河北省石家庄市辛集市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B B D A B ABD AC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据向量垂直和平行满足的坐标关系可得即可根据模长公式求解. 【详解】由，可得，且， 解得故则， 故选：B 2．B 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】连接，如下图所示：    因为为的中点，则， 因为点在上，且，则， 因为， 故选：B. 3．D 【分析】将曲线方程化为，利用直线与曲线位置关系，结合图形即可求解. 【详解】依题意，曲线的方程可化为：它表示以原点为圆心，2为半径的右半圆，如图： 直线过定点， 直线与相切时，可得，解得， 直线过点时，， 根据图形，结合对称性可得，直线与曲线有两个交点时， 实数的取值范围是. 故选：D. 4．B 【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】直线， 因为，所以，设直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 因为，所以，或. 故选：B. 5．B 【详解】由题可知，记， ，， 中，由余弦定理得，又， ， . 故选：B. 6．D 【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案； 【详解】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线l距离为， 因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是. 故选：D 7．A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【详解】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A 8．B 【分析】如图，连接DE，过A作准线的垂线，垂足为S，过B作准线的垂线，垂足为T，连接AF，FB，利用抛物线的几何性质可得A，B，F三点共线，结合直角三角形DAB边的关系可计算得到直线的倾斜角，从而利用直线方程和抛物线方程联立求出交点的坐标后可求，故可判断各项的正误. 【详解】如图，连接DE，则DE为圆E的半径， 对于A，过A作准线的垂线，垂足为S，过B作准线的垂线，垂足为T， 连接AF，FB，则， 故A，B，F三点共线，故A正确； 对于B，因为AB为直径，故， 而，故，而为等腰三角形， 故，故， 所以即直线l的倾斜角为，故其斜率为，故B错误；. 对于C，设，由可得， 所以，故， 故，故C正确； 对于D，由得， 所以圆E的直径是8即其半径为4，故D正确． 故选：B． 9．ABD 【分析】将两圆作差，可得出公共弦所在直线的方程，可判断A选项；分析可知，垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；利用几何法求出公共弦的长，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，将两圆方程作差可得， 所以，公共弦所在的直线方程为，A对； 对于B选项，因为，，， 所以，，则， 又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段， ，所以，直线的方程为，即， 故线段的中垂线方程为，B对； 对于C选项，圆心到直线的距离为， 所以，，C错； 对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对. 故选：ABD. 10．AC 【分析】以为坐标原点建立空间坐标系所示，利用异面直线的向量求法可判断A正确，由线面角的向量表示可判断B错误，再根据点到面的距离的向量求法可得C正确；再由面面角的向量求法可得D错误. 【详解】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，， 设， 由E为的中点可得， 解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示： ，，，，， 则，，，， 对于A，易知， 所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确； 对于B，设平面的法向量为，，即， 取，， 设与平面所成的角为，则，选项B不正确； 对于C，点A到平面的距离为，选项C正确. 对于D，设平面的法向量为，， 则，即，取， ，， 所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确. 故选：AC. 11．ACD 【分析】根据给定条件求直线的斜率，再由确定直线斜率判断A；首先求出点，并设，根据给定条件，得到双曲线参数的齐次方程判断B、C、D. 【详解】根据题意，设直线， 又直线与圆相切于点，所以， 又，则，而，得， 所以直线是的一条渐近线，A对； 联立，得，联立，得， 若且，则，即， 所以，可得， 即渐近线方程为，B错； 若且，故，即， 化简得，则的离心率为，C对； 若，则，设，故， 得，故， 代入，得，所以，则离心率为，D对； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于B、C、D，根据给定条件得到关于双曲线参数的齐次方程为关键. 12． 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 13．/ 【分析】借助等边三角形的性质可得点的坐标，由知，，最后将点的坐标代入椭圆方程，结合，计算即可得解. 【详解】如图，假设在第一象限，由题意，， 因为为等边三角形，， 所以，， 即，代入椭圆方程得，， 即， 又因为， 所以， 即， 所以， 即， 解得，，或， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以离心率为. 故答案为：. 14． 【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】由题可知，的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 联立方程，解得，即的垂心为， 则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为， 故的欧拉线方程为. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）因直线即轴，得到边上的高线斜率不存在，又经过点,即得； （2）先求边的中点，再由两点式即可求得； （3）的平分线的斜率为，由两直线的夹角公式列出方程，求得的值，检验后由点斜式即得. 【详解】（1）依题意，直线即轴，故边上的高线必垂直于轴，且经过点， 故边的高线的方程为； （2）边的中点为,因边的中线经过点 故中线方程为：，即； （3） 如图，设的平分线的斜率为，而边和的斜率分别为, 则由，解得或. 当时，由图知，显然不符合题意； 当时，因，则的平分线的方程为，即. 16．(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）只需证明直线过定点，且该定点在圆内部即可； （2）设圆心到的距离分别为，则，由，，可得的表达式，结合基本不等式可整理出，从而可求出面积的最大值. 【详解】（1）直线即， 令，解得，所以直线过定点， 而，所以点在圆内部， 故无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）设圆心到的距离分别为，则． 则，，所以四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积最大为. 17．(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明，； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再代入点到平面的距离， 求解； （3）根据，求得点的坐标，再根据（2）的结果求点到平面的距离，并根据向量的数量积公式，以及面积公式，求，结合体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为是正三角形，是的中点，    所以. 又因为平面平面， 平面， 所以面； （2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 设平面的法向量为， 由，得 ， 点到平面的距离 （3）设 所以点到面的距离为定值 . ， 解得：或. 18．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得、的值，由此可得出两曲线的方程； （2）利用点差法可求得曲线以点为中点的弦所在直线的方程，然后再将所求直线方程与曲线的方程联立，计算即可结论； （3）设，，利用椭圆和双曲线的定义可求出、的值，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【详解】（1）设椭圆方程为，双曲线方程为，. 则，解得，，则，， 因此，椭圆方程为，双曲线方程为. （2）曲线以点为中点的弦的两端点分别为、， 则，， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为，这两个等式作差可得， 所以，，可得， 所以，直线的方程为，即， 检验：联立可得，则，合乎题意， 因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为. （3）不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 所以，. 19．(1) (2) 【分析】（1）设，联立，解出，代入抛物线方程，解出，即可得到拋物线的标准方程； （2）设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消元得，由韦达定理，可得即，同理，可得，进而得，即可求出直线的斜率. 【详解】（1） 设， 则，解得，即， 将代入抛物线，解得， 拋物线的标准方程为：. （2）由题意直线的斜率存在、非零且互为相反数，设的斜率为， 则直线的方程为， 则直线的方程为， 设点， 联立，得， 由韦达定理，， 即，同理， 故， 所以， 故， 综上所述，直线的斜率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$辛集市2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 高二数学 注意事项： 1、考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分。 2、答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。 3、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥6,6∥c,则|a+6等 于() A.22 B.3 C.10 D.4 2.在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD,E为BC中点，则EF等于() A.Er=AC+2AB-号AD B.EP=-号AC-2AB+子AD C.Er-2AC-AR+号AD D.r=专AC+AB-号D 3.若直线l:m(x一4)十y=0与曲线x√4一y2有两个交点，则实数1的取值范围是() B.(-∞，W3] c(-9u- 4.直线l:sin0·x一y十8=0(0参数，0∈R)的倾斜角的取值范围是() A.[0,] B.[o C D.(-∞，1Ur,+o) 高二数学，第1页（共4页) 5点P是椭圆C:号+若 =1上一点，点F,F,分别是椭圆C的左、右焦点，且P吹：·P昨： =4,则△PF1F2的面积为() A.3 B.23 C.33 D.43 6.已知直线l1:ax一y十5=0与直线lg:x十ay一a十4=0(a∈R)的交点为P,则点P到 直线：y=x一3距离的取值范围是( A.[32,72] B.(32,72] C.[2w2,62] D.(2N2,6√2] 7.已知双陆线C号-号-1的下焦点为FA3,7),P是双曲线C上支上的动点，则 IPF|一PA:|的最大侑是() A.不存在 B.8 C.7 D.6 8.已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,直线与C交于点A,B(A在第-象限)，以AB为直 径的圆E与C的准线相切于点D,若|AD=√5|BD|,则下列说法不正确的是() AA,B,F三点共线 B1的斜率为号 C.AF=3BF D.圆E的半径是4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.圆O1:x2十y2=1和圆O2:x2十y2+2x-2y一0的交点为A、B,则有() A.公共弦AB所在的直线方程为2x一2y+1=0 B.线段AB的中垂线方程为x十y=0 C.公共弦AB的长为号 D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为2+】 高二数学，第2页（共4页） 10.如图，△ABC内接丁圆O,AB为圆O的直径，AB-1,BC=2,CD⊥平面ABC,E为 A)的中点，若棱锥D一BC的体积为2，则下列结论正确的有() A,异面直线BE与AC所成角的余弦值为√30 10 B.直线BD与平面BCE所成的角的余弦值为 4 B C.点A到平面BCE的距离为√石 D.平面BF与平面ABD所成的角的大小为X 3 L.已知F,F,分别为双曲线E:无-，1(a>0,6>0)的左右焦点，过F的直线 圆O:x2+y2=a2相切于点M,且直线1与双曲线E及其渐近线在第二象限的交点分 别为P,Q,则下列说法正确的是(） A.直线OM是E的·条渐近线 B.若MF,|=3|OM,则E的渐近线方程为y=大x C,若|QF:|=3|MF:|,划E的离心率为√3 D.若PF:=3MF,则E的离心率为因 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若a,6,为空间两两夹角都是120°的三个单位向量.则d十26-3c1= 13.已知0为坐标原点，椭圆C::+,=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),点M在C上， 且△MOF为等边三角形，则C的离心率为· 14.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(3,1),B (4,2),C(2,3),则△ABC的欧拉线方程为。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分).在△ABC中，已知A(-1,0),B(1,0),C(0,22) (1)求边AB的高线的方程； (2)求边B的中线的方程： (3)求∠A的平分线的方程. 高二数学，第3页（共4页） 16.(15分).已知直线l:ax-y十√2-a=0(a∈R),圆O:x2+y2=4 (1)求证：无论a取何值，直线（均与圆O相交： (2)已知AC、BD是圆O的两条相互垂直的弦，且垂足为M(1,W2),求四边形ABCD 的面积的最大值。 17.(15分).如图，已知四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，CD⊥平面 PAD,△PAD是正三角形，E,F,G,O分别为PC,PD,BC,AD的中点. (1)求证：PO⊥平面ABCD; (2)求点A到平面EFG的距离； 《3)线段PC上是香存在点M,使得三校维M一-EFG的体职为号，言存在，水兴的值： 若不存在，说明理由. 18.(17分)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1、F:· 1FF2|=63,C:的长半轴与C2的实半轴之差为4，离心率之比为3：7. (1)求这两条曲线的方程： (2)求曲线C:以点M(4,2)为中点的弦所在直线的方程； (3)若P为两条曲线的交点，求∠F1PF?的余弦值. 7分).已知抛物线C:y=2pr(p>0)与双曲线号-=1在第一象限内的交点☑ 到原点的距离为√5· (1)求抛物线C的标准方程； (2)设直线l与抛物线C交于A,B两点，且直线MA,MB的倾斜角互补，求直线l的斜 率 高二数学，第4页（共4页）