8.2 单项式乘多项式 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

8.2 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式乘单项式。 具体步骤为：先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用字母表示为：m(a+b+c)=ma+mb+mc。单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。 注意： 一、单项式乘多项式的每一项时，要包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号，容易出现符号错误。 二、对于混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项的，必须合并同类项从而得到最简结果。 三、运用乘法分配律计算单项式乘多项式时不要漏乘项，特别是常数项。 巩固课内例1:计算单项式乘多项式 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式法则，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．要熟记单项式与多项式的每一项都相乘，不要漏项． 根据单项式乘以多项式法则，对各选项计算后利用排除法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 2．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．利用单项式乘以多项式的每一项，再把积相加即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的运算法则∶是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算法则解答即可． 【详解】解： 巩固课内例2:单项式乘多项式的应用 1．观察图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积可以说明下列哪个等式成立（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间面积的数量进行求解． 用不同的方法表示长方形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵长方形面积=三个小长方形面积的和， ∴， 故选：A． 2．一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用单项式乘多项式的运算法则． 根据长方形的面积为长宽，即可求解． 【详解】解：长方形的面积 故答案为：． 3．如图，一长方形地块用来建造住宅、广场、商厦． (1)这块地的长为_______． (2)求这块地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中的图形可得这块长方形地块的长为，然后计算即可； （2）根据（1）可得长方形的长，再根据题目中的图形可得长方形的宽，然后代入面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知： 这块地的长为：． 故答案为：． （2）由图可知：这块地的宽为， 由（1）可得这块的长为， ∴这块地的面积为：． ∴这块地的面积为． 【点睛】本题考查列代数式，多项式的加法，单项式与多项式的乘法．解题的关键是正确列出代数式并准确计算． 类型一、单项式乘多项式 1．的计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式运算法则，准确计算． 【详解】解： ， 故选：B． 2．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘多项式 利用单项式乘多项式去括号即可． 【详解】 故答案为：． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）利用合并同类项法则计算即可； （2）先去括号，利用单项式乘多项式展开，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） ． 类型二、单项式乘多项式中的算错问题 1．如图，美美不小心在课后作业的第1题滴了一点墨水，留下一道残缺不全的题目，则被墨水覆盖的部分为（    ） 课后作业 1．计算：． 2．…… A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握整式的乘法是解题的关键．根据乘法和除法互为逆运算可知：被除式=商×除式，由此可求出被覆盖的部分． 【详解】解：被覆盖部分为， 故选：B． 2．小明在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，，从而可求解得． 本题主要考查了整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：由题意可得：， 解得， 故答案为：． 3．小马虎在计算多项式乘以－2xy2时将符号抄错，算成加上－2xy2，得到的答案是2x2y－5xy2－xy＋1.请帮助小马虎算出正确的结果． 【答案】－4x3y3＋6x2y4＋x2y3－2xy2 【分析】根据题意利用(2x2y－5xy2－xy＋1)减去(－2xy2)求得原来的多项式，再利用单项式乘以多项式的运算法则计算即可求解. 【详解】解：(2x2y－5xy2－xy＋1)－(－2xy2)＝2x2y－3xy2－xy＋1， (2x2y－3xy2－xy＋1)·(－2xy2)＝－4x3y3＋6x2y4＋x2y3－2xy2 【点睛】本题考查了整数运算的应用，熟练运用整式的运算法则是解决问题的关键. 类型一、已知单项式乘多项式的积求参 1．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：． 2．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用单项式乘以多项式去括号后即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．已知，求，的值． 【答案】a=2，b=1 【分析】根据整式的乘法展开，分别得到a，b的关系式，故可求解． 【详解】∵ ∴5a=10，-3a=-6，ab=2 ∴a=2，b=1． 【点睛】此题主要考查整式运算的应用，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则． 类型二、单项式乘多项式的实际应用 1．如图，正方形的边长为4，点在边上．四边形也为正方形，设的面积为，则（    ） A． B． C． D．与长度有关 【答案】B 【分析】此题考查了整式的混合运算，阴影部分面积正方形面积正方形面积三角形面积三角形面积三角形面积， 据此求解即可 ． 【详解】解： 设正方形的边长为， 根据题意得： 故选：B． 2．如图， 已知正方形的边长为a， 长方形的边长为， 边长为b． 则以D为圆心，为半径的弧与所围成的阴影部分的面积是 ．（用含有a、b和的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，阴影部分的面积等于一个扇形面积加上的面积加上正方形的面积再减去的面积，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 3．我国在西昌卫星发射中心成功将“天通一号”发射升空，某校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型截面图：下面为等腰梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)请用含a，b的式子表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 【答案】(1) (2)这个截面的面积为 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，单项式乘以单项式运算的应用，解题的关键是正确列出算式． （1）根据梯形、长方形和三角形的面积公式列式计算即可； （2）直接把，代入（1）中结果进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时，． 答：这个截面的面积为． 类型三、不含某项 1．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴， ∴， 故选：C． 2．要使中不含有的四次项，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式的混合运算．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有的四次项，可得，即可求解． 【详解】解： ， ∵中不含有的四次项， ∴， ∴． 故答案为：2 3．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 类型四、等式恒成立 1．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵，当x为任意数时该等式都成立， ∴， ∴ 故选：B 2．若恒成立，则 ． 【答案】0 【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得： ∵等式左边， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键． 3．若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 类型一、与幂的运算结合 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C．      D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂乘除法，积与幂的乘方 ．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则判定A；根据同底数幂乘除法法则计算并判定B；根据积与幂的乘方法则计算，再运用单项式乘以单项式法则计算并判定C；根据同底数幂乘法法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、 ，故此选项符合题意． 故选：D． 2．若数x满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的求值问题，利用已知代数式将所求代数式逐步降次是解题的关键．由可得，利用将代数式逐步降次，然后去括号再合并同类项即可解答． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 3．化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行单项式乘以多项式运算，再合并同类项完成化简，然后将，代入求值即可． 【详解】解：原式， 当，时， 原式． 类型二、新定义运算 1．若定义，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的新定义运算．根据新定义运算直接计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：D． 2．现定义运算“”，对于任意有理数，都有，例如：，由此可知 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，理解和运用新定义是解本题的关键． 利用题中的新定义对进行化简计算即可解答． 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 3．对于有理数，规定新运算，例如，因为，所以． (1)计算：①_____；②_____；③若，则_____；（直接写出结果）； (2)若，且，求的值； (3)记，，判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②；③ (2)； (3)，理由见解析； 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解一元一次方程，整式的运算，能根据新运算展开是解本题的关键． （1）①根据新运算的规则展开，再求出即可；②根据新运算的规则展开，再求出即可；③分和两种情形列一元一次方程求解即可； （2）由，，且，得代入即可得解； （3）先根据新运算的规则展开，再求出，，最后用差值法比较和的大小． 【详解】（1）①∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：． ③当即时，， 解得； 当即时，， 解得（不符合题意，舍去）， 故答案为：； （2）∵，，且， ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型三、规律问题 1．