8.4 乘法公式 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

8.4 乘法公式 一、平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即： a² - b² = (a + b)(a - b) 二、完全平方公式 1、两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数乘积的两倍。即： (a + b)² = a² + 2ab + b² 2、两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数乘积的两倍。即： (a - b)² = a² - 2ab + b² 巩固课内例1:用完全平方公式计算 1．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．化简：． 巩固课内例2:用完全平方公式巧算 1．用简便方法计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例3:用平方差公式计算 1．下列式子中，不能用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 2． ． 3．计算： 巩固课内例4:用平方差公式巧算 1．计算的结果是（　　） A． B．1 C．2021 D． 2．计算： ． 3．利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 巩固课内例5:平方差、完全平方公式与幂的运算结合 1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为 ． 3．先化简，再求值：，其中． 巩固课内例6:用整体思想计算平方差与完全平方公式 1．已知，则（   ） A．4 B．10 C．16 D．20 2．已知，则 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型一、平方差公式计算 1．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．设是一个三角形的三边长，则 0．（填） 3．利用乘法公式计算： (1) (2) (3) (4) 类型二、完全平方公式计算 1．已知：，则（　　） A．1 B． C． D． 2．若，，那么代数式的值为 ． 3．先化简，再求值：，其中，． 类型三、整式的混合运算 1．已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．若，那么多项式的值是 ． 3．先化简，再求值，已知，求代数式的值． 类型一、完全平方式 1．下列各式是完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 2．已知是一个完全平方式，则 ． 3．我们规定：．例如：． (1)求的值． (2)若是一个完全平方式，则______． (3)若，且，求的值． 类型二、平方差公式列几何图形等式 1．在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个因式分解的等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 2．如图，阴影部分是边长为的大正方形中减去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列三种割、拼方法，其中能够验证平方差公式的是图 ． 3．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是______； A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知：，，求的值； 类型三、完全平方公式列几何图形等式 1．如图所示的图中，将边长为的正方形面积分成四部分，能验证的乘法公式是（　　）    A． B． C． D． 2．如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式： ． 3．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形    (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法 方法 (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则 ． 类型四、完全平方公式变形求解 1．已知，则等于（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．若，则 ． 3．图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 类型一、杨辉三角 1． （n为非负整数）当，1，2，3，…．时的展开情况如下图所示： 观察上面式子，我们得出了下表： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后的各项系数的情况，被称为“杨辉三角”．据这个表，你认为的展开式中所有项系数的和应该是（    ） A．128 B．256 C．512 D．108 2．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)根据上面的规律，＝ ； (2)求展开式中各项的系数和； (3)若今天是星期二，经过天后是星期几． 类型二、新定义问题 1．对于任意有理数x，y，现用定义一种运算： 根据这个定义，代数式 可以化简为（   ） A． B． C． D． 2．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则 ． 3．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 类型三、规律问题 1．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； ．．．．．．．．．． 按照以上规律，猜想第个等式为： ． 3．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是______． (2)小明根据以上操作去计算时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算：_______（直接写出结果即可）． (3)运用以上规律计算． 类型四、平方差公式图形应用 1．如图，点，，，分别在长方形的边上，点，在上，若正方形的面和等于10，图中阴影部分的面积总和为4，则正方形的面积等于（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 2．如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为 ． 3．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形．比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知则的值为______； ②计算：； 【拓展】计算：． 类型五、完全平方公式图形应用 1．用4张长为、宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，大正方形的面积为．若，则、满足（   ） A． B． C． D． 2．如图，两个正方形的边长分别为和（），如果，，那么阴影部分的面积是 ． 3．数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1______；图2______； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为20，求的面积； 【知识迁移】 （4）若，则______．（直接写出结果） 1．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．如果是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A．6 B． C．6或 D．3或 3．对于任意的数n，下列各数中能整除的是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 4．计算： ． 5．已知，，则 6．由，反过来可以得到．计算： ． 7．