专题02 整式乘法-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题02 整式乘法思维导图 核心考点聚焦 1. 单项式乘单项式 2. 单项式乘多项式 3. 多项式乘多项式 4. 乘法公式 1、 单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2、 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3、 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 4、 乘法公式 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2.完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²，即首平方、尾平方，倍首尾放中央。 难点强化一、阴影部分面积 1．如图，有两个正方形A、B，边长分别为a和b，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 2．如图所示，在周长为44的长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在、上，点H、K分别在边、上，点P、Q在边上，点N在边上．记如图的三个阴影部分的面积分别为，，，若，则长方形的面积为 ． 3．如图，长方形被分割成四个小长方形，已知长方形的面积比长方形的面积大3，，那么阴影部分的面积是多少？ 难点强化二、杨辉三角 1．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（　　） A． B． C． D． 2．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” … 写出展开式中所有项的系数和 ． 3．我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．（图1） 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，你发现了什么规律？用你发现的规律回答下列问题： (1)多项式展开式的第三项系数是_____________． (2)请写出的展开式：______________． (3)已知多项式，当时，求该多项式的值． 难点强化三、操作问题 1．我们把个单项式的和得到的多项式记为，即，将多项式中的任意个单项式，其系数变为相反数得到新多项式，称为相反数操作．例如：对于，当时，可将变为，得到新多项式：，下列说法中： ①当时，若均为自然数，则与新多项式的积可能为 ②当时，若等于新多项式的绝对值，则的个单项式中一定存在两个单项式的和为； ③当时，得到的新多项式的所有可能结果之和记为，将再进行“相反数操作”，得到的新多项式的所有可能结果之和记为．．．以此类推，则与的差为定值．正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．有依次排列的2个整式：x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：x，，3，x，； ②第二次操作后，当时，所有整式的积为正数； ③第四次操作后整式串中共有19个整式； ④第2021次操作后，所有的整式的和为； 上面四个结论中正确的是 （填序号） 3．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“幸福数”，将的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数的和与111的商记为．例如，456是“幸福数”，不断将456的百位数字调到个位可得564，645，． (1)求，． (2)已知，（，，为整数），若、均为“幸福数”，且可被6整除，求的值． 难点强化四、整除问题 1．若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 2．一个正两位数M，它的个位数字是，十位数字是a，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 3．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）____； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； (2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 难点强化五、单(多)项式与多项式的应用 1．如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各15张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，若小明要拼出一个宽为，长为的大长方形，则他准备的C类卡片（   ） A．够用，剩余0张 B．够用，剩余2张 C．不够用，还缺1张 D．不够用，还缺2张 2．如图，长方形的面积是96，为上一点，，为上一点，则的面积是 ． 3．如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些矩形纸片A，B，C…，其面积分别为．图中的虚线为裁剪纸，试用含x的式子解决下列问题． (1)求；若，求矩形C落在边l上的长； (2)在（1）的前提下，若矩形D在边l上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 难点强化六、平方差公式的应用 1．如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 2．已知边长为a的大正方形A和边长为b的小正方形B，现将B放在A内部得到图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别是1和12． （1）根据图甲、图乙的面积关系，可以得到 ； （2）若3个正方形A和2个正方形B按图丙的方式摆放，则图丙中阴影部分的面积为 ． 3．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题． ①已知，，求的值． ②计算：． 难点强化七、完全平方公式的应用 1．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 2.有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片如图①所示，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图②，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图③．已知图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的2倍，则小正方形与大正方形的面积之比为 ． 3．【材料阅读】 利用两数和（差）的完全平方公式可以解决很多数学问题． 例：若满足，求的值． 解：设，则， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： 【初步应用】（1）已知，，则___________； 【问题解决】（2），求； 【拓展延伸】（3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 难点强化八、整式乘法的规律 1．数学兴趣小组开展探究活动，研究了均为自然数，且）的问题．研究过程如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ………… (1)按照以上规律，填空． ①请你写出当时，（    ）（    ）； ②猜想（    ） (2)兴趣 ………… 按照以上规律，请你猜想__________________，并证明． 2．某校的七年级数学兴趣小组开展探究活动，他们一起研究两位整数的平方数问题，先从个位数是1的两位整数的平方数开始．如： ； ．．． 按照以上规律，完成下列问题： (1)___________； (2)十位数字是，个位数字是1的两位整数的平方数可以写成：（___________）___________；（用含的代数式表示） (3)请你猜想出十位数字是，个位数字是的两位整数的平方数，写成：（___________）___________（用含的代数式表示），并证明． 3．阅读下面各式，寻找其中的计算规律． ① ②   ③ (1)按这个规律，第10个式子是：______________ (2)观测上式，并猜测： ________________ (3)根据你的猜测，计算（其中n是正整数）的值． 难点强化九、整式乘法的新定义 1．定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． (1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子． (2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值， (3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由． 2．配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”．理由：因为，所以10是“完美数”；代数式可配方成（，为常数）．也可以求代数式的最大值或最小值，即：，因为，所以，所以最小值为4． (1)解决问题： 下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①29；    ②48；    ③13；    ④28． (2)探究问题： ①已知（，是整数，是常数），猜想当为何值时，为“完美数”，并说明理由． ②已知实数，满足，求的最小值． 3．定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 难点强化十、配方法求最值 1．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：　　　　　　； (2)当x为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当　　　　　　，　　　　　　时，多项式有最小值，最小值是　　　　　　． 2．在学习用乘法公式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．周老师布置了一道思维拓展题：代数式 有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宸的解题步骤如下： ∴当时，数式的最小值是4，此时 小宸的解法及结果得到了周老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)若是一个完全平方式，则k的值等于 ； (2)求代数式的最小值，并求此时x的值； (3)对于任意实数x、y，若多项式的最小值为2，求m的值． 3．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； （2）代数式的最小值为 ； 【类比应用】 （3）试判断代数式与的大小，并说明理由； 【知识迁移】 （4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积． 真题感知 1．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 2．（2024·江苏扬州·中考真题）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 4．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 5．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 6．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式乘法思维导图 核心考点聚焦 1. 单项式乘单项式 2. 单项式乘多项式 3. 多项式乘多项式 4. 乘法公式 1、 单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2、 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3、 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 4、 乘法公式 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2.完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²，即首平方、尾平方，倍首尾放中央。 难点强化一、阴影部分面积 1．如图，有两个正方形A、B，边长分别为a和b，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式，图甲种阴影部分是一个长为，宽为的长方形，图2种阴影部分面积等于边长为的正方形面积减去正方形A和正方形B的面积，据此分别表示出与，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故选；D． 2．如图所示，在周长为44的长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在、上，点H、K分别在边、上，点P、Q在边上，点N在边上．记如图的三个阴影部分的面积分别为，，，若，则长方形的面积为 ． 【答案】120 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 设长方形的长，宽，表示出，则由已知及图形可得、、代的长、宽及面积如何表示，根据，及可整体求得的值，即长方形的面积． 【详解】设长方形的长，宽， ∵周长为44， ∴ ． 的长为，宽为， ． 的长为，宽为， ． ：长为，宽为， 所以． 将、、代入得：      将代入中得： ． ∴长方形的面积为120． 故答案为：120． 3．如图，长方形被分割成四个小长方形，已知长方形的面积比长方形的面积大3，，那么阴影部分的面积是多少？ 【答案】阴影部分面积为1． 