8.3 多项式乘多项式 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

8.3 多项式乘多项式 一、多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn。 二、多项式乘多项式的几何 大长方形的面积可以表示为(a+b)(m+n)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，即am+an+bm+bn。所以(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。 三、多项式乘多项式的注意 1、相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏。 2、多项式与多项式相乘，结果仍为多项式。在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积。 3、计算结果中一定要注意合并同类项。 四、多项式乘多项式的拓展 本法则也适用于多个多项式相乘，按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，以此类推。 巩固课内例1:计算多项式乘多项式 1．下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选D 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是多项式的乘法计算，属于基础题型，明确整式的乘法以及合并同类项的计算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式的计算法则将括号去掉，然后进行合并同类项即可得出答案． 【详解】解： ． 巩固课内例2:计算多个单多项式 1．计算，所得结果的一次项系数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，直接利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可. 【详解】解： ； ∴结果的一次项系数是； 故选A 2．在 的运算结果中，项的系数是，那么a的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则计算后，根据项的系数是，进行求解即可． 【详解】 解： ； ∵运算结果中的系数是 解得：； 故答案为：10 3．计算： (1)． (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法，掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方，再根据单项式与单项式的乘法法则计算即可； （2）根据单项式与多项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 巩固课内例3:多项式乘多项式的应用 1．如图，由3个长相等、宽不等的小长方形组成一个大的长方形，用a，b，c表示大长方形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了长方形的面积公式和多项式的运算，熟练掌握多项式的运算是解题的关键． 分别求出三个小长方形的面积再相加即可得出答案． 【详解】解：由图可知大长方形的面积为三个小长方形面积之和， 大长方形面积为， 故选D． 2．图中阴影部分的面积用整式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法在图形面积种的应用，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分长方形的面积即可求解． 【详解】解：阴影部分的面积大长方形的面积空白部分长方形的面积 故答案为：． 3．一个长方形的长为2xcm，宽比长少4cm，若将长方形的长和宽都扩大3cm. （1）求扩大后长方形的面积是多少？（用含x的代数式表示） （2）若，求扩大后长方形的面积是多少？ 【答案】（1）扩大后长方形的面积是cm2；（2）21. 【分析】（1）先表示出长方形的宽，再表示出扩大后的长和宽，求面积即可；（2）将代入（1）中结果计算即可. 【详解】解：（1）= 答：扩大后长方形的面积是cm2； （2）当时，原式 【点睛】本题考查了整式乘法的实际应用，正确理解题意，表示出长方形的长和宽是解题的关键. 类型一、多项式乘多项式 1．已知的计算结果为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则将展开，然后对比，得到，的值，再代入计算即可．掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵的计算结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 2．计算： ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，根据单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：①， ②， ③， 故答案为：，，． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据积的乘方运算法则和单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 类型二、由图形列出等式 1．根据图 ①的面积可以说明的多项式乘法运算是，那么根据图 ②的面积可以说明的多项式乘法运算是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形表示出大长方形的面积为：，同时利用等面积法，用小长方形面积之和表示大长方形的面积为，即可得到答案． 【详解】大长方形的面积为：， 小长方形面积之和为：， ∵大长方形的面积小长方形面积之和， ∴ 故选：A 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，由图1可以得到，请参考由图1得到的等式，写出图2所表示的数学等式： ．    【答案】 【分析】根据正方形的两种面积得出答案即可． 【详解】解：根据正方形面积公式可以表示图2面积为，用九个图形的面积和求出图2面积为：， ∴图2所表示的数学等式为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的应用，解题的关键是用两种方法表示正方形的面积． 3．根据几何图形的面积可以说明整式的乘法，例如就可以用图的面积关系来说明． (1)根据图②可以写出的一个等式是______． (2)请你计算，并画出一个相应的几何图形加以说明． 【答案】(1) (2)，图见解析（答案不唯一） 【分析】（1）应用多项式乘法乘多项式的法则进行计算即可得出答案； （2）应用多项式乘法乘多项式的法则进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， （a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2． 故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2． （2）（x+p）（x+q）＝x2+qx +px+pq＝x2+（p+q）x+pq， 图形如下： 【点睛】本题主要考查了多项式乘法，熟练掌握多项式乘法的乘法法则进行求解是解决本题的关键． 类型一、已知多项式乘多项式的积求参 1．若则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式乘以多项式展开，比较系数解答即可． 本题考查了多项式乘以多项式，恒等式的性质，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：D． 2．若的计算结果中项的系数为2，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先利用多项式乘多项式法则计算，根据结果中项的系数为2，确定出a的值即可． 