计算： (1)； (2)； (3) （用整式乘法公式计算）； (4)． 8．先化简，再求值：，其中，． 9．（新考法）“数形结合”能够更加直观地理解几何图形与数量间的关系，采用不同研究方法探究问题能得到意想不到的结论．用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． 【探究发现】 （1）如图①是一个长为、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形．可以得到及三者之间的等量关系式，请根据面积关系，求出这个等量关系； 【探究应用】 利用上面所得的结论解答下列问题： （2）已知：，求的值； （3）已知：，求的值； 【探究拓广】 （4）已知直角三角形的两直角边a，b满足，求这个直角三角形的面积． 10．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.4 乘法公式 一、平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即： a² - b² = (a + b)(a - b) 二、完全平方公式 1、两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数乘积的两倍。即： (a + b)² = a² + 2ab + b² 2、两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数乘积的两倍。即： (a - b)² = a² - 2ab + b² 巩固课内例1:用完全平方公式计算 1．的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式展开求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．计算： ． 【答案】． 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 故答案为． 3．化简：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，利用完全平方公式和单项式乘以多项式展开后合并同类项即可． 【详解】解： 巩固课内例2:用完全平方公式巧算 1．用简便方法计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键．根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了利用完全平方公式进行计算，把变形为，利用完全平方公式展开计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 3．利用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用完全平方公式展开求解即可； （2）变形后利用完全平方公式进行计算求解即可； （3）把变为利用完全平方公式进行计算求解即可； （4）把变形为利用完全平方公式进行计算求解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 【点睛】此题考查了利用完全平方公式进行计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 巩固课内例3:用平方差公式计算 1．下列式子中，不能用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：． 【详解】解：A、不能用平方差公式运算，符合题意； B、能用平方差公式运算，不符合题意； C、能用平方差公式运算，不符合题意； D、能用平方差公式运算，不符合题意； 故选：A． 2． ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式，即，根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，熟知平方差公式及整式乘法的运算法则是正确解决本题的关键． 先运用平方差公式及单项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式=  =． 巩固课内例4:用平方差公式巧算 1．计算的结果是（　　） A． B．1 C．2021 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：A ． 2．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，再进一步计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： 3．利用乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，正确计算是解题的关键： （1）根据完全平方公式计算即可； （2）将式子变形为，再根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例5:平方差、完全平方公式与幂的运算结合 1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得，再代入，化简即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴的值是． 故选：D． 【点睛】本题考查求代数式的值，完全平分公式，整式的混合运算，运用了整体代入的方法．掌握整式的运算法则是解题的关键． 2．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】根据平方差公式，单项式乘以多项式计算方法展开，合并同类项后把已知式子的值代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴原式； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，已知代数式的值求整式的值，掌握整式的混合原式是解题的关键． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值．掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式将式子进行化简，再将代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 巩固课内例6:用整体思想计算平方差与完全平方公式 1．已知，则（   ） A．4 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用；根据已知条件，利用平方差公式求出的值，再由完全平方公式即可求得结果． 【详解】解：， ， 即， ∵， ， ． 故选：B． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根解方程，平方差公式的应用，设，则，然后根据平方根的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 ． 【详解】解：设，则， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）利用单项式乘以多项式、平方差公式计算即可； （）利用平方差公式计算即可； （）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （）利用平方差公式、完全平方公式计算即可； 本题考查了整式的乘法运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 类型一、平方差公式计算 1．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式，能熟记公式的特点是解答本题的关键． 根据平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式法则分别化简各项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 2．设是一个三角形的三边长，则 0．（填） 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系和完全平方公式、平方差公式．熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．根据三边关系得到，，即，结合完全平方公式和平方差公式将，进行判断即可． 