第17章 专题3 勾股定理与折叠问题-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学习题课件(人教版)河北专版

第十七章　勾股定理 专题3　勾股定理与折叠问题 1 【方法指导】利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤： （1）找：找出折痕，折痕所在的直线为对称轴； （2）标：标出折叠前后相等的线段或角； （3）设：根据题目要求，设出未知数； （4）列：找出关键的三角形（一般是折叠后新产生的直角三角形，如下图阴影），利用勾股定理建立方程；　 　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （5）求：求出未知数的值. 2 3 4 5 6 1 2 1.（保定校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为 （　　） A. B. C. 3 D. D 类型1 直角三角形中的简单折叠 2 3 4 5 6 1 3 2.（衡水故城期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=30，BC=40. 将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上的B'处，AE为折痕，则EB'的长为 （　　） A. 12 B. 25 C. 20 D. 15 D 2 3 4 5 6 1 4 3. 如图，长方形纸片ABCD中，AB=3 cm，AD=9 cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为_______cm2. 6 类型2 长方形中的简单折叠 2 3 4 5 6 1 5 4. 如图，把长方形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在点C′的位置上，BC′交AD于点E，若AB=3，BC=6，则DE的长为________. 【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=6，∠A=90°. ∵△BDC′是由△BDC折叠得到的，∴∠DBC=∠DBE. ∵AD∥BC，∴∠DBC=∠BDE.∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE. 设AE=x，则DE=AD-AE=6-x，∴BE=6-x， 在Rt△ABE中，∵AE2+AB2=BE2， ∴x2+32=（6-x）2，解得x= ，∴DE=6- = ． 2 3 4 5 6 1 6 5.（邯郸永年期中）如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，连接EF. （1）求证：DF=GF； 类型3 折叠中勾股定理的综合应用 解：证明：∵△GBE由△ABE翻折而成， ∴∠EGB=∠A=90°，EG=AE. ∵E是AD的中点，∴EG=AE=DE. 在Rt△EGF和Rt△EDF中， ∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴DF=GF． 2 3 4 5 6 1 7 （2）若AB=6，BC2=96，求DF的长. 解：设DF=x，则GF=x，∴BF=6+x，CF=6-x， 在Rt△BFC中，BF2=CF2+BC2， ∴（6+x）2=（6-x）2+96，解得x=4， ∴DF的长为4． 2 3 4 5 6 1 8 6. 如图，在△ABC中，AB=4，∠ABC>90°，点D在AC边上，将△ABD沿着BD折叠得△EBD，连接AE，CE. （1）用尺规作出△EBD（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若∠ABD=30°，CE=3，BD⫽CE，求AC的长. 解：（1）如图所示，△EBD即为所求. 2 3 4 5 6 1 9 （2）现要在线段MN上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站P应修建在离M点多远处？ 解：由折叠可得，∠EBD=∠ABD=30°， AB=EB，∴∠ABE=2∠ABD=2×30°=60°， ∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，AE=AB=4. ∵BD∥CE，∴∠CEB=∠EBD=30°， ∴∠AEC=∠AEB+∠CEB=60°+30°=90°， 又CE=3，∴在Rt△ACE中，AC===5. 2 3 4 5 6 1 10 11 $$