【详解】解： ， 由结果中项的系数为2，得到， 解得：． 故答案为：1． 3．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)求正确的计算结果． 【答案】(1) (2)正确的计算结果是 【分析】本题考查多项式加减法和乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键． （1）根据多项式的加减法计算法则得出代数式的值； （2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可． 【详解】（1）解：根据题意， ． （2）解： ． 类型二、不含某项 1．若式子的计算结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则计算出的结果，再根据结果中不含的一次项，即含的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解： ， ∵式子的计算结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：D． 2．若的计算结果中不含的一次项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法；首先将展开，然后根据题意得到求解即可． 【详解】解： ∵计算结果不含x的一次项 ∴ 解得． 故答案为：． 3．若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 先利用多项式乘多项式法则计算，根据展开式中没有二次项和常数项为10得到关于、的方程，求解即可． 【详解】解： ． 乘积展开式中没有二次项，且常数项为10， ，， ，， ． 类型三、等式恒成立 1．若等式对任意实数都成立，那么的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解一元一次方程，先按照多项式乘以多项式计算，然后根据已知条件得出，，解一元一次方程即可求出m，n的值． 【详解】解： ， ∵ ，等式对任意实数都成立， ∴，， 解得：，， 故选：B． 2．若对任意的x恒成立，则n的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，利用多项式乘法去括号，得出关于m的关系式进而求出m的值，进一步求出n的值． 【详解】解：∵ 而 ∴ ∴， ∴ 故答案为：1． 3．根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． 【答案】任务一：，，，；任务二：，；任务三： 【分析】此题考查多项式相乘，解题关键在于利用长方形面积进行证明． （1）直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式； （2）画一个长为、宽为的长方形即可求解； （3）由（2）的结论可求解． 【详解】任务1： 任务2：由图可知： 任务3：由任务2可知：， 又∵， ∴，， 又∵m，p，q均为整数，， ∴或，或， 综上所述：． 类型四、化简求值 1．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 2．已知，，那么的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解： ， ，， 原式， 故答案为：9． 3．化简求值：当，时，代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，化简求值，先计算多项式的乘法，再合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 类型一、与幂的运算结合 1．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（   ） （1）        （2） （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的乘除运算法则进行判断即可． 【详解】解：，正确； ，正确； ，错误； ，错误； 故选B． 2．若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 原式． 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方，再合并同类项即可得解； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、新定义运算 1．定义，例如．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，多项式乘多项式，根据定义将变形为，再按照多项式乘多项式运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选D． 2．定义：，例如：，则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式．根据新定义代入计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ． 故答案为： 3．定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据定义运算的规定，得到关于x的方程，求解即可； （2）先根据定于运算的规定得到整式，计算并化简整式，根据值与x无关确定m、n的值，再计算nm． 【详解】（1）解：（1）（x+1）2﹣（x﹣1）2＝4， ∴4x＝4， ∴x＝1． （2）（x+m）（2x+1）﹣（nx﹣1）（x﹣1） ＝2x2+x+2mx+m﹣（nx2﹣x﹣nx+1） ＝2x2+x+2mx+m﹣nx2+x+nx﹣1 ＝（2﹣n）x2+（2m+n+2）x+m﹣1 ∵的值与x无关， ∴2﹣n＝0，2m+n+2＝0， ∴n＝2，m＝﹣2， ∴nm＝2﹣2． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，理解定义运算的规定，掌握乘法的完全平方公式和多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 类型三、规律问题 1．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再用第2项乘得到，将第2项加上得到第3项，再用第3项乘得到，……，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列3个结论： ①； ②第4项是； ③若第2023项的值为0，则． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，先求出第1项为，，第2项为，， 第3项为，，第4项为，再根据规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：第1项为，， 第2项为，，故①正确； 第3项为，， 第4项为，故②正确； 若第2023项的值为0，则， ∴， ∴，即，故③正确； 综上所述，以上结论正确的有①②③，共个， 故选：D． 2．观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式乘法的规律探索，熟练利用题中等式得出规律是解题的关键．利用规律得出，求出，再代入求解即可． 【详解】解：根据规律可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以从简单的情形入手． ； ； ； … (1)由此我们可以得到__________； (2)请你利用上面的结论计算； (3)请你求出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了多项式乘多项式和数字的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据题干信息及规律进行计算即可； （2）把原式化为，再计算即可； （3）把原式化为，再计算即可； 【详解】（1）解：由此我们可以得到：；． （2）解： ； （3）解：    ； 类型四、图形问题 1．如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为a，b的长方形纸片一张，其中．把三张纸片按图2所示的方式放入另一张边长头的正方形纸片内，已知图2中阴影部分的面积满足，则a，b满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式运算在图形面积中的应用，由图形得，，即可求解；能根据图形表示出，是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， 整理得：； 故选：B． 2．如图，在大长方形中放入三个正方形，，，边长分别为4，3，2．若3个阴影部分的面积满足，则大长方形的面积为 . 【答案】23 【分析】本题考查多边形的乘法与图形的面积．设，，用含，的式子表示，，，根据列方程，即可解得答案． 【详解】解：设，， 三个正方形，，的边长分别为4，3，2， ，，， ，，， ， ， 化简整理得：， ，即大长方形的面积为23， 故答案为：23． 3．如图1，在长方形中放入边长分别为和的两张正方形纸片，，阴影部分面积分别记为． (1)如图2，当长方形为正方形时，， ①___________，___________，___________（用含，，的式子分别表示）；②若，试证明：； (2)如图3，若，且，试探究长方形的周长和正方形的周长之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①      ②见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查代数式和等式的基本性质： （1）①根据，，，即可求得答案；②根据题意可得，化简即可求得答案； （2）设，，可得，化简可得，进而可求得答案． 【详解】（1）①． ． ． 故答案为：     ②． ． 根据题意，得 （2），理由如下： 设，，则，． 根据题意，得 化简，得 因为，可得 根据题意，得 ，，， 则 ， 则 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用整式的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，多项式乘多项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 2．小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用图形法进行因式分解，解题的关键是数形结合，用两种方法表示大长方形的面积． 用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为， 另外大长方形可以看作一般长为宽为的长方形组成， ∴大长方形的面积为， ∴可以得到一个因式分解的等式为，故D正确． 故选：D． 3．杨辉三角揭示了二项式乘方展开式的系数规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如图所示： 1 1   1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4   1 1   5  10   10  5   1 … 此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过天是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期日 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探究．发现，再利用杨辉三角求解． 【详解】解：∵ ， ∴除以7，余数为1， ∴再过天是星期二， 故选：B． 4．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法，熟练掌握多项式乘法法则是解题的关键．先利用多项式乘法法则计算，再利用待定系数法即可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 5．如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据即可求解 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 6．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和）和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是6的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是36， 的最大值为． 故答案为： 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键． （1）运用多项式乘以多项式的法则解题即可； （2）运用多项式乘以多项式的法则解题即可． 【详解】（1） ； （2） ． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．先根据单项式乘多项式，完全平方公式进行计算，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 9．设是一个十位数字为1的两位数，据一份资料介绍可以按下面的步骤用心算来计算． 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 这就是要求的计算结果，即得． 用这样的方法，就可用心算很快算出从11到19这九个两位数中任意两个两位数的乘积． (1)请用上述的方法步骤计算：； (2)请用整式的乘法法则来说明的速算原理； (3)若，请用所学的知识探究（其中，，为正整数）的计算规律． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了数字的变化类，掌握多项式乘多项式的运算法则和理解题中的方法是解题的关键． （1）根据题中的方法求解； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则求解； （3）根据多项式乘以多项式的运算法则求解． 【详解】（1）解：第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：， ． （2）解：是一个十位数字为1的两位数， ， ． （3）解：，，， ． 10．我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 【答案】(1)8，7，128 (2)①357；②；③4051 【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可． （2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解； ②将已知式子裂项为，即可求解； ③根据进行计算即可求解． 【详解】（1）根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， 第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为 第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、 各项的系数和为 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有项，第二项的系数为，各项系数和为128； 故答案为：8，7，128． （2）①由题意得：、、 ∴ ∴ ②由题意得：、、 ∴ ∴ ③ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.3 多项式乘多项式 一、多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用字母表示为(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn。 