【详解】解：∵，，是三角形的三条边长， ∴，，即， ∴， 故答案为：． 3．利用乘法公式计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)9801 (2) (3)1 (4) 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键： （1）利用完全平方公式进行计算； （2）利用平方差公式进行计算； （3）利用平方差公式进行计算； （4）利用平方差公式进行计算． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ； （4）． 类型二、完全平方公式计算 1．已知：，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，乘方运算，因为，所以，解得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 故选：B． 2．若，，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，完全平方公式．根据完全平方公式，单项式乘多项式进行化简，再将值代入求解即可． 【详解】解： ， 当，， ． 类型三、整式的混合运算 1．已知，那么代数式值是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查整式混合运算，已知式子的值求代数式的值．由已知得到，运用整式的混合运算法则对代数式化简变形，代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 2．若，那么多项式的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 3．先化简，再求值，已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，利用整式的运算法则和乘法公式先化简，再由已知得，整体代入到化简后的结果中计算即可，掌握整式的运算法则及整体代入法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式 ． 类型一、完全平方式 1．下列各式是完全平方式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据完全平方公式的形式为求解即可． 【详解】解：A．不是完全平方式； B．是完全平方式； C．不是完全平方式； D．不是完全平方式． 故选：B． 2．已知是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式列式进行计算，即可确定k的值． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 3．我们规定：．例如：． (1)求的值． (2)若是一个完全平方式，则______． (3)若，且，求的值． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，在理数的运算，熟练掌握完全平方式是解题的关键． （1）根据规定直接计算求值； （2）先利用新定义计算，之后配方成完全平方公式，即可得到答案； （3）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出． 【详解】（1）解：； （2）解：， 是完全平方式， ； （3）解： ， ， ， ， ． 类型二、平方差公式列几何图形等式 1．在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个因式分解的等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形．解题的关键在于正确表示两个图形中阴影部分的面积．根据阴影部分面积相等列等式即可． 【详解】解：由面积相等可知， 故选：C． 2．如图，阴影部分是边长为的大正方形中减去一个边长为的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列三种割、拼方法，其中能够验证平方差公式的是图 ． 【答案】①②③ 【解析】略 3．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是______； A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知：，，求的值； 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，掌握图形面积的不同求法是解题关键． （1）根据图中阴影部分面积的不同计算方式即可求解； （2）由（1）中所得结论即可求解． 【详解】（1）解：由左图可知：阴影部分的面积； 由右图可知：阴影部分的面积； 故可以验证的等式是B 故答案为：B （2）解：， 由（1）知， ， ∴ 类型三、完全平方公式列几何图形等式 1．如图所示的图中，将边长为的正方形面积分成四部分，能验证的乘法公式是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据大正方形面积等于分成的四部分面积之和，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，大正方形面积为：，分成的四部分面积分别为：、、、， ， 能验证的乘法公式是， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握图形面积公式是解题关键． 2．如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积=较大正方形的面积+小正方形的面积+2个长方形的面积解答即可． 【详解】解：由图可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为． 又∵大正方形的面积=较大正方形的面积+小正方形的面积+2个长方形的面积， ∴． 故答案为：． 3．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形    (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法 方法 (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则 ． 【答案】(1) (2)， (3) (4)29 【分析】本题主要考查我们的公式变形能力，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键． （1）观察图2，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即； （2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积； （3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系； （4）将，，代入三个代数式之间的等量关系即可求出的值． 【详解】（1）解：图2中的阴影部分的正方形的边长等于； （2）解：方法一、阴影部分的面积； 方法二、阴影部分的边长；故阴影部分的面积． （3）解： 三个代数式之间的等量关系是：； （4）解：． 故答案为：、；；29． 类型四、完全平方公式变形求解 1．已知，则等于（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值计算．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设，得， 得，得，得，得，得或，代入计算可得． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴， ∴或， ∴． 故选：D． 2．若，则 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查完全平方公式，设，再根据完全平方公式即可得出答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2026． 3．图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【答案】(1) (2)41 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在结合图形中的应用，根据完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练完全平方公式． （1）表示图2的面积，从整体或局部来表示，即可得出等式； （2）直接利用（1）的结论代入即可； （3）根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：观察图2，可得四块小长方形的面积为或， ∴； 故答案为：． （2）解：根据（1）可得， 因为，， 所以． （3）解：∵， ∴ ， ∴． 类型一、杨辉三角 1． （n为非负整数）当，1，2，3，…．时的展开情况如下图所示： 观察上面式子，我们得出了下表： 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后的各项系数的情况，被称为“杨辉三角”．据这个表，你认为的展开式中所有项系数的和应该是（    ） A．128 B．256 C．512 D．108 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，杨辉三角的有关知识，由特殊情况，可以总结出一般规律． 【详解】当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 当时展开式所有系数的和为：． 故选：C． 2．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律探索，读懂题意并根据所给的式子寻求规律是解题的关键． 首先确定含的项是展开式中的第几项，根据杨辉三角解决问题即可． 【详解】解：∵， 可知，展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是， 故答案为：． 3．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1、2、1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应着展开式中的系数等等． (1)根据上面的规律，＝ ； (2)求展开式中各项的系数和； (3)若今天是星期二，经过天后是星期几． 【答案】(1) (2) (3)星期四 【分析】（1）根据题目的规律即可得到答案，读懂题意是解题的关键； （2）根据，令，，整理后即可得到答案，熟练准确求出代数式的值是解题的关键； （3）由题可得，进一步得到除以7的余数为1，则除以7余数为2，即可得到答案．熟练掌握多项式展开的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题目规律得，， （2）由题可得设， 令，可得， 的系数和为． （3）若今天是星期二，经过天后是星期四，理由如下： 由题可得． ， 除以7的余数为1， 除以7余数为2， 经过天后是星期四． 类型二、新定义问题 1．对于任意有理数x，y，现用定义一种运算： 根据这个定义，代数式 可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算，整式的运算，根据新运算的法则，得到，进行计算即可． 【详解】 解： ． 故选：C 2．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，完全平方公式，去括号，合并同类项，解一元一次方程等知识点，根据二阶行列式的定义及已知条件正确列出方程是解题的关键． 根据二阶行列式的定义及已知条件可得，将方程左边利用完全平方公式展开，然后去括号，合并同类项，解一元一次方程即可求出的值． 【详解】解：根据二阶行列式的定义可得： ， 展开，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 解得：， 故答案为：． 3．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)化简：； (3)若，，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】题目主要考查新定义运算及整式的乘法运算，理解新定义运算及整式的乘法运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算，得出方程求解即可； （2）根据新定义运算求解计算即可； （3）根据新定义分别确定m，n，然后作差即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． （2） ， ． （3）． 理由：， ， ， ． 类型三、规律问题 1．发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故选：C． 2．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； ．．．．．．．．．． 按照以上规律，猜想第个等式为： ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】解：猜想：第个等式是， 证明：∵ ， ， 故答案为：． 3．从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是______． (2)小明根据以上操作去计算时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算：_______（直接写出结果即可）． (3)运用以上规律计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用不同的方法用代数式表示阴影部分的面积是得出公式的前提，配上适当的因式利用平方差公式是正确解答的关键． （1）用两种方法部分用代数式表示阴影部分的面积即可； （2）先在式子前面乘以，再连续使用平方差公式即可得出答案； （3）先在式子前面乘以，再连续使用平方差公式即可得出答案； 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 可以验证的等式是， 故答案为：； （2）解：原式， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：原式， ， ， ， ， ． 类型四、平方差公式图形应用 1．如图，点，，，分别在长方形的边上，点，在上，若正方形的面和等于10，图中阴影部分的面积总和为4，则正方形的面积等于（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1.5 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与图形的面积， 解决本题的关键是找准图形间的面积关系. 设大、小正方形边长为，则然后利用图中阴影部分的面积总和为，进而可得正方形EFGH的面积. 【详解】解：设大、小正方形边长为，则有阴影部分面积为： 即 可得 即所求面积是. 故选： C. 2．如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了整式乘法与图形面积，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积以及用平方差公式求解．根据正方形面积为，得出正方形边长为，将阴影部分面积根据三角形面积公式表示出来可得，即可求解． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴正方形边长为， 设正方形边长为x，则， ∴，， ∵阴影部分面积为， ∴， 整理得：， ∴，解得：， ∴正方形面积为． 故答案为：． 3．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②所示的长方形．比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： ①已知则的值为______； ②计算：； 【拓展】计算：． 【答案】【探究】；【应用】（1）12；（2）；【拓展】 【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式解决问题． 探究：利用两个面积相等列式即可； 应用：①利用探究中的公式计算即可；②利用探究中的公式计算即可； 拓展：算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】解：探究：图①中的阴影面积为；图②的面积为； 这两个面积相等，所以， 故答案为：． 应用：①根据探究的公式可得，； 因为，， 所以 故答案为：12； ②原式． 拓展：原式 ． 类型五、完全平方公式图形应用 1．用4张长为、宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，大正方形的面积为．若，则、满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，整式的混合运算，分别求出阴影部分的面积和大正方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：大正方形的面积为：，空白部分的面积为：， ∴阴影部分的面积为：， ∵， ∴，， ∴； 故选D． 2．如图，两个正方形的边长分别为和（），如果，，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】14 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的变形是关键．阴影部分的面积就是两个三角形的面积之和，用、的代数式表示后，整体代入，即可． 【详解】解：如图，连接， ， ． 故答案为：14． 3．数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1______；图2______； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为20，求的面积； 【知识迁移】 （4）若，则______．（直接写出结果） 【答案】（1），；（2）；（3）4；（4） 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据图形的阴影部分可直接进行求解； （2）根据图中所给阴影部分面积可直接进行求解； （3）设，则有，然后根据完全平方公式可进行求解； （4）由题意易得，然后根据整体思想及完全平方公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图1可知满足的乘法公式为；由图2可知满足的乘法公式为； 故答案为：，； （2）根据图形可知：图中阴影部分的面积为或者， ∴满足的关系式为； （3）由可设，则， ∴， ∵两正方形的面积和为20，即， ∴， ∴， ∴； （4）由题意可知：， ∴ ∵， ∴； 故答案为：13． 1．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂相乘，积的乘方，解题的关键在于熟练掌握相关计算方法.根据完全平方公式，同底数幂相乘，积的乘方的相关运算法则计算即可. 【详解】解：A：，原计算错误，不符合题意； B：，原计算错误，不符合题意； C：，原计算错误，不符合题意； D：，原计算正确，符合题意； 故选：D. 2．如果是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A．6 B． C．6或 D．3或 【答案】C 【分析】本题是完全平方公式的应用，利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值． 【详解】解：∵， ∴在中，． 故选：C． 3．对于任意的数n，下列各数中能整除的是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式及平方差公式，将原式进行正确的运算是解题的关键． 将原式利用平方差公式及完全平方公式进行运算后判断能被哪个整数整除即可． 【详解】解： ， 则原式能被5整除． 故选：C． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记平方差公式是正确解题的关键．平方差公式．完全平方和公式，完全平方差公式． 【详解】解：． 故答案为： ． 5．已知，，则 【答案】2 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 故答案为：2． 6．由，反过来可以得到．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，逆用平方差公式进行简算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 7．计算： (1)； (2)； (3) （用整式乘法公式计算）； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式运算、负整数指数幂和零指数. （1）根据有理数乘方、负整数指数幂和零指数幂的运算法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可； （3）运用平方差公式计算即可； （4）根据整式混合运算的顺序和相关法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． （4） ． 8．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查乘法公式、多项式除以单项式及化简求值，熟练掌握乘法公式及多项式除以单项式是解题的关键；因此此题先根据乘法公式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解： ； 把，代入得：原式． 9．（新考法）“数形结合”能够更加直观地理解几何图形与数量间的关系，采用不同研究方法探究问题能得到意想不到的结论．用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． 【探究发现】 （1）如图①是一个长为、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形．可以得到及三者之间的等量关系式，请根据面积关系，求出这个等量关系； 【探究应用】 利用上面所得的结论解答下列问题： （2）已知：，求的值； （3）已知：，求的值； 【探究拓广】 （4）已知直角三角形的两直角边a，b满足，求这个直角三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】题目主要考查完全平方公式与图形面积，根据题意，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据图形表示出面积即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）利用完全平方公式变形求解即可； （4）利用完全平方公式变形求解即可确定三角形面积． 【详解】解：（1）由题意可得，等量关系为． （2）由（1）可得． 因为， 所以， 所以． （3）因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． （4）因为， 所以，即， 所以直角三角形的面积． 10．通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． （1）【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是，则相邻一边长是． ①当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形的一边长是，相邻一边长是______．如图3，将长方形割补到长方形的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、、满足的等量关系是______； ②当时，类似上述过程进行割补； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______； （2）【方法迁移】 当时，仿照上述割补过程，求代数式的最大值． 【答案】（1）；；；9；（2）见解析，32 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法整理算式即可得到答案； （2）先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：如图2，长方形的一边长是，相邻一边长为， 如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形、和阴影部分组成一个边长为3的正方形， -， 当时，用类似上述过程进行割补，可以得到-， 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；；；9； （2）解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ， 当时，该长方形为边长是4的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是16， 的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$