11.1.6 柱、锥、台和球的体积课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11.1.6 柱、锥、台和球的体积 1. 掌握柱、锥、台和球体的体积的求法.（重点） 2.了解柱、锥、台和球的体积计算公式；能运用柱、锥、台和球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关的实际问题.（难点） 青藏铁路是西部大开发的标志性工程， 全长1142公里，是世界上海拔最高、 线路最长、穿越冻土里程最长的高原铁路. 青藏铁路 假设在青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫．路基的形状尺寸如图所示（单位：米），问每修建1千米铁路需要碎石多少立方米？ 想知道如何求吗？ 让我们一起来探索吧！ 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？ 高度、书中每页纸的面积和顺序不变 作图验证 祖暅原理 两等高的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等． 我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有着光辉的成就。祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献。祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理。 祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598年--1647年）提出上述结论。 （429年～500年） 1. 棱柱和圆柱的体积 s h S S 底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等 柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积. 底面半径是r，高为h的圆柱体的体积的计算公式： 2. 棱锥和圆锥的体积 类似的,底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等. V锥体= S为底面积,h为高. s s 等底面积、等高的锥体间的体积有何关系? 3. 棱台和圆台的体积 s s/ s s/ h x V台体= 上下底面积分别是S、S′,高是h，则 推 导 过 程 V台体= V柱体=sh V锥体= s s/ s s/ s S′=0 S=S′ 探究2 柱、锥、台的体积关系 4. 球的体积 R R 一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以其上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等. R R 例1. 如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. 解：已知长方体可以看作是直四棱柱ADD′A′－BCC′B′. 设底面ADD ′A′的面积是S，高为h， 则它的体积为 V=Sh. 因为棱锥C－A ′DD ′的底面面积是 S，高是h， 所以棱锥C－A ′DD ′的体积是 VC－A′DD′= 余下的体积是 所以 棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比是1：5. 例2.有一堆相同规格的六角螺帽毛坯如图，共重5.8kg.已知螺帽的底面六边形边长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm,这一堆螺帽约有多少个?(铁的密度是7.8g/cm3，π取3.14) 分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由比重算出一个六角螺帽毛坯的体积即可． V=3.74×103-0.785×103 ≈2.96×103（mm3）=2.96(cm3) 一个螺帽毛坯的体积为 约有毛坯 5.8×103÷（2.96×7.8)≈250(个) 答．这堆螺帽约有250个. 解答：V正六棱柱= V圆柱= 1．设六正棱锥的底面边长为1，侧棱长为 ，那么它的 体积为（ ） （A）6 （B） （C）2 （D）2 B 2.直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，已知点P、Q分别为AA1、CC1上的点，而且满足AP=C1Q， 则四棱锥B－APQC 的体积是（ ） （A） （B） （C） （D） B 4．把一个大金属球表面涂漆，需油漆2.4kg，若把这个金属 球熔化，制成64个半径相等的小金属球（设损耗为零），将 这些小金属球表面涂漆，需用油漆 kg. 9.6 3.正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 ，则它的体积是原来的（ ） （A） （B） （C） （D） B 5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 . 6．一个正方体的所有顶点都在球面上，若这个球的体积是V，则这个正方体的体积是 . 1.柱体、锥体、 台体的体积 锥体 台体 柱体 3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积和. 2.球的体积公式 $$