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据题意得出，设 则，根据题意得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：连接 ∵， ∴， 设 则， ∵长方形的面积比长方形的面积大3， ∴， ∵ ， ∴阴影部分的面积． 难点强化二、杨辉三角 1．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的系数规律问题，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律．根据杨辉三角的规律可知，令，则，计算即可． 【详解】解：， ∴， 令， ∴， 故选：D． 2．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” … 写出展开式中所有项的系数和 ． 【答案】 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，掌握展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解是关键． 由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， ． 故答案为：． 3．我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾宪三角或杨辉三角．（图1） 杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，你发现了什么规律？用你发现的规律回答下列问题： (1)多项式展开式的第三项系数是_____________． (2)请写出的展开式：______________． (3)已知多项式，当时，求该多项式的值． 【答案】(1)10； (2) (3) 【分析】本题考查对题干“杨辉三角”规律的理解，以及规律的运用，解题的关键是找出展开式的各项系数规律并灵活运用． （1）根据“杨辉三角”规律写出多项式的展开式，即可得到展开式中的第三项； （2）根据“杨辉三角”规律得到多项式展开式； （3）根据“杨辉三角”规律得到为的展开式，即可解题． 【详解】（1）解：由题可得：多项式的展开式各系数依次为1，5，10，5，1， 多项式的展开式中第三项系数是10． 故答案为：； （2）解：由题意可得：． 故答案为：； （3）解： ， 当时，原式． 难点强化三、操作问题 1．我们把个单项式的和得到的多项式记为，即，将多项式中的任意个单项式，其系数变为相反数得到新多项式，称为相反数操作．例如：对于，当时，可将变为，得到新多项式：，下列说法中： ①当时，若均为自然数，则与新多项式的积可能为 ②当时，若等于新多项式的绝对值，则的个单项式中一定存在两个单项式的和为； ③当时，得到的新多项式的所有可能结果之和记为，将再进行“相反数操作”，得到的新多项式的所有可能结果之和记为．．．以此类推，则与的差为定值．正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，解绝对值方程，根据新定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵． 当 时，有两种可能的新多项式： 改变 的系数：新多项式为 ． 改变 的系数：新多项式为 ． 计算与新多项式的积： 若改变 ，积为 ． 若改变 ，积为 ． 设 ， ，则 ，且 ， 和 同奇偶（确保 为整数）． 积的绝对值为 ，需等于 12． 符合条件的解：， （例如 或 ）． 当 时，改变 得新多项式 ，，积为 ．因此，说法①正确． ． 当 时，选择任意两个单项式（设其和为 ），新多项式为 ． 条件：，且 ． 解绝对值方程：情况一： ∴，则选中的两个单项式之和为 0． 情况二： ∴，则未选中的两个单项式之和为 因此，无论如何，都存在两个单项式之和为 0．说法②正确． ． 定义迭代过程：：所有可能一次操作（）后新多项式的和． 新多项式：，，． ∴． ：将（即）进行所有可能一次操作后新多项式的和． 操作 得：，，． 同样得 ． 对任意多项式 ，其所有可能一次操作后新多项式的和仍等于 ． 因此， 对所有 成立． ，差为 （定值）． 说法③正确． 三个说法均正确，正确个数为 3． 故选：A． 2．有依次排列的2个整式：x，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：x，，3，x，； ②第二次操作后，当时，所有整式的积为正数； ③第四次操作后整式串中共有19个整式； ④第2021次操作后，所有的整式的和为； 上面四个结论中正确的是 （填序号） 【答案】①④/④① 【分析】根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】解：∵第一次操作后的整式串为：x，3，， ∴第二次操作后的整式串为x，，3，，， 即x，，3，，，故①的结论正确，符合题意； 第二次操作后整式的积为， ∵， ∴，即， ∴， 即第二次操作后，当时，所有整式的积为非负数，故②的说法错误，不符合题意； 第三次操作后整式串为， 第四次操作后整式串为， 共17个，故③的说法错误，不符合题意； 第一次操作后所有整式的和为， 第二次操作后所有整式的和为， 第三次操作后所有整式的和为， ...， 第n次操作后所有整式的积为， ∴第次操作后，所有的整式的和为， 故④的说法正确，符合题意； 正确的说法有①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查整式的加减，整式的乘法，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“−”号，去掉“−”号和括号，括号里的各项都变号）和平方差公式是解题关键． 3．对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“幸福数”，将的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数的和与111的商记为．例如，456是“幸福数”，不断将456的百位数字调到个位可得564，645，． (1)求，． (2)已知，（，，为整数），若、均为“幸福数”，且可被6整除，求的值． 【答案】(1)， (2)18 【分析】(1)根据定义计算，即可分别求得； (2)首先可求得且，，再分两种情况可求得或(且，，)，再根据可被6整除，即可分别求得x、y的值，即可求得s、t的值，据此即可解答 【详解】（1）解：， ； （2）解：、均为“幸福数”， 且，且且， ，且，， 当时，， 当时，，且，，， 当，，且，时， 可被6整除， 或或， 由得，(舍去)， 由得，或或或，都不符合题意，故舍去， 同理，也没有符合要求的x、y的值； 当，，且，，且，，时， 可被6整除， 或或， 同理，可得或， 当时，，， 此时，，不合题意舍去， 当时，，， 此时，，合题意， ， 综上，的值为18． 【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键． 难点强化四、整除问题 1．若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式的运用是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的加减运算得到，结合为任意整数，得到是整数，由此即可求解． 