二、多项式乘多项式的几何 大长方形的面积可以表示为(a+b)(m+n)，也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，即am+an+bm+bn。所以(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。 三、多项式乘多项式的注意 1、相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏。 2、多项式与多项式相乘，结果仍为多项式。在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积。 3、计算结果中一定要注意合并同类项。 四、多项式乘多项式的拓展 本法则也适用于多个多项式相乘，按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，以此类推。 巩固课内例1:计算多项式乘多项式 1．下列各式中，计算结果等于的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 巩固课内例2:计算多个单多项式 1．计算，所得结果的一次项系数是（    ） A． B． C．1 D．2 2．在 的运算结果中，项的系数是，那么a的值是 ． 3．计算： (1)． (2) (3)． 巩固课内例3:多项式乘多项式的应用 1．如图，由3个长相等、宽不等的小长方形组成一个大的长方形，用a，b，c表示大长方形面积为（    ） A． B． C． D． 2．图中阴影部分的面积用整式表示为 ． 3．一个长方形的长为2xcm，宽比长少4cm，若将长方形的长和宽都扩大3cm. （1）求扩大后长方形的面积是多少？（用含x的代数式表示） （2）若，求扩大后长方形的面积是多少？ 类型一、多项式乘多项式 1．已知的计算结果为，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．计算： ， ， ． 3．计算： (1) (2) 类型二、由图形列出等式 1．根据图 ①的面积可以说明的多项式乘法运算是，那么根据图 ②的面积可以说明的多项式乘法运算是（    ） A． B． C． D． 2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如，由图1可以得到，请参考由图1得到的等式，写出图2所表示的数学等式： ．    3．根据几何图形的面积可以说明整式的乘法，例如就可以用图的面积关系来说明． (1)根据图②可以写出的一个等式是______． (2)请你计算，并画出一个相应的几何图形加以说明． 类型一、已知多项式乘多项式的积求参 1．若则（   ） A． B． C． D． 2．若的计算结果中项的系数为2，则a的值为 ． 3．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)求正确的计算结果． 类型二、不含某项 1．若式子的计算结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．0 B．3 C． D． 2．若的计算结果中不含的一次项，则的值是 ． 3．若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求的值． 类型三、等式恒成立 1．若等式对任意实数都成立，那么的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．若对任意的x恒成立，则n的值是 ． 3．根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． 类型四、化简求值 1．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．已知，，那么的值为 ． 3．化简求值：当，时，代数式的值． 类型一、与幂的运算结合 1．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（   ） （1）        （2） （3）    （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若，则的值为 ． 3．计算： (1) (2) 类型二、新定义运算 1．定义，例如．则（    ） A． B． C． D． 2．定义：，例如：，则的结果为 ． 3．定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 类型三、规律问题 1．有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再用第2项乘得到，将第2项加上得到第3项，再用第3项乘得到，……，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列3个结论： ①； ②第4项是； ③若第2023项的值为0，则． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为 ． 3．你能求出的值吗？遇到这样的问题，我们可以从简单的情形入手． ； ； ； … (1)由此我们可以得到__________； (2)请你利用上面的结论计算； (3)请你求出的值． 类型四、图形问题 1．如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为a，b的长方形纸片一张，其中．把三张纸片按图2所示的方式放入另一张边长头的正方形纸片内，已知图2中阴影部分的面积满足，则a，b满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在大长方形中放入三个正方形，，，边长分别为4，3，2．若3个阴影部分的面积满足，则大长方形的面积为 . 3．如图1，在长方形中放入边长分别为和的两张正方形纸片，，阴影部分面积分别记为． (1)如图2，当长方形为正方形时，， ①___________，___________，___________（用含，，的式子分别表示）；②若，试证明：； (2)如图3，若，且，试探究长方形的周长和正方形的周长之间的数量关系，并说明理由． 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（    ） A． B． C． D． 3．杨辉三角揭示了二项式乘方展开式的系数规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如图所示： 1 1   1 1   2   1 1   3   3   1 1   4   6   4   1 1   5  10   10  5   1 … 此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过天是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期日 4．若，则的值为 ． 5．如果，则的值为 ． 6．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形（边长为2和）和长方形，并拼成图2．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为 ． 7．计算： (1)； (2)． 8．先化简，再求值：，其中． 9．设是一个十位数字为1的两位数，据一份资料介绍可以按下面的步骤用心算来计算． 第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：． 这就是要求的计算结果，即得． 用这样的方法，就可用心算很快算出从11到19这九个两位数中任意两个两位数的乘积． (1)请用上述的方法步骤计算：； (2)请用整式的乘法法则来说明的速算原理； (3)若，请用所学的知识探究（其中，，为正整数）的计算规律． 10．我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； (2)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$