专题02 切线的性质与判定（专项训练）数学冀教版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02切线的性质与判定 月录 A题型建模·专项突破 题型一、切线的性质定理………….1 题型二、切线的判定定理 题型三、切线性质与判定的简单应用……3 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、切线的性质定理 1.如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点A表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别 为点B,D,连接OD,BD,AB,已知AB经过圆心O,CD与OO相切于点D,BC⊥BD.若 ∠BCD=25°，则∠ABD的度数是() B 图1 图2 A.40° B.35° C.30° D.25 【答案】D 【详解】解：：BC⊥BD,LBCD=25°， ∴.∠BDC=90°-∠BCD=65°， :CD与⊙O相切于点D, ∠0DC=90°， .∠0DB=90°-∠BDC=25°， 0B=0D, ∴.∠ABD=LOBD=25°； 故选D. 2.如图，AB是⊙0的直径，P是AB延长线上的一点，PC切⊙0于点C,PC=3,PB=1,则O0的半径 等于() 1/46 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A. 5 B.3 C.4 2 D. 92 【答案】C 【详解】解：如图，连接0C, :PC切⊙O于点C, .OC⊥PC. 设半径为x, 在Rt△PCO中， :x2+32=(x+1)2, 解得x=4. 所以⊙O的半径等于4. 故选：C 3.中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角图”、“方田一段，一角圆池 占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切），” 如图，正方形的一条对角线AB与O0相交于点M,N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈， ⊙0的半径为2丈，则BN的长度为() 0 A.6丈 B.5丈 c.(6-2)丈 D.(8-22)丈 【答案】D 【详解】解：如图，设⊙0与正方形的一条边的切点为C,连接0C, 则∠AC0=90°，0C=2, 2/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠0AC=45°， ∠A0C=90°-∠0AC=45°， AC=0C=2, A0=VAC2+0C2=22, :AB=10,0N=2, BN =AB-A0-ON =8-22 故选：D. 4.如图，AB与⊙0相切于点A,连接B0并延长交⊙0于点C,连接AC.若LB=28°，则∠C的度数为】 A B 【答案】31°/B1度 【详解】解：连接OA, O :AB与⊙0相切于点A,, 0A1AB,即∠0AB=90°， :∠B=28°， ∠A0C=∠0AB+∠B=90°+28°=118°， 0A=0C, 2C=180-∠400=31 故答案为：31° 5.如图，AB是⊙0的弦，作0C⊥OA交O0的切线BC于点C,交AB于点D,已知L0AB=20°，则 3/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LOCB的度数为」 B 【答案】40° 【详解】解：连接OB, B :BC是OO的切线， ∠0BC=90°， :0A=0B, ∴∠0AB=∠0BA=20°， ∴.∠DBC=70°， :∠A0C=90°， .∠0DA=∠BDC=70°， .∠0CB=40°， 故答案为：40°。 6.如图，矩形ABCD中AD=8,AB=2,直线P2将矩形分成面积相等的两部分，分别交边AD,BC于点P, Q,过点B作BH⊥PQ于点H,连接CH,当∠BCH最大时，直接写出CH的长为 【答案】4√2 【详解】解：如图，连接BD交PO于点O, :直线PO将矩形ABCD分成面积相等的两部分， 4/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·点O为BD和PO的中点， :BH⊥PQ, ∴∠BH0=90°， :点H在以BO为直径的⊙L上， 则当CH与⊙L相切时，∠BCH最大，连接HL,CL, :矩形ABCD中AD=8,AB=2, BD=V22+82=2V7, :BO=-BD=17, LH-BL-OL-7 2 过点L作LT⊥BC交BC于点T, ∠BTL=90°， :四边形ABCD是矩形， ∠BCD=∠BTL=90°， ∴TL∥CD, .△BLT∽△BDC, BL LTBT BD CD BC √7 2 LT BT, 2i7-2=8 LT=g,BT=2. .CT=BC-BT=8-2=6, CL=7+CT2=145 :CH是⊙L的切线， ∠CHL=90°， ∴.CH=VCL-H 14517 42 145_17=32=42, V44 故答案为：42 7.