精品解析：福建省泉州市第五中学2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 （本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． （第Ⅰ卷 选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．在答题卡的相应位置内填涂） 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 已知实数、满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：． 3. 从6男和4女的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率；解题的关键是熟练掌握概率公式．根据概率公式求解即可． 【详解】解：从6男和4女的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为女生的概率为：， 故选：C． 4. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 5. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高，则坡面的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，利用坡比求出的长度，再根据勾股定理即可求解，掌握坡比的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，坡比， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点、点分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两个图形的位似知识．位似中心为点，位似比是，则点的两个坐标分别乘，即得的坐标． 【详解】解：∵两个汽球恰好是位似图形，且原点O为位似中心，其位似比为，点， ∴. 故选：C． 7. 下面是一元二次方程的解答过程： ， ， ， 或． 上述解法用到的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 因式分解法 C. 公式法 D. 配方法 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查运用配方法解一元二次方程，根据解题过程可判断出解题方法． 【详解】解：由解题过程可以看出是先将常数项移到等号右边，再加上一次项系数一半的平方， 符合用配方法解一元二次方程， 故选：D． 8. 智能汽车销售火爆．某店月份销售台，月、月份共销售台．设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据故意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 9. 一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，一元二次方程根的判别式，由一次函数的图象可得，，即得，进而可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴，， ∴， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 10. 已知二次函数的图象交轴于，顶点为．将该图象平移，点、点分别平移至点、点，连接，且轴．若点落在轴的正半轴上，且平移后的二次函数的图象仍然经过点，则线段的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，先求出的坐标，根据轴，得到点的纵坐标为，进而推出点的纵坐标为：，根据点在轴的正半轴上，求出的值，得到抛物线向下平移了3个单位，设抛物线向右平移了个单位，得到，根据平移后的抛物线仍过点，求出的值，进而求出点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， 当时，， ∴，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∴点沿着轴向上平移了个单位， ∴点也沿着轴向上平移了个单位，即：点的纵坐标为：， ∵点在轴的正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点沿着轴向下平移了3个单位，即抛物线向下平移了3个单位， ∵点在轴的正半轴上， ∴设抛物线向右平移了个单位，则：新的抛物线的解析式为：， ∵平移后的抛物线仍然过点， ∴，解得：或（舍去）， ∴抛物线向右平移了个单位， ∴点平移后的坐标为：，即：， ∴； 故选D． （第Ⅱ卷 非选择题共110分） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卡的相应位置作答） 11. 二次函数图象的开口方向是______（填写“向上”或“向下”）． 【答案】向上 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向． 【详解】解：二次函数中， ∴二次函数图象的开口向上， 故答案为：向上． 12. 计算的结果是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】二次根式相乘，把被开方数相乘，然后化简即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，二次根式化简，掌握二次根式的乘法运算法则，二次根式化简方法是解题关键． 13. 若和是关于的一元二次方程的两实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，由根与系数的关系可得． 【详解】解：∵和是关于的一元二次方程的两实数根， ∴． 故答案为：． 14. 如图，已知，交于，，，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，则代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：9． 15. 如图，中，，，，为的中点．若与相交，则的半径的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理得，找出两个临界状态，即当与相切，求出此时的半径，以及当经过点时，求出此时的半径，即可求出与相交时对应的半径的取值范围． 【详解】解：当与相切，记切点，连接，则， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴此时半径为3； 当经过点B时，则为直径， ∵， ∴点在上，如图： 此时半径为5， ∴若与相交，则的半径的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 16. 如图，在中，对角线，，点是边上一个动点，是延长线上一点，，连接、交于点．当点从点运动到点时，点的运动路径长为______．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，由平行四边形的性质可得，，，可得，进而得到垂直平分，又由可得，得到垂直平分线，可得点一定在直线上，点从点运动到点时，点的运动轨迹为线段，利用三角函数求出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于，如图，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴垂直平分线， ∴点一定在直线上， 如图，当点从点运动到点时，点的运动轨迹为线段， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，由题意得到点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的二次根式的加减运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 先代入特殊角的三角函数值，化简二次根式和化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 利用求根公式进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 19. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同． （1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； （2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 【答案】（1） （2） 补全表格如下： 【解析】 【分析】（1）先分别求解三个代数式当时的值，再利用概率公式计算即可； （2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：当时， ，，， ∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：； 【小问2详解】 解：∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种， ∴和为单项式的概率为． 【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握基础知识是解本题的关键． 20. 如图，在老师的指导下，同学们在劳动实践基地，一边靠墙另三边用栅栏围成一块矩形实验菜园．墙长为42m，栅栏总长为80m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形田菜园与墙垂直的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． （1）直接写出实验田的面积（用含的代数式表示）； （2）矩形菜园的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； 【答案】（1） （2）能达到， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （）设与墙平行的一边长为，根据，得到，根据矩形面积公式即可求解； （）先求出的取值范围，再将代入中，求出的值即可判断求解． 【小问1详解】 解：设与墙平行的一边长为 ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：能达到． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 即 ， 解得（不合，舍去），（符合题意）， ∴当时，矩形实验田的面积能达到． 21. 开元寺是福建省内规模最大的佛教寺院，东西塔是寺院内游客打卡必选之地，图①是西塔．元旦小明同学随父母到开元寺游玩，他操作无人机在空中处探测到西塔．此时无人机飞行高度米，如图②．从无人机上看塔尖的俯角，看塔底的俯角，求西塔的高度（结果保留根号）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先解得到米，再解，米，即可求解． 