1.1 第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学习题课件(湘教版)

第1章　直角三角形 1.1　直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 第2课时　含30°角的直角三角形的性质及其应用 1 练基础 练提升 练素养 2 练基础 知识点1 含30°角的直角三角形的性质 1.（湖南永州校级阶段练习）如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（　　） A. 6 B. 6 C. 6 D. 12 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 A 3 2.（湖南常德第五中学期中）如图，在△ABC 中，∠A∶ ∠B∶∠C=1∶2∶3，若BC=8，则AB等于（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【变式】在△ABC 中，如果∠A+∠B=∠C，且AC=AB，那么∠A=______. D 60° 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 4 3. （新趋势 动手操作题）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=4 cm. 以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交BC的延长线于点D，则AD的长度为______. 8 cm 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 5 4. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，∠A=30°. 若AC=3 cm，求CE的长. 【解】∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°，DE⊥AB，垂足为D， ∴∠EBC=∠DBE，∠EDB=90°. 在△BEC和△BED中， ∴△BEC≌△BED，∴CE=DE. ∵∠A=30°，∴AE=2DE=2CE，∴AC=3CE. ∵AC=3 cm，∴CE=1 cm. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 6 5. （教材P6第1题改编）如图是某商场一楼与二楼之间的扶梯示意图. 其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是12 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 （　　） A. 6 m B. 6 m C. 2 m D. 12 m 1 知识点2 含30°角的直角三角形的性质的应用 A 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 7 6.（新趋势 跨学科融合）如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且∠α=60°，OB=10，则BD=______. 5 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 8 7. （教材P5例3改编）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向. 某天上午8时，一艘船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向. （1）求B处到灯塔C的距离. （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里水域内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 9 【解】（1）根据题意，得∠BAC=90°-75°=15°，∠CBE=90°-60°=30°，AB=15×2=30（海里）， ∴∠C=30°-15°=15°，∴∠BAC=∠C，∴BC=AB=30（海里）. 答：B处到灯塔C的距离为30海里. （2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如图. ∵∠CBD=30°，BC=30 海里， ∴CD=BC=15 海里. 15<16. 答：该船继续由西向东航行有触礁的危险. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 10 8. （教材P6第2题改编）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BCD=30°，CD是△ABC的高，且BD=2，下列结论正确的是 （　　） A. AD=6 B. AB=16 C. AD=8 D. BC=6 练提升 【变式】 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5，AC=10，则AB=______. A 20 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 9. 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN. 若MN=2，则OM的长是 （　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 10. （易错题）等腰三角形一腰上的高与腰之比是1∶2，则等腰三角形顶角的度数为 （　　） A. 30° B. 60°或120° C. 30°或150° D. 150° C 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 11. （新趋势 动点探究题）如图，已知Rt△ABE中，∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于点C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是____________. 0<CD≤5 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 12. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AC，垂足为E，AE=1，则CE=______. 3 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 13. （湖南长沙开福阶段练习）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BE交AC于点E. D为AB上一点，且AD=AC，连接CD，BE，两线段交于点M. （1）求∠DMB的度数. （2）若CH⊥BE于点H，求证：AB=4MH. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 16 【证明】（1）解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°. ∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE=30°. ∵∠A=30°，AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=75°， ∴∠DMB=∠ADC-∠ABE=45°. （2）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC. ∵CH⊥BE，∠CBE=30°，∴BC=2CH，∴AB=4CH. 在Rt△CHM中，∠CMH=45°，∴CH=MH，∴AB=4MH. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 14.（新趋势 动点探究题）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6 cm，点D从点A出发以1 cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t s. （1）当t为何值时，△DEC为等边三角形？ （2）当t为何值时，△DEC为直角三角形？ 练素养 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 【解】（1）由题意，得AD=t cm，CD=（6-t）cm，CE=2t cm. ∵∠B=30°，∠A=90°，AC=6 cm，∴BC=2AC=12 cm. ∵∠C=90°-∠B=60°， △DEC为等边三角形，∴CD=CE，即6-t=2t，解得t=2. 故当t为2时，△DEC为等边三角形. （2）△DEC是直角三角形时，有两种情况： ①当∠DEC为直角时，∠EDC=30°，∴CE=DC，即2t=（6-t），解得t=； ②当∠EDC为直角时，∠DEC=30°，CD=CE，即6-t=×2t，解得t=3. 综上所述，当t为或3时，△DEC为直角三角形. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 11 12 13 14 10 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$