专题6 二次函数与几何图形相关的问题-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学习题课件(冀教版)

第三十章　二次函数 专题6　二次函数与几何图形相关的问题 1 典例1　（秦皇岛抚宁期末）如图，已知二次函数图像的顶点坐 标为M（2，0），与y轴交于点B（0，2），直线y=x+n与该二次 函数的图像交于A，B两点，点D是线段AB上的一个动点，过点 D作DP⊥x轴，交二次函数的图像于点E，则线段DE的最大值为________. 类型1　抛物线与线段综合 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 2 【解析】设抛物线的表达式为y=a（x-2）2， 把B（0，2）代入y=a（x-2）2，得4a=2，解得a=， ∴y=（x-2）2=x2-2x+2. 把B（0，2）代入y=x+n，得n=2，∴y=x+2. 当x2-2x+2=x+2时，解得x1=0，x2=6，∴A（6，8）. 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 3 ∵点D是线段AB上的一个动点，设D（m，m+2），且0≤m≤6，则E （m，m2-2m+2）， ∴DE=m+2-（m2-2m+2）=-m2+3m=-（m-3）2+. ∵-<0，即图像开口向下，且0≤m≤6， ∴当m=3时，DE有最大值，最大值为. 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 4 1. （邢台新河模拟）如图，已知抛物线经过点B（-1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），点P为AC上的一个动点，下列结论：①抛物线的对称轴为直线x=；②抛物线对应函数的最大值为；③∠ACB=90°；④OP的最小值为 . 其中正确的结论为 （　　） A. ①②④ B. ①② C. ①②③ D. ①③④ D 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 5 2. （新趋势　探究性问题）如图，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，且点A（3，0），点C（0，-3）. （1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （2）若点D为抛物线对称轴上的一点，求│DA-DC│的最大值及此时点D的坐标. 【解析】解：（1）将A（3，0），C（0，-3）代入y=x2+bx+c，得 解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3. ∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴抛物线的对称轴为直线x=1. 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 6 ∵点A（3，0）和点B关于对称轴对称， ∴点B的坐标为（-1，0）. （2）如图，∵点D为抛物线对称轴上的一点，∴DA=DB， ∴|DA-DC|最大即|DB-DC|最大，此时B，C，D共线，且|DA-DC|的最大值为BC==. 设直线BC的表达式为y=kx-3， 将B（-1，0）代入，得0=-k-3，解得k=-3， ∴直线BC的表达式为y=-3x-3. 把x=1代入y=-3x-3，得y=-6， ∴点D的坐标为（1，-6）. 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 7 典例2　（邯郸曲周期末）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（-4，0）两点. （1）求该抛物线的表达式. （2）若抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说 明理由. 类型2　抛物线与三角形综合 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 8 （3）在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得△BPC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△BPC面积的最大值；若不存在，请说明理由. 解：（1）将A（2，0），B（-4，0）代入y=-x2+bx+c，得解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+8. （2）将x=0代入y=-x2-2x+8，得y=8，故C（0，8）. 设直线BC的表达式为y=kx+d， 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 9 将B（-4，0），C（0，8）代入，得解得 ∴直线BC的表达式为y=2x+8. 如图1，连接AQ，AC，则AQ=BQ. △QAC的周长=AC+AQ+CQ=AC+BQ+ CQ，当BQ+CQ的值最小时，△QAC的 周长最小. 当B，Q，C三点共线时，BQ +CQ的值最小，此时点Q为直线BC与抛 物线的对称轴x=-1的交点. 当x=-1时，2x+8=6，∴点Q的坐标为（-1，6）. 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 10 （3）如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，设P（x，-x2-2x+8）（-4<x<0）. 由题可知，S△BOC=×OB×OC=×4×8=16. ∵S△BPC=S四边形BPCO-S△BOC=S四边形BPCO-16，∴当S四边形BPCO最大时，S△BPC最大. ∵S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BE·PE+OE（PE+OC）=（x+4）（-x2-2x+8）+（-x）（-x2-2x+8+8）=-2（x+2）2+24， ∴当x=-2时，S四边形BPCO最大，最大值为24，∴此时S△BPC最大，最大值为24-16=8. ∴当x=-2时，-x2-2x+8=8，∴点P的坐标为（-2，8）. 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 11 3. （新趋势　多模块综合）如图，二次函数y=ax2+bx+2的图像与x轴交于B（-1，0），C（4，0）两点，与y轴交于点A. （1）求二次函数y=ax2+bx+2的表达式； （2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作MN⫽AC，交AB于点M，当△AMN的面积最大时，求点N的坐标. 解：（1）将B（-1，0），C（4，0）代入y=ax2+bx+2，得 解得 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 12 ∴二次函数的表达式为y=-x2+x+2. （2）如图，过点M作MD⊥BC，垂足为点D. 设N（n，0）（-1<n<4），MD=h. ∵MN⫽AC，∴△BMN∽△BAC，∴=. 将x=0代入y=-x2+x+2，得y=2， ∴A（0，2），∴AO=2，∴S△BAC=×（4+1）×2=5. 又∵S△BMN=BN·MD=（n+1）h， 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 13 ∴=2，∴h=. ∵S△AMN=S△ABN-S△BMN=BN·AO-BN·MD =(n+1)×2-(n+1)· =(n+1)=-2+， ∴当n=时，S△AMN最大，此时点N的坐标为 . 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 14 典例3　如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=-1，抛物线交x轴于A，C两点，与直线y=x-1交于A，B两点，直线y=x-1与抛物线的对称轴交于点E. （1）求抛物线的表达式； （2）在平面直角坐标系中，以点B，E，C，D为顶点的四边形是平行 四边形，请求出符合条件的点D的坐标. 类型3　抛物线与四边形综合 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 15 解：（1）由x-1=0，得x=1，∴点A（1，0）. ∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴点C（-3，0）. 将A（1，0），C（-3，0）代入y=ax2+bx+3，得 解得 ∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3. 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 16 （2）如图，连接BC，CE. 当x=-1时，y=x-1=-2，∴点E（-1，-2）. 联立 解得或 ∴B（-4，-5）. ①如图，当四边形BCD1E为平行四边形时， ∵B（-4，-5），C（-3，0），E（-1，-2）， 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 17 ∴点B平移到点C的方式为向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度，点E按此方式平移到点D1， ∴D1（-1+1，-2+5），即D1（0，3）. ②如图，当四边形BD2CE为平行四边形时， ∵B（-4，-5），C（-3，0），E（-1，-2）， ∴点E平移到点C的方式为向左平移2个单位长度，向上平移2个单位长度，点B按此方式平移到点D2， ∴D2（-4-2，-5+2），即D2（-6，-3）. 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 18 ③如图，当四边形BCED3为平行四边形时， ∵B（-4，-5），C（-3，0），E（-1，-2）， ∴点C平移到点E的方式为向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，点B按此方式平移到点D3， ∴D3（-4+2，-5-2），即D3（-2，-7）. 综上所述，符合条件的点D的坐标为（0，3）或（-6，-3）或（-2，-7）. 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 19 4. （邯郸大名期中）如图，抛物线y=ax2-x-与x轴正半轴交于点A（3，0）. 以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF，则a=_______，点E的坐标是__________________. 【解析】把A（3，0）代入抛物线y=ax2-x-，得9a-3-=0，解 得a=. ∵四边形OABC为正方形，∴C（0，3），点D的纵坐 （1+，1+） 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 20 标为3，∴设x2-x-=3，解得x1=1+，x2=1-. ∵点D在第一象限，∴正方形BDEF的边长为1+-3=-2，∴AF=3+-2=1+，∴点E的坐标为（1+，1+）. 2 3 4 1 典例1 典例2 典例3 21 22 $$