【详解】解： ， ∵为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被5整除， 故选：C． 2．一个正两位数M，它的个位数字是，十位数字是a，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查整式的加减运算，因式分解的应用，求出的值，因式分解后，根据的值能被13整除可得出，进而可求出a的值． 【详解】解：正两位数， 新两位数，， 因为的值能被13整除，且a为整数，，， 所以， 解得． 故答案为：6． 3．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）____； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； (2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（ⅰ）48；（ⅱ）能被8整除，证明见解析 (2)（或）， 【分析】本题考查了数字类规律探索，因式分解的应用，掌握相关运算法则是解题关键． （1）（ⅰ）根据表中规律作答即可； （ⅱ）根据表中规律即可得出能被8整除；根据平方差公式化简，即可得解； （2）根据题中方法利用平方差公式化简即可求解． 【详解】（1）解：（ⅰ）； （ⅱ）能被8整除； 证明： ， 又是正整数， 能被8整除，结论成立； （2）解： ， ． 故答案为：（或），． 难点强化五、单(多)项式与多项式的应用 1．如图，小明制作了A类，B类，C类卡片各15张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，若小明要拼出一个宽为，长为的大长方形，则他准备的C类卡片（   ） A．够用，剩余0张 B．够用，剩余2张 C．不够用，还缺1张 D．不够用，还缺2张 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【详解】解：大长方形的面积为，C类卡片的面积为， ∴需要C类卡片的张数是13， ∴够用，剩余2张， 故选：B． 2．如图，长方形的面积是96，为上一点，，为上一点，则的面积是 ． 【答案】45 【分析】此题考查了整式的乘法以及代数求值的实际应用，解题的关键是正确表示出，，． 设长方形的长为x，宽为y，然后表示出，，，然后根据的面积列式代数求解即可． 【详解】设长方形的长为x，宽为y， ∵，， ∴，， ∴的面积 ． 故答案为：45． 3．如图，在一个足够长且宽为的纸带上剪出一些矩形纸片A，B，C…，其面积分别为．图中的虚线为裁剪纸，试用含x的式子解决下列问题． (1)求；若，求矩形C落在边l上的长； (2)在（1）的前提下，若矩形D在边l上的长为，比较与的大小，并通过计算说明理由． 【答案】(1)；x (2)，见解析 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积等于长乘宽，先表示，因为，故，即可作答． （2）依题意，，，结合，即一定大于0，所以，即可作答． 【详解】（1）解：结合图形，； ∵ ∴， ∴矩形C落在边l上的长为x； （2）解：，理由如下： 依题意，， ∴ ∵， ∴一定大于0， ∴， 即． 难点强化六、平方差公式的应用 1．如图，大正方形与小正方形的面积之差是，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用平方差公式求图形的面积，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到，，再根据阴影部分的面积等于进行求解即可． 【详解】解：如图，设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴，，，， ∴ ， 故选：． 2．已知边长为a的大正方形A和边长为b的小正方形B，现将B放在A内部得到图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别是1和12． （1）根据图甲、图乙的面积关系，可以得到 ； （2）若3个正方形A和2个正方形B按图丙的方式摆放，则图丙中阴影部分的面积为 ． 【答案】 1 29 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的结构特点是解题的关键． （1）图甲中阴影面积等于所在大正方形面积减去正方形的面积，再减去两个长方形面积； （2）图丙中阴影部分面积等于所在大正方形面积减去3个正方形A的面积，再减去2个正方形B的面积，据此列出算式后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可；． 【详解】解：（1）图甲阴影面积可以表示为：， 为正方形边长，， ， ， 故答案为：； （2）图乙中阴影部分面积可以表示为：， ， 图丙中阴影部分面积为： ， ，， ， ， ，（舍去）， ． 故答案为：． 3．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题． ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据图1和图2的面积相等即可得到答案； （2）①运用平方差公式求解即可； ②将原式变形为，然后连续运用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图1的阴影部分的面积是，图2的阴影部分的面积是， 这两个阴影部分的面积相等，所以上述操作能验证的等式是； 故答案为：； （2）解：①∵，，且， ∴， ∴； ② ． 难点强化七、完全平方公式的应用 1．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，图中阴影部分四个正方形的面积之和为，则图中每个小长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握是解题的关键． 根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：大长方形周长为， ， ， 四个正方形的面积之和为， ， ， ， ， ， 故选：B． 2.有一张边长为的大正方形卡片和三张边长为的小正方形卡片如图①所示，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图②，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图③．已知图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的2倍，则小正方形与大正方形的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图可得，图②阴影部分面积，图③阴影部分面积，即得，得到，据此即可求解，根据图形表示出图①②阴影部分的面积是解题的关键． 【详解】解：由图②可得，阴影部分面积， 由图③可得，阴影部分面积， ∵图②中的阴影部分面积是图③中的阴影部分面积的倍， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．【材料阅读】 利用两数和（差）的完全平方公式可以解决很多数学问题． 例：若满足，求的值． 