如图，已知中，OA=0B,⊙O与AB切于点C,与OA、OB分别交于点E、G,与A0的延长线交于 点D,连接BD、DG,延长DG交AB于点F,已知BD=BC. 5/46 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B C (1)判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由： (2)若⊙0的半径为2，求图中阴影部分的面积.（结果保留π） 【答案】(1)BD是⊙O的切线，理由见解析 2)754r 23 【详解】(1)证明：BD是⊙O的切线，理由： 连接0C, 0 :AB与⊙O相切于点C, E C ∴∠0CB=90°， 在△OBC和△OBD中， OC=OD,BC=BD,BO=BO, △0BC≌OBD(SSS), ∠0DB=∠0CB=90°，即OD⊥BD, :0D是⊙O的半径， .BD是⊙O的切线； (2)解：：0D=0G, .∠0DG=∠0GD, :0A=0B,OC⊥AB, :∠4OC=∠BOC=∠AOB, :∠A0B=∠0DG+∠0GD, ∠A0C=LODG, ..OCI DF, .OC⊥AB, DF⊥AB, 由(1)可知△OBC≌△OBD, 6/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 LCOB=∠DOB, :∠AOC=∠COB, .∠C0B=∠D0B=∠AOC, :∠C0B+∠D0B+∠A0C=180°， ∠C0B=∠D0B=∠A0C=60°， 在RtaA0C中，0C=2,∠A0C=60°， 0A=20C=4, AD=0A+0D=6, 在R1aADF中，∠D=60°，AD=6, DF-4D=3,4F= 2AD=35, 2 ·S所影事分=S.ADr-S前形OEG-SoDG 2X3x35-120r×221 360 *2x6 7V54π 23 8.如图1，在正方形ABCD中，AB=12,点0，E在边CD上，且CE=2,OD=4,以点O为圆心，OE为 半径在其左侧作半圆O,分别交AD于点G,交CD的延长线于点F. G R 图1 图2 图3 (1)GD=- (2)将半圆0绕点E逆时针旋转a(0°<a<180°)，点0的对应点为O,点F的对应点为F. ①如图2，若M为半圆O上一点，当点F落在AD边上时，求点M到线段BC的最短距离； ②如图3，当半圆O交BC于P,R两点时，若PR=6√2，求此时半圆O与正方形ABCD重叠部分的面积； ③当半圆O与正方形ABCD的边相切时，设切点为N,直接写出tan∠EDN的值. 【答案】(1)25： @1:②18+9元：③5或2 6 【详解】(1)解：连接0G,如图， 7/46 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G B C 由题意得：0E=CD-0D-CE=12-2-4=6, .0G=0E=6, .GD=V0G2-0D2=V62-42=25, 故答案为：25； (2)解：①如图，过点O作O'M⊥BC于点H,交半圆O于点M,延长HO'交AD于点Q,如图， F D M H 则∠QHC=90°， 此时点M到BC的距离最短， :四边形ABCD是正方形， :.∠C=∠D=∠QHC=90°， :.四边形QHCD是矩形， HQ=CD=12,HQ∥CD, .△F'O'QraF'ED, FO'FO FE F'D :点O是EF'的中点， FO-FE FO 1 FD 2' Q为FD中点， ·Q0'为△F'ED中位线， 00=0E. :四边形ABCD是正方形， 8/46 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DC=AB=HO=12, DE=DC-CE=12-2=10, .0'Q=5, 由(1)知：0E=12-2-4=6, 即半圆的半径为6， ∴.MH=HQ-Q0'-O'M=12-5-6=1, 即点M到BC的最短距离为1； ②如图，由①可知半圆0的半径为6， D B 由题意得，0'P=0'R=6,PR=6V2, :0P2+0R2=62+62=72,PR2=72, ∴.OP2+OR2=PR2, ∴△PO'R为等腰直角三角形， ∠P0'R=90°， ∴∠F'0'P+∠E0'R=90°， S.opR=亏×6×6=18，S扇形oFP+S扇形0RE= 90mx6=9元， 2 360 此时半圆O与正方形ABCD重叠部分的面积为S.oPR+S魔形OFP+S舞形oRE=18+9π； ③tan∠EDN=(或5，理由： 6 )当半圆O与正方形ABCD的BC边相切时， 连接ON,DN,过点E作EJ⊥O'D于点J,如图， A D :BC与半圆相切， .O'W⊥BC, :∠C=90°，EJ10'D, .四边形NCE为矩形， 9/46 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .JN=EC=2,CN=JE, 0'J=0'N-JN=4, JE=V0'E2-0'J2=V62-42=25, WC=25, tan∠EDN= NC2V5√5 CD126 i的)当半圆O与正方形ABCD的AB边相切时， 此时点F与点N重合，连接DN,如图， A D N(E :AB与半圆相切于点N, EN⊥AB, :∠B=∠C=90°， :四边形NBCE为矩形， ∴EN=BC=12,∠DEF=90°， DE=DC-EC=10, tan∠EDN= EN126 DE105' 综上，an∠BDN的值为5或名 6 5 【点晴】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定 和性质，勾股定理及逆定理，扇形面积公式，解直角三角形，掌握知识点的应用及利用分类思想解决问题 是解题的关键】 9.