，当x为何值时，长方形场地的面积最大？最大值是多少？    【融会贯通】 1．阅读与思考 我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？请同学们阅读“刻苦小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：竖式的方法解决多项式除以多项式． 项目实施： 任务一  搜集资料：我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． （1）请把按x的指数从大到小排列： ． 任务二  竖式计算： 如下边竖式中，除以，商为，余数为，而如下边竖式中，多项式除以，商式为，余式为． （2）“刻苦小组”把小学的除法运算法则运用在多项式除法运算上，这里运用的数学思想是（    ） A．数形结合           B．类比              C．方程 任务三  学以致用 （3）请计算的商式与余式 2．我们学习过多项式乘多项式，根据法则可知，那么再根据除法是乘法的逆运算可得，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照用竖式计算（如图）： 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算． 请用上述方法计算： (1)； (2)． 3．阅读与理解 下面是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 2024年×月×日  星期日 多项式除以多项式我们曾经学习过单项式除以单项式，多项式除以单项式． 类比数字的除法运算，我们可以将多项式除以单项式使用竖式除法，如用如图1所示的竖式表示：   如果是多项式除以多项式，可以类比图1的过程用竖式除法吗？ 经过查阅资料，我写出了如图2所示的竖式，它的计算步骤如下： （1）先把被除式与除式分别按字母的降幂排列； （2）将被除式的第一项除以除式的第一项2x，即，得出商式的第一项3x； （3）用商的第一项3x与除式相乘得，写在的下面； （4）用减去得差，写在下面； （5）再用的第一项4x除以除式的第一项2x．即，写在商式的第一项3x的后面，写成代数和的形式； （6）以商式的第二项2与除式相乘，得，写在（4）中差的下面； （7）两式相减得0，表示刚好能除尽； （8）写出结果：． 任务： (1)材料中，由多项式除以单项式的竖式除法到多项式除以多项式的竖式除法体现的数学思想是______； A．数形结合思想    B．类比思想    C．分类讨论思想    D．公理化思想 (2)请你用竖式除法计算：； (3)若是的一个因式，则 ． 【一览众山小】 1．若是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，4个全等的小长方形与1个小正方形拼成了一个大正方形图案，已知大正方形边长为a，小正方形的边长为b，小长方形的长和宽分别为m，n（）．下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若，为有理数，且，则（   ） A． B． C．8 D．16 4．已知，则 ． 5．已知为有理数，且满足，当为整数时，的值为 ． 6．观察下列等式：第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：；第四个等式：；其中为常数，按照上面的规律，则 ； ；若，则 ． 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 8．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：__________； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 9．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 10．2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．      (1)通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式． ①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为______； ②图1中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为______、______； ③你能得出的a，b，c之间的数量关系是______（等号两边需化为最简形式）； ④一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为______． (2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______； ②已知，，利用上面的规律求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$