解：设，则， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： 【初步应用】（1）已知，，则___________； 【问题解决】（2），求； 【拓展延伸】（3）已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）22；（2）；（3）阴影部分的面积为16． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）先利用完全平方公式求得，再根据，代入计算即可； （2）设，，根据题意可求出，，再求出的值，即可求出答案； （3）长方形的长，宽，则有，因此有，求出x的值，再代入阴影部分的面积中计算即可求出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，， 则， ， ∵， ∴， ∴； （3）由题意得，长方形的长，宽， 则有， 由题意得， 即， ∴， ∴或（舍去）． ∴阴影部分的面积为：， 答：阴影部分的面积为16． 难点强化八、整式乘法的规律 1．数学兴趣小组开展探究活动，研究了均为自然数，且）的问题．研究过程如下： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ………… (1)按照以上规律，填空． ①请你写出当时，（    ）（    ）； ②猜想（    ） (2)兴趣 ………… 按照以上规律，请你猜想__________________，并证明． 【答案】(1)①，43；② (2)，，，证明见解析 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及整式的混合运算，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决①②． （2）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律，并进行证明即可． 【详解】（1）解：①当时，； ②猜想：． 故答案为：①，43；②； （2）解：猜想：， 证明： ， 所以左边右边，猜想成立． 2．某校的七年级数学兴趣小组开展探究活动，他们一起研究两位整数的平方数问题，先从个位数是1的两位整数的平方数开始．如： ； ．．． 按照以上规律，完成下列问题： (1)___________； (2)十位数字是，个位数字是1的两位整数的平方数可以写成：（___________）___________；（用含的代数式表示） (3)请你猜想出十位数字是，个位数字是的两位整数的平方数，写成：（___________）___________（用含的代数式表示），并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察数据的变化规律，找到规律后即可求解． （1）根据已知等式得出规律，写出即可； （2）根据已知等式得出规律，写出即可； （3）根据已知等式得出规律，写出即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ∴； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：； 证明：, ， 左边右边， 故答案为：；． 3．阅读下面各式，寻找其中的计算规律． ① ②   ③ (1)按这个规律，第10个式子是：______________ (2)观测上式，并猜测： ________________ (3)根据你的猜测，计算（其中n是正整数）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类变化规律，平方差公式，多项式乘以多项式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干，即可归纳总结得到一般性规律， （2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵① ②   ③ ∴第10个式子是：， 故答案为：； （2）解：由题干规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 难点强化九、整式乘法的新定义 1．定义：对于依次排列的多项式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于多项式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． (1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子． (2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值， (3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)当时，a，b，c，d是一组平衡数 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们会发现，． （1）直接根据定义计算的值； （2）根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为，代入可得结论； （3）根据（2）可得，，，之间满足的数量关系式． 【详解】（1）解： （2）由题意，得 ， 因为，，是常数，所以，即，所以，的值可以是．（答案不唯一，满足即可） （3）， ，，，都是常数，所以当时，是常数，即当时，，，，是一组平衡数 2．配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，10是“完美数”．理由：因为，所以10是“完美数”；代数式可配方成（，为常数）．也可以求代数式的最大值或最小值，即：，因为，所以，所以最小值为4． (1)解决问题： 下列各数中，“完美数”有______（填序号）． ①29；    ②48；    ③13；    ④28． (2)探究问题： ①已知（，是整数，是常数），猜想当为何值时，为“完美数”，并说明理由． ②已知实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)①③ (2)①当时，为“完美数”，理由见解析；② 【分析】本题考查了新定义的运算法则，因式分解的应用，完全平方公式的运算： （1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应字母的值； （3）利用配方法和非负数的性质求得最小值； 仔细阅读材料，理解新定义含义，把算式灵活配方是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴29是“完美数”， ∵， ∴13是“完美数”， 故答案为：①③； （2）①当时，为“完美数”，理由如下：， 当时完全平方数时，即， 即时，是“完美数”； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 3．