【详解】解：延长交于点G，由题意得米，， 在中，， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， 答：西塔的高度为米． 22. 已知实数、、，且． （1）若、、分别是关于的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由公式法解得方程的根为，求证：； （2）若，，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵、、分别是关于的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项， 而一元的根为， 又∵， ∴，或 ∴，，（舍）或，，， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，求根公式，正确理解题意是解题的关键． （1）由求根公式得到，与根对应相等得到，或，即可求解； （2）可得，将其代入，得到，将该方程看成关于的一元二次方程，那么方程有解，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴， 整理得，， 将其看成关于的一元二次方程，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为2． 23. 如图，BD是矩形ABCD的对角线． （1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 【答案】（1） 解：如图所示，⊙A即为所求作： （2） 【解析】 【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形； （2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，作出图形如下： 设，⊙A的半径为r， ∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又， ∴四边形AEFG是正方形， ∴， 在Rt△AEB和Rt△DAB中，，， ∴， 在Rt△ABE中，， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，AB＝CD， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ADE中，，即， ∴，即， ∵， ∴，即tan∠ADB的值为． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键． 24. 已知函数的图象如图所示，部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表所示： （1）填空：______，______，______； （2）若关于的一元二次方程（为常数）在时无解，求的取值范围； （3）若和是函数图象上的两个不同点．在对、两点之间的这部分函数图象分析发现：当图象对应的函数最大值与最小值都不随变化而变化．请直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由（）得抛物线解析式为，由一元二次方程（为常数）在时无解，可得直线在时与抛物线无交点，据此解答即可求解； （）由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，把代入一次函数解析式得，把代入二次函数解析式得，，可得、两点之间的这部分函数图象的最大值始终为，最小值始终为，进而列不等式组即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数和一次函数的最值问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， 把、代入得， ， 解得， 即，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵一元二次方程（为常数）在时无解， 即方程在时无解， ∴直线在时与抛物线无交点， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，直线与抛物线无交点； 当时，， 可知时，直线在与抛物线无交点； 综上，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为， 把代入得，， 把代入得，， 解得，， ∵和是函数图象上的两个不同点．在、两点之间的这部分函数图象的最大值与最小值都不随变化而变化． ∴， ∴ 25. 如图，已知在四边形中，是对角线，，是的中点．连接，交于点，过作的平行线，分别交、的延长线于点、点；连接并延长，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若， ①求证：； ②连接，若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴； （2） 证明：①∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知：，即， ∴， ∴； ②由可知：点D、C、B三点在以点A为圆心，半径为的圆上，如图， ∴， 由①可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则有， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、圆的基本性质及圆周角定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、圆的基本性质及圆周角定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）①由题意易得，，则有，由（1）可知，进而问题可求证；②由题意易得点D、C、B三点在以点A为圆心，半径为的圆上，则有，然后可得，则有，进而可设，则有，则有，所以有，最后问题可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年九年级上学期期末考试数学试卷 （本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． （第Ⅰ卷 选择题共40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．在答题卡的相应位置内填涂） 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数、满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 从6男和4女的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为女生的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比，堤高，则坡面的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，放在同一平面直角坐标系中的两个汽球恰好是位似图形，点、点分别是①号②号汽球的扎口，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 下面是一元二次方程的解答过程： ， ， ， 或． 上述解法用到的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 因式分解法 C. 公式法 D. 配方法 8. 智能汽车销售火爆．某店月份销售台，月、月份共销售台．设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 10. 已知二次函数的图象交轴于，顶点为．将该图象平移，点、点分别平移至点、点，连接，且轴．若点落在轴的正半轴上，且平移后的二次函数的图象仍然经过点，则线段的长为（ ） A. 8 B. C. D. （第Ⅱ卷 非选择题共110分） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卡的相应位置作答） 11. 二次函数图象的开口方向是______（填写“向上”或“向下”）． 12. 计算的结果是___________． 13. 若和是关于的一元二次方程的两实数根，则的值为______． 14. 如图，已知，交于，，，则的长为______． 15. 如图，中，，，，为的中点．若与相交，则的半径的取值范围是______． 16. 如图，在中，对角线，，点是边上一个动点，是延长线上一点，，连接、交于点．当点从点运动到点时，点的运动路径长为______．（参考数据：，） 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同． （1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率； （2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率． 20. 如图，在老师的指导下，同学们在劳动实践基地，一边靠墙另三边用栅栏围成一块矩形实验菜园．墙长为42m，栅栏总长为80m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形田菜园与墙垂直的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． （1）直接写出实验田的面积（用含的代数式表示）； （2）矩形菜园的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； 21. 开元寺是福建省内规模最大的佛教寺院，东西塔是寺院内游客打卡必选之地，图①是西塔．元旦小明同学随父母到开元寺游玩，他操作无人机在空中处探测到西塔．此时无人机飞行高度米，如图②．从无人机上看塔尖的俯角，看塔底的俯角，求西塔的高度（结果保留根号）． 22. 已知实数、、，且． （1）若、、分别是关于的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由公式法解得方程的根为，求证：； （2）若，，求的最小值． 23. 如图，BD是矩形ABCD的对角线． （1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 24. 已知函数的图象如图所示，部分点的横坐标、纵坐标的对应值如表所示： （1）填空：______，______，______； （2）若关于的一元二次方程（为常数）在时无解，求的取值范围； （3）若和是函数图象上的两个不同点．在对、两点之间的这部分函数图象分析发现：当图象对应的函数最大值与最小值都不随变化而变化．请直接写出的取值范围． 25. 如图，已知在四边形中，是对角线，，是的中点．连接，交于点，过作的平行线，分别交、的延长线于点、点；连接并延长，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若， ①求证：； ②连接，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $