第18章 专题9 与特殊平行四边形有关的剪拼与折叠问题-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学习题课件(人教版)河北专版 - 副本

第十八章　平行四边形 专题9　与特殊平行四边形有关的剪拼 与折叠问题 1 【方法指导】 （1）剪拼的本质是全等变换； （2）剪拼前后对应图形的面积不变，对应边相等，对应角相等. 类型1 剪拼问题 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 2 【针对训练】 1（邢台模拟）如图是甲、乙两张完全相同的菱形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼接一个与原来面积相等的矩形，则 （　　） A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以 C. 甲不可以，乙可以 D. 甲可以，乙不可以 A 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 3 2.（邯郸永年期末）把图1中的菱形沿对角线裁分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2、图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 （　　） A. 6 B. 24 C. 26 D. 12 D 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 4 3.【新情境·数学文化】我国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注时，给出了证明三角形面积公式的出入相补法. 如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG. 若DE=3，AF=2，则矩形BCHG的面积为________. 12 【解析】由题意得BG=CH=AF=2，BC=2DE=6， ∴矩形BCHG的面积为6×2=12. 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 5 【方法指导】 （1）折叠的本质是全等变换：折叠前、后的图形全等，对应边相等，对应角相等； （2）折痕可看作垂直平分线（对应点的连线被折痕垂直平分）； （3）折痕可看作角平分线（对应线段所在的直线与折痕之间的夹角相等）. 类型2 折叠问题 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 6 【针对训练】 命题角度❶　把一个顶点折叠到一边上 4.（唐山丰南期中）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH. 若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是 （　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 7 命题角度❷　把一个顶点折叠到对角线上 5.（唐山玉田一模）如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形. 要使四边形AECF是菱形，则∠BAE的度数是 （　　） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° A 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 8 【变式】　将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，点B和点D重合于点O，得到菱形AECF. 若AB=3，则BC的长为 （　　） 　　　　　　　　　　 A. 1 B. 2 C. D. D 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 9 命题角度❸　把一个顶点折叠到另一个顶点上 6. 如图，将一个长、宽分别为16，8的矩形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是_________. 4 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 10 7. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，若将矩形对折，使B点与D点重合，折痕为EF，试说明四边形EBFD是菱形，并求其边长. 解：∵将矩形对折，使B点与D点重合，折痕为EF，∴EF垂直平分BD，∴BO=DO. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠DBC. 在△EOD和△FOB中，∴△EOD≌△FOB（ASA），∴EO=FO， ∴四边形EBFD是平行四边形. 又BD⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形. 设BE=x，则AE=8-x.在Rt△ABE中，由勾股定理，得（8-x）2+62=x2. 解得x=，故菱形的边长为. 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 11 命题角度❹　把一个顶点折叠到图形内或图形外 8.【新趋势·多模块综合】 如图，将菱形ABCD的一角折叠，折痕为BE，点A恰好落在点F处，∠FBC比∠ABE大80°. 已知∠C=60°，设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，那么所适合的一个方程组是 （　　） D 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 12 9.（四川雅安中考）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC=9，CD=3，那么阴影部分的面积为________. 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 13 10. 如图，正方形纸片ABCD的边长为12，F为AD上一点，沿BF折叠该纸片，点A落在点G处，E为AG的延长线与CD边的交点. 若DE=5，则GE的长为________. 【解析】如图，设BF与AE的交点为H. ∵正方形ABCD中，AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°，∴∠BAE+∠DAE=90°. 由折叠，知BF垂直平分AG，∴∠AHB=90°，AH=GH， ∴∠BAE+∠ABF=90°. ∴∠ABF=∠DAE. ∴△ABF≌△DAE（ASA）. ∴AF=DE=5，BF=AE. ∵AE==13，∴BF=13. ∵S△ABF=BF·AH=AB·AF，∴AH==， ∴AG=2AH=，∴GE=AE-AG=. 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 14 命题角度❺　多次折叠 11.（石家庄栾城期中）如图，将一张矩形纸斜折过去，使顶点A落在A'处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在A'B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD间的夹角是________°. 90 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 15 12.（邢台模拟）如图，在矩形ABCD中，2AB>BC，E，F为边AD上的两点，将矩形沿着BE和CF折叠，点A和点D恰好重合于矩形内部的点G处. （1）当AB=BC时，求∠GEF的度数； 解：当AB=BC时，矩形ABCD为正方形. 由折叠，得AB=BG，CD=CG，∠EGB=∠FGC=90°. ∵AB=BC=CD，∴BG=BC=GC，∴∠GBC=60°，∴∠ABG=30°， ∴∠AEG=360°-∠A-∠BGE-∠ABG=150°，∴∠GEF=30°. 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 16 （2）若AB=，BC=2，求EF的长. 解：在矩形ABCD中，CD=AB=， 由折叠，得AB=BG，CD=CG，AE=EG，DF=FG，∠EGB=∠FGC=90°，∴BG=GC=. ∵BG2+CG2=4，BC2=4，∴BG2+CG2=BC2， ∴∠BGC=90°，且BG=CG，∴∠GBC=45°，∴∠ABG=45°. ∴∠AEG=360°-∠A-∠BGE-∠ABG=135°，∴∠FEG=45°. 同理可得∠EFG=45°，∴△EGF为等腰直角三角形. 设EG=x，则AE=FD=x，EF=x，∴（2+）x=2， 解得x=2-，∴EF=x=2-2. 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 7 17 18 $$