定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 【答案】(1)多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为； (2)； (3)9 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算的应用，理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据和谐多项式的概念，计算即可验证； （2）根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中和的系数都为０，即可解答； （3）根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中和的系数都为０，即可解答； 【详解】（1）解：， ， ， 故多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为 （2）解： ， ， 多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式， ； （3）解： 多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式， ， 解得， ． 难点强化十、配方法求最值 1．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：　　　　　　； (2)当x为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当　　　　　　，　　　　　　时，多项式有最小值，最小值是　　　　　　． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，最小值是 (3)， 5 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据材料用配方法分解因式即可； （2）根据材料用配方法求出最小值即可； （3）对多项式利用配方法求出最小值即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 当时，有最小值，最小值是． （3）解： 当时，有最小值，最小值是5． 2．在学习用乘法公式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．周老师布置了一道思维拓展题：代数式 有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宸的解题步骤如下： ∴当时，数式的最小值是4，此时 小宸的解法及结果得到了周老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)若是一个完全平方式，则k的值等于 ； (2)求代数式的最小值，并求此时x的值； (3)对于任意实数x、y，若多项式的最小值为2，求m的值． 【答案】(1)4 (2)最小值为2，此时 (3) 【分析】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，掌握利用完全平方式的特点把代数式变形是解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特点解答即可； （2）根据题目提供的方法配方成完全平方公式，然后根据偶次方的非负性即可得答案． （3）根据题目提供的方法配方成完全平方公式，根据偶次方的非负性几何多项式的最小值为2，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：4； （2） 当时，代数式有最小值是2， 此时； （3） 依题意得， ． 3．阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； （2）代数式的最小值为 ； 【类比应用】 （3）试判断代数式与的大小，并说明理由； 【知识迁移】 （4）如图，学校打算用长16米的篱笆围一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（墙足够长），求围成的生物园的最大面积． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）32平方米 【分析】本题考查了完全平方式的应用，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式的特点、偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方公式的特征添加即可得解； （2）把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （3）利用完全平方式把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （4）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用完全平方式把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：（1）由题意得， ， 故答案为：4． （2）， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：； （3），理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （4）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得：， 当时，有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是32平方米． 真题感知 1．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 【答案】D 【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，根据题意，得，分类解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数， 根据题意，得 ， 当时，，都能成立； 当时，则，则， 故， 故， 故一定能被8整除， 故选：D． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法公式，合并同类项，幂的乘方，单项式乘法，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：B ． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 4．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】根据圆柱的体积圆柱的底面积圆柱的高，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键． 5．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键． 6．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，. 【答案】， 【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可． 【详解】 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$