如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD⊥CD,AD=9,连接BD,∠ADB=30°，点M在射线 BA上，且BM=6√5，以P?为直径的半圆O与射线BA相切于点M,PQ=8. 10/46 专题02 切线的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、切线的性质定理 1 题型二、切线的判定定理 2 题型三、切线性质与判定的简单应用 3 B综合攻坚・能力跃升 题型一、切线的性质定理 1．如图1是一款雪人毛绒玩具，其头部的示意图如图2所示，点表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点，，连接，，，已知经过圆心，与相切于点，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，是延长线上的一点，切于点，，则的半径等于（    ） A． B．3 C．4 D． 3．中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角图”、“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）．”如图，正方形的一条对角线与相交于点，（点在点的右上方）．若的长度为10丈，的半径为2丈，则的长度为（   ） A．6丈 B．5丈 C．丈 D．丈 4．如图，与相切于点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ．    5．如图，是的弦，作交的切线于点，交于点．已知，则的度数为 ． 6．如图，矩形中，，直线将矩形分成面积相等的两部分，分别交边于点P，Q，过点B作于点H，连接．当最大时，直接写出的长为 ． 7．如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 8．如图，在正方形中，，点，在边上，且，，以点为圆心，为半径在其左侧作半圆，分别交于点，交的延长线于点． (1) ． (2)将半圆绕点逆时针旋转（），点的对应点为，点的对应点为． 如图，若为半圆上一点，当点落在边上时，求点到线段的最短距离； 如图，当半圆交于，两点时，若，求此时半圆与正方形重叠部分的面积； 当半圆与正方形的边相切时，设切点为，直接写出的值． 9．如图1，在四边形中，，，，连接，，点M在射线上，且，以为直径的半圆O与射线相切于点M，． (1)的长为______； (2)将半圆O先沿方向向右平移，当点P到达点A后，半圆O立刻绕点D顺时针旋转． ①如图2，在平移过程中，当半圆O与相切于点T时，求的长； ②如图3，当点P到达点A时，交于点E，F，求的长； ③若点H平分，连接，G为的中点，在半圆O的旋转过程中，直接写出点G的运动路径长． 题型二、切线的判定定理 1．已知P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙二人的作法．下列判断正确的是（    ） 甲：如图1，①连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长；②在上截取，直线即为所求． 乙：如图2，①作射线；②在直线外任取一点A，以点A为圆心，长为半径作，与射线交于另一点B；③连接并延长与交于点C，直线即为所求． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．甲正确，乙不正确 D．甲不正确，乙正确 2．如图1，将直角三角形纸片的顶点落在圆上，，分别与圆交于点，，转动直角三角形纸片，使点，重合，如图2． 嘉嘉说：“图中的线段是圆的直径．” 淇淇说：“图中的直线与圆相切．” 下列判断正确的是（    ）       A．两人的说法都正确 B．两人的说法都不正确 C．只有嘉嘉的说法正确 D．只有淇淇的说法正确 3．下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是 ． 4．如图，是的直径，点在上，为的中点，延长到点，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：直线是的切线． 5．在中，．点在线段上，以为圆心作，恰好过，两点．嘉嘉在作图时，不小心擦掉了圆心O以及部分圆弧，结果如图所示． (1)尺规作图：请根据题意作出点O的位置，并补全；（保留作图痕迹，不写作法） (2)已知，求证：直线是的切线． 题型三、切线性质与判定的简单应用 1．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为4，点E是上的一点，将沿折叠至，若，恰好与以正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为 ．    3．