专题1 圆的切线中常见的辅助线类型-【绿卡初中创新题】2024-2025学年九年级下册数学习题课件(冀教版)

第29章　直线与圆的位置关系 专题1　圆的切线中常见的辅助线类型 1 类型1　已知切线，连接过切点的半径 1. 如图，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB=60°，DA，DB是⊙O的切线，求∠D的度数. 解：如图，连接OA，OB. ∵DA，DB是⊙O的切线，∴OA⊥DA，OB⊥DB，∴∠OBD=∠OAD=90°. ∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=60°，∴∠AOB=120°. ∵∠OBD+∠AOB+∠D+∠OAD=360°，∴∠D=360°-90°-90°-120°=60°. 类型1 类型2 类型3 2 2. （秦皇岛海港期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以BD为直径的半圆交BC于点F，且AC切⊙O于点E. 求证：= . 证明:如图，连接OE，OF. ∵AC切⊙O于点E，∴OE⊥AC，∴∠AEO=90°. ∵∠ACB=90°，∴OE⫽BC，∴∠DOE=∠B，∠EOF=∠OFB. ∵OB=OF，∴∠B=∠OFB，∴∠DOE=∠EOF，∴= . 类型1 类型2 类型3 3 3. 如图，AB与半径长为6的⊙O相切于点A，点C在⊙O上且OC⫽AB，连接AC，求图中阴影部分的面积. 解：如图，连接OA，则OA=OC. ∵AB与⊙O相切于点A，∴AB⊥OA. ∵OC⫽AB，∴∠AOC=∠OAB=90°. ∵OA=OC=6，∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=- ×6×6=9π-18. 类型1 类型2 类型3 4 4. 如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E. （1）求证：AB=BE； 证明：如图，连接OD. ∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PC. ∵BE⊥PC，∴OD⫽BE，∴∠E=∠ODA. ∵OD=OA，∴∠DAO=∠ODA，∴∠E=∠DAO，∴AB=BE. 类型1 类型2 类型3 5 （2）若PA=2，cos B=，求⊙O的半径. 解：由（1）知OD⫽BC，∴∠POD=∠B，∴cos ∠POD=cos B=， ∴===，∴OD=3，即⊙O的半径是3. 类型1 类型2 类型3 6 5. （四川攀枝花中考）如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC=∠B，求证：直线CD与⊙O相切. 证明：如图，连接OD. ∵OA=OD，∴∠A=∠ODA. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠B=90°. ∵∠ADC=∠B，∴∠ODA+∠ADC=90°，即∠CDO=90°，∴CD⊥OD. ∵OD是⊙O的半径，∴直线CD与⊙O相切. 类型2　连半径，证垂直 类型1 类型2 类型3 7 6. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E. 求证：DE是⊙O的切线. 证明：如图，连接OD. ∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵OB=OD，∴∠B=∠ODB. ∴∠C=∠ODB. ∴OD⫽AC. 又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODE=∠AED=90°， ∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线. 类型1 类型2 类型3 8 7. （江苏淮安中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE. （1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； 解：（1）直线DE与☉O相切. 理由如下：如图，连接OD. ∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=∠BDC=90°. ∵点E是BC的中点，∴DE=CE=BE，∴∠EDC=∠ECD. ∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD. ∵∠OCD+∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ODC+∠EDC=90°，即∠EDO=90°， ∴DE⊥OD，∴直线DE与⊙O相切. 类型1 类型2 类型3 9 （2）若CD=3，DE=，求⊙O的直径. 证明：由（1）得∠CDB=90°，CE=BE=DE=，∴BC=5， ∴BD===4. 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，即AC2=AD2+9. 在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2，即AC2=（AD+4）2-25. ∴AD2+9=（AD+4）2-25，解得AD=. ∴AC=，∴⊙O的直径为. 类型1 类型2 类型3 10 8. （山东菏泽中考）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE=FP. （1）求证：FE是⊙O的切线； 证明：如图，连接OE. ∵OA=OE，∴∠A=∠AEO. ∵FE=FP，∴∠FPE=∠FEP. ∵CD⊥AB，∴∠AHP=90°. ∴∠A+∠FPE=∠A+∠APH=90°， ∴∠FEP+∠AEO=90°，∴OE⊥EF，∴FE是⊙O的切线. 类型1 类型2 类型3 11 （2）若⊙O的半径为8，sin F=，求BG的长. 解：∵∠FHG=∠OEG=90°， ∴∠G+∠F=∠G+∠EOG=90°，∴∠F=∠EOG， ∴sin∠EOG=sin F，∴=. 设EG=3x，OG=5x， 则OE===4x. ∵OE=8，∴x=2，∴OG=10，∴BG=10-8=2. 类型1 类型2 类型3 12 9. （教材P9T3改编）如图，OA=OB=13 cm，AB=24 cm，⊙O的直径为10 cm. 求证：AB是⊙O的切线. 证明：如图，过点O作OC⊥AB，垂足为点C. ∵OA=OB=13 cm，AB=24 cm，∴AC=AB=12 cm. 在Rt△OAC中，OC===5（cm）. ∵⊙O的直径为10 cm，∴⊙O的半径r=5 cm，∴OC=r，∴AB是⊙O的切线. 类型3　作垂直，证半径 类型1 类型2 类型3 13 10. 如图，已知∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD=2，求证：AM是⊙O的切线. 证明：如图，过点O作OF⊥AM，垂足为F. ∵AD=2，OD=2，∴AO=AD+OD=4. ∵∠AFO=90°，∠MAN=30°，∴OF=OA=2，∴OF=OD. ∴AM是⊙O的切线. 类型1 类型2 类型3 14 11. 如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=6，点P是线段AD上的一个动点，以点P为圆心、PD为半径作⊙P，连接CP，当CP平分∠ACD时，判断AC与⊙P的位置关系，说明理由，并求出PD的长. 类型1 类型2 类型3 15 解：如图，过点P作PH⊥AC，垂足为H. ∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥CD，AD=BC=6，CD=AB=. ∵CP平分∠ACD，∴PH=PD，∴AC切⊙P于点H. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC===. 在△PHC和△PDC中，∵∠PCH=∠PCD，∠PHC=∠PDC，PH=PD，∴△PHC≌△PDC（AAS），∴CH=CD=，∴AH=AC-CH=3. 设PD=x，则PH=x，AP=AD-PD=6-x. 在Rt△APH中，由勾股定理，得AP2-PH2=AH2，∴（6-x）2-x2=32，解得x=，即PD的长为. 类型1 类型2 类型3 16 17 $$