如图中的图案是由大小相同的棋子组成的，第1个图案中有6个棋子，第2个图案中有10个棋子，第3个图案中有16个棋子…，依此规律，第n个图案中棋子的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，整式的乘法，解题的关键是先计算出前几个图形的小圆的个数，找到规律． 观察图形的变化先计算出前几个图形的小圆的个数，进而可得第n个图形的小圆个数． 【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图形有6个小圆，即， 第2个图形有10个小圆，即， 第3个图形有16个小圆，即， ⋯ 依此规律，第n个图形的小圆个数是： ， 故选：C． 2．下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为 ．    【答案】 【分析】根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是上面的构成规则的矩形，另一部分是构成下面的近似金字塔的形状，然后根据递增关系即可得到答案． 【详解】第①个图形中星星的颗数； 第②个图形中星星的颗数； 第③个图形中星星的颗数； 第④个图形中星星的颗数； …… ∴第n个图形中星星的颗数 ∴当时，， ∴第⑨个图形中的星星颗数为颗， 故答案为： 【点睛】本题考查了图形变化规律，正确地得到每个图形中小星星的数字变化情况是解题的关键． 3．探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：，，， (1)设a为整数，且，请用含a的等式写出一般的规律______； (2)小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：，，，； ①观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十位上的数字______，个位上的数字的和等于______； ②根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______（其中m，n为小于10的正整数）．则以上两位数相乘的规律是______（用含m、n的等式表示）； ③利用发现的规律计算：______； ④请用所学知识证明②中规律的正确性． 【答案】(1) (2)①相同，10；②，；③4221；④证明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，即可发现规律； （2）①根据题目给出的等式，即可发现规律； ②根据题目给出的等式，即可发现规律； ③运用②中的规律得出计算结果即可； ④运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：设为整数，且， ， 故答案为：； （2）解：①观察等式：，，，； 发现：两位数的十位上的数字相同，个位上的数字的和等于10； 故答案为：相同，10； ②根据①发现的规律，设一个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则另一个两位数的个位上的数字为，（其中，为小于10的正整数）． 则以上两位数相乘的规律是； 故答案为：，； ③， 故答案为：4221； ④ ， 故． 类型四、图形问题 1．在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，理解题意并用代数式表示出面积是解题的关键．根据题意设，则，根据面积公式分别用含、、的式子表示出和即可得到的值． 【详解】解： 设，则， 故选：B． 2．将7张如图①所示的小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的宽为，长为，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】可设长方形ABCD的长为m，分别求出S1，S2，再代入S2-S1计算即可求解． 【详解】解：设长方形ABCD的长为m，则 S2-S1=（m-3a）×4a-（m-4a）×4a=4ma-12a2-4am+16a2×=4a2． 故答案为：4a2． 【点睛】本题考查了列代数式和整式的运算，关键是熟练掌握长方形的面积公式，准确的进行整式计算． 3．学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得： ； （2）解：设，则 的值与x无关， ． 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据整式的相关运算法则进行逐项判断即可． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并计算，故选项计算错误，不符合题意； 、，故选项计算错误，不符合题意； 、，故选项计算错误，不符合题意； 、，故选项计算正确，符合题意． 故选：D． 2．在数学课上学习了单项式乘多项式后，小明回家拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了多项式除单项式，可以先转化为多项式乘以单项式，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，单形式乘以多项式；由新定义得，进行单形式乘以多项式运算，即可求解；理解新定义，正确进行单形式乘以多项式运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 原式 ， 故选：D． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多单项式乘多项式，由单项式与多项式相乘的运算法则即可计算． 【详解】解：， 故答案为：． 5．已知：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的乘法以及代数式求值，根据已知得出，，整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即 ∴ 故答案为：． 6．如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了数字类规律探索、单项式乘多项式的应用，正确发现一般规律是解题关键．先根据已知等式找出规律，再设等式左边三个数分别为，则，，据此求出的值即可得． 【详解】解：由第1个等式可知，，，， 由第2个等式可知，，，， 由第3个等式可知，，，， 由第4个等式可知，，，， 设等式左边三个数分别为， 则，， 所以被隐藏的两位数是， 故答案为：70． 7．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是单项式乘以多项式，同底数幂的除法运算，积的乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）利用单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可； （2）先计算同底数幂的除法，再计算积的乘方即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算单项式乘多项式，再合并同类项，然后将代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 9．如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项： （）根据进行计算即可； （）把代入求值即可． 【详解】（1） ； （2）解：当时， ． 10．问题提出：在平面上，给出个圆把平面至多分割成多少个区域？ 问题探究： 为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题． 探究一：1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽量多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分；3条直线时，如图1，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了个区域，所以3条直线至多将平面分成个区域；4条直线时，如图2，要使分成的区域尽量多，就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了个区域，所以4条直线至多将平面分成个区域；5条直线时，如图3，要使分成的区域尽量多，就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到4个交点，这4个交点将第5条直线分为了2条射线和条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了个区域，所以5条直线至多将平面分成个区域；由此可推断6条直线可以将平面至多分成 个区域；依此类推 条直线可以将平面至多分成 个区域． 探究二：1个圆可以将平面分成2个区域；2个圆时，要使分成的区域尽量多，2个圆相交将平面分成4个区域；3个圆时，要使分成的区域尽量多，第3个圆与前2个圆都相交被分成了条弧，将平面至多分成了个区域；4个圆时，要使分成的区域尽量多，第4个圆与前3个圆都相交被分成了条弧，将平面至多分成了个区域；以此类推5个圆可以将平面分成　　　个区域． 问题解决：个圆至多可以将平面分成 个区域． 问题拓展：仿照前面的过程，个三角形至多可以将平面分成 个区域． 【答案】探究一：22； ；探究二：22；问题解决：()；问题拓展：() 【分析】探究一：从简单到复杂，寻找出规律得出结论，最后求和即可得出结论； 探究二： 从简单到复杂推导出规律即可得出； 问题解决：根据“探究二”得到的规律即可得到结论； 问题拓展：仿照前面的过程，寻找出规律即可得到结论． 【详解】解：探究一：根据题意： 1条直线，将平面分成了个区域； 2条直线，将平面分成了个区域； 3条直线，将平面分成了个区域； 4条直线，将平面分成了个区域； 5条直线，将平面分成了个区域； 6条直线，将平面分成了个区域； ； n条直线，将平面分成了个区域； 故答案为：22，； 探究二：根据题意： 1个圆，分成了个区域； 2个圆，分成了个区域； 3个圆，分成了个区域； 4个圆，分成了个区域； 5个圆，分成了个区域； 故答案为：22； 问题解决：n个圆，分成了个区域； 故答案为：()； 问题拓展： 设n个三角形最多将平面分为个区域， 时，； 时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形有个交点，个交点将第二个三角形的边分成了6段，这6段的每一段都将原来的每1个区域分成了2个区域，从而增加了6个区域， 即； 时，第三个三角形与前面两个三角形最多有个交点，从而增加了12个区域， 即； 一般地，第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有个交点，从而增加了个区域， 故 ， 故答案为：()． 【点睛】本题主要考查了规律的寻找，连续n个正整数的和的公式，解本题的关键是审清题意，找出变化规律，是一道中等难度的题目． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，实质上是利用乘法分配律将其转化为单项式乘单项式。 具体步骤为：先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。用字母表示为：m(a+b+c)=ma+mb+mc。单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。 注意： 一、单项式乘多项式的每一项时，要包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号，容易出现符号错误。 二、对于混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项的，必须合并同类项从而得到最简结果。 三、运用乘法分配律计算单项式乘多项式时不要漏乘项，特别是常数项。 巩固课内例1:计算单项式乘多项式 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果为 ． 3．计算：． 巩固课内例2:单项式乘多项式的应用 1．观察图，有一边为m的三个长方形拼在一起，用不同的方法表示整个图形的面积可以说明下列哪个等式成立（   ） A． B． C． D． 2．一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ． 3．如图，一长方形地块用来建造住宅、广场、商厦． (1)这块地的长为_______． (2)求这块地的面积． 类型一、单项式乘多项式 1．的计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是 ． 3．化简： (1)； (2)． 类型二、单项式乘多项式中的算错问题 1．如图，美美不小心在课后作业的第1题滴了一点墨水，留下一道残缺不全的题目，则被墨水覆盖的部分为（    ） 课后作业 1．计算：． 2．…… A． B． C． D． 2．小明在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是 ． 3．小马虎在计算多项式乘以－2xy2时将符号抄错，算成加上－2xy2，得到的答案是2x2y－5xy2－xy＋1.请帮助小马虎算出正确的结果． 类型一、已知单项式乘多项式的积求参 1．若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．若，则的值为 ． 3．已知，求，的值． 类型二、单项式乘多项式的实际应用 1．如图，正方形的边长为4，点在边上．四边形也为正方形，设的面积为，则（    ） A． B． C． D．与长度有关 2．如图， 已知正方形的边长为a， 长方形的边长为， 边长为b． 则以D为圆心，为半径的弧与所围成的阴影部分的面积是 ．（用含有a、b和的代数式表示） 3．我国在西昌卫星发射中心成功将“天通一号”发射升空，某校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型截面图：下面为等腰梯形，中间是长方形，上面是三角形． (1)请用含a，b的式子表示该截面的面积； (2)当，时，求这个截面的面积． 类型三、不含某项 1．要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 2．要使中不含有的四次项，则 ． 3．已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 类型四、等式恒成立 1．已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（   ） A．17 B． C． D．-17 2．若恒成立，则 ． 3．若恒成立，求的值． 类型一、与幂的运算结合 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C．      D． 2．若数x满足，则 ． 3．化简求值：，其中，． 类型二、新定义运算 1．若定义，则（　　） A． B． C． D． 2．现定义运算“”，对于任意有理数，都有，例如：，由此可知 ． 3．对于有理数，规定新运算，例如，因为，所以． (1)计算：①_____；②_____；③若，则_____；（直接写出结果）； (2)若，且，求的值； (3)记，，判断和的大小关系，并说明理由． 类型三、规律问题 1．如图中的图案是由大小相同的棋子组成的，第1个图案中有6个棋子，第2个图案中有10个棋子，第3个图案中有16个棋子…，依此规律，第n个图案中棋子的个数为（    ） A． B． C． D． 2．下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为 ．    3．探究与发现：我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：，，， (1)设a为整数，且，请用含a的等式写出一般的规律______； (2)小戴同学通过计算下列两位数的乘积，发现结果也存在一定的规律，请你补充小戴同学的探究过程：，，，； ①观察相乘的两位数，可以发现，两位数的十位上的数字______，个位上的数字的和等于______； ②根据发现，若设一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为______（其中m，n为小于10的正整数）．则以上两位数相乘的规律是______（用含m、n的等式表示）； ③利用发现的规律计算：______； ④请用所学知识证明②中规律的正确性． 类型四、图形问题 1．在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 2．将7张如图①所示的小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，．已知小长方形纸片的宽为，长为，则 （结果用含的代数式表示）． 3．学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在数学课上学习了单项式乘多项式后，小明回家拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（　　） A． B． C． D． 3．定义：三角表示，表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．已知：，则的值为 ． 6．如图，某校园的学子餐厅密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络．若他输入的密码是2842■，最后两被隐藏了，那么被隐藏的两位数是 ． 7．计算： (1)； (2) 8．先化简，再求值：，其中． 9．如图，边长分别为的两个正方形并排放置， (1)求出图中阴影部分的面积（用含的式子表示）； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 10．问题提出：在平面上，给出个圆把平面至多分割成多少个区域？ 问题探究： 为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题． 探究一：1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽量多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分；3条直线时，如图1，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了个区域，所以3条直线至多将平面分成个区域；4条直线时，如图2，要使分成的区域尽量多，就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了个区域，所以4条直线至多将平面分成个区域；5条直线时，如图3，要使分成的区域尽量多，就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到4个交点，这4个交点将第5条直线分为了2条射线和条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了个区域，所以5条直线至多将平面分成个区域；由此可推断6条直线可以将平面至多分成 个区域；依此类推 条直线可以将平面至多分成 个区域． 探究二：1个圆可以将平面分成2个区域；2个圆时，要使分成的区域尽量多，2个圆相交将平面分成4个区域；3个圆时，要使分成的区域尽量多，第3个圆与前2个圆都相交被分成了条弧，将平面至多分成了个区域；4个圆时，要使分成的区域尽量多，第4个圆与前3个圆都相交被分成了条弧，将平面至多分成了个区域；以此类推5个圆可以将平面分成　　　个区域． 问题解决：个圆至多可以将平面分成 个区域． 问题拓展：仿照前面的过程，个三角形至多可以将平面分成 个区域． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$