如图1，将的顶点放在上，边与相切于点，边与交于点．已知的直径为8． (1)如图1，过点作于点，求的长度； (2)从图1的位置开始，将绕点顺时针旋转，设旋转角为． ①如图2，当经过圆心时，试判断与之间的位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，直接写出点到边的距离的取值范围． 4．如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 5．如图，已知：的直径与弦的夹角，过点C作的切线交的延长线于点P． (1)求证：； (2)的直径是6，以点为圆心作圆，当半径为多长时，与相切？ (3)若，求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，） 6．在探究圆的性质中，小明在数学探究课上无意中把一个三角板放在圆中，发现它们有很多联系，于是做了下列研究：如图，在圆中放一个含角的直角三角板，，是的直径，是的切线，点为切点，与交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 7．如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 8．如图，在中，，与，分别相切于点E，F，平分，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径是1，求图中阴影部分的面积． 一、单选题 1．（2025·河北邢台·二模）如图，直径为2的半圆O与的边相切，圆心O在边上，若，，，P，Q分别是与半圆弧上的动点，则的最大值和最小值之积是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北廊坊·一模）某半径为1的圆形游乐设施在运行过程中，圆心从A点运动至B点．若该设施的运动轨迹可看作双曲线在第一象限的部分，与轴相切、与轴相切．若此时的直线距离，那么圆心的运动轨迹满足的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北唐山·三模）如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（   ） A．点在边的垂直平分线上 B．点为的外心 C．平分 D．直线与的外接圆相切 二、填空题 4．（2025·河北邯郸·二模）如图，锐角三角形中，，以为直径的半圆交于点，过点作半圆的切线，交的延长线于点，交于点．若，则 ． 三、解答题 5．（2025·河北石家庄·三模）如图1和图2，O为内、外两个圆的圆心，大圆被八等分，分点为A，B，C，D，E，F，G，H．已知两个圆的半径分别为1，3． (1)如图1，若大圆中的弦与小圆相切于点M，求的长； (2)通过计算比较弧的长和小圆的周长的大小； (3)如图2，连接，通过说理判断和的位置关系，并求点B到的距离． 6．（2025·河北邯郸·模拟预测）音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图），图为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． (1)直接写出的度数； (2)求长方体木块的高； (3)如图，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 7．（2025·河北邯郸·模拟预测）将一量角器与矩形直尺按如图所示的位置摆放，其中量角器的直径平行于直尺的边缘，对应量角器的刻度线，对应量角器的刻度线，且量角器的轮廓线与直尺的边缘相切于点，与直尺的另一边缘相交于点，．已知直尺的宽度为，量角器的直径为，点在直尺上的读数为． (1)分别求点、点在直尺上的读数． (2)如图，直尺保持固定，将图中的量角器沿向右作无滑动地滚动，当量角器的端点恰好落在直尺的上边缘时停止． 求此时点在量角器上的读数（结果精确到）； 求此时点P在直尺上的读数（结果精确到）．（参考数据：，取） 8．（2025·河北沧州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径的交轴的正半轴于点，与轴交于点，，小明同学用手中的三角板进行了如下的实验操作． (1)如图1，将三角板的斜边放置于轴上，当点与点重合时，与交于另一点，求的长； (2)将图-1中摆放的三角板的顶点在上顺时针滑动． ①如图2，当点也落在上，且轴时，交轴于点，求点到的距离； ②如图3，若直角顶点恰好落在轴的正半轴上，此时边与相切于点，求点的坐标； ③若直角顶点恰好落在上且在轴右侧，边与轴的正半轴交于点，与的另一交点为，且，直接写出的长． 9．（2025·河北邯郸·三模）如图图3，在中，直径，绕圆心O逆时针旋转至且，点B在优弧上运动，以为斜边作点P在的右侧，使 (1)如图1，当经过点O时，点P在______填“上”、“内”或“外”，的长度是______； (2)如图2，当经过点O时，计算线段的长； (3)如图3，当与相切时，求点N到的距离； (4)当点P落在直径左侧半圆内部不含边界时，直接写出的取值范围． 10．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $