甘肃省靖远县第二中学2025届高三1月月考数学试题

普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟卷 数 学 本试卷满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答 案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 冠 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 如 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 散 一项是符合题目要求的， 1.若集合A={x|y=ln(2x-x2)},B={x|2r>1},则(CRA)∩B= A[2,+∞) B.(0,1] C.(-∞，0)U[2,+∞) D.(0,2) 2.复数之满足z(1十3i)=7十i,i为虚数单位，则在复平面内复数z对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量a=(m,一2)，b=(2,1),若a⊥b,则向量a在a十b上的投影向量为 A.(3,-1) B(层，-) c(,-) D.(1,-2) 4.已知角α的终边经过点A(1,2),将角α的终边按逆时针方向旋转B后得到的新 角的终边经过点B(1,-1),则anCa2 tan 28 A.1 B器 C.2 D贵 5.已知圆锥的侧面积与球的表面积都是π，若圆锥的底面圆的半径与球的半径恰好 也相等，则这个圆锥体积为 B.15x D.I⑤r 8 C 24 6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x十2)=f(-x),当x∈[-2,0]时， 2025 f(x)=一x2-2x,则对于=1,2,3，…，∑f(i)= A.-2 B.0 C.-1 D.1 7.已知函数f(x)=sinx,将函数f(x)的图象向右平移需个单位长度，再将横坐标 第1页（共4页） 缩短至原来的？（纵坐标不变），然后将纵坐标扩大至原来的2倍（横坐标不变）· 得到函数g(x)的图象，则当r∈[0,2π]时，曲线y=f(x)与y=g(r)的交点个 数为 A.3 B.4 C.6 D.8 8.对于任意的x∈(0，十o∞)，都有x2十.x一rln.r-3≥u.r十b≥一r2+4r-4恒成立 (a,b∈R).则+的值为 A.-2 B-2 C.-1 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知点P(a,b)是圆心为O的单位圆上一点，若直线l:ax+by=2,则 A.直线l一定不过点(1,1) B.直线l可能经过点(2,3) C.点(1,1)到直线l的距离的取值范围是[√2一1，W2] D.直线I所围成的图形是半径为2的圆 10.据调查数据显示，回收利用1吨废纸可以制造0.8吨好纸，可以减少砍伐17棵 大树，节省3立方米的垃圾填埋场空间，降低75%的污染排放，节约40%~50% 的能源消耗，并且每张纸至少可以回收两次.某再生纸生产工厂引人智能机器 人辅助再生纸生产.部分再生纸由智能机器人进行筛选，其中部分次品会被淘 汰，筛选后的再生纸及未经筛选的再生纸进入流水线由工人进行抽样检验.记 A表示事件“某再生纸通过智能机器人筛选”，B表示事件“某再生纸经人工抽 检后合格”.则 A.事件A与事件B是相互对立事件B.P(AB)=P(A)·P(B) C.P(B A)>P(B) D.P(AB)>P(A B) 11.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离 为3，过点F作直线1与抛物线C交于A,B两点，则 A.以AB为直径的圆与C的准线相切 B.AB|≥6 C.过A、B两，点分别作抛物线C的切线l1,l2,则l1,l2的交点在抛物线C的准 线上 D.若直线m与抛物线C交于M,N两点，且∠MON=90°，则直线m过定点 (6,1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)=a-m(a>0且a≠1)在区间[2,3]上单调递增，则a的取值范 围是 13.回文句是指正读和反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和 文字游戏，比如“我为人人，人人为我”.在数学中，回文数也有类似的定义.回文 第2页（共4页） 数是一种具有特殊性质的正整数，其特点是从前往后读和从后往前读都是一样 的.在数学中，回文数被定义为一个非负整数，它从左到右和从右到左读都是一 样的.例如，121、1331和12321都是回文数，则在三位数的回文数中，各个数位 上数字之和大于12的概率是 14.已知双曲线C:2-岸-1(6>0)的左、右焦点分别为F,F,过点F,作直线山 F,F2交C于A,B两点.现将C所在平面沿直线F,F2折成平面角为锐角α的 二面角，如图1，翻折后A,B两点的对应点分别为A',B,且∠A'F,B=B,若 25cosB-16cosa=9,则C的离心率为 .“祖暅原理”：幂势既同，则积不 容异.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任 意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这 两个几何体的体积相等.如图2，利用圆柱和 一个倒放的圆锥，计算将双曲线C与y=0, y=5所围成的平面图形（含边界）绕y轴旋转 一周得到几何体Γ，则几何体T的体积 为 图1 图2 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤。 15.(13分) 由于义务教育阶段“双减”政策的出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、 体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调 查问卷，整理后获得如下统计表： 喜欢奥数 不喜欢奥数 总计 已选奥数课(A组) 150 50 m 未选奥数课(B组) 90 200 总计 240 160 400 (1)求m,n的值； (2)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A 组、B组各抽取多少人？ (3)依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为选报奥数延时课与喜欢奥 数有关？ 附： a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Ta 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 n (ad-bc)2 参考公式：X=(a+b)0+)ac)6+D,其中n=a+b+c+d, 第3页（共4页） 16.(15分) 记Sn是等差数列{an)的前n项和，数列{bn}是等比数列，且满足a=5,S,=9, a1+b1=0,a2+b2=a3+b3=a4-3b. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： (2)若c,=nb。,求数列{c,的前n项和： ananil 3)求证：对于VnEN且≥2+发+号+叶发<寻 17.(15分) 已知函数f(x)=e-2十a.x十a3-2a,a∈R (1)当a=一1时，求曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线方程； (2)若函数f(x)的极小值小于0，求实数a的取值范围. 18.(17分) 已知椭圆C:三+￥1(@>b0)的左右焦点分别为F1,F2,上顶点为P. 长为4，且△PF1F2为正三角形 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点F1,斜率为√3的直线与椭圆相交于M,N两点，求MN的长； (3)若过点F1的直线与椭圆相交于A,B两点，且AF1=2FB,求直线AB的 方程. 19.(17分) 在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上 的动点，且EF∥AC,将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱 锥P-ACFE. (1)求证：EF∥平面PAC; (2)若BE=2AE,二面角P-EF-C是直二面角，求线段AP的中点M到平面 PEC的距离； (3)当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围. 第4页（共4页）普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟 参考答案 1.AA={x2x-x>0}={x|0<r<2}=(0,2),B={xx>0},∴.CRA=(-∞，0]U[2,+o∞)，.(CRA)∩B= [2,+o∞). 2D=待-沿器=1-2…在复平面内复数：对应的点1，一2位于第周象限 3.B由a⊥b,得a·b=2m-2=0,解得m=1,.a=(1,-2),.a+b=(3,一1)，∴.向量a在a+b上的投影向量 ”粉-希·8帚-（停号人 4.D 由题知，ma-3,mc+0=-1所以m=ama十0-]=品。=3，所以台- tan 28 tana一tanB 2-3 1+tana·tan3 1+6 2tanβ 6 211 1-tanB 1-9 5.D设圆维的底面圆的半径与球的半径均为，则球的表面积是4=x,解得r=号，设圆锥的母线长为，则圆 锥的侧面积是l=合=x,解得1=2，“圆维的高为h=一7=√4一工= 2 5,这个圆锥休积为 言产h=xx(3)广×雪= 24 6.Cf(x)是定义在R上的奇函数，∴.f(x十2)=f(一x)=-f(x),.f(x十4)=-f(x+2)=f(x),∴.f(x)的 周期为4.当x∈[0,2]时，-x∈[-2,0]，f-x)=-x+2x=-fx),…f(x)=x-2x,2f(i)=506[f1) +f(2)+f(3)+f(4)]+f(2025)=0+f(1)=-1. 7.C由题知，g(x)=2sin(3x-音)，在同一坐标系中，作出曲线y=f代x) 与y=g(x)在[0,2x]上的图象如图所示，由图象可知，当x∈[0,2x]时， 曲线y=sinx与y=2sin(3x-)的交点个数为6. 8.B记f(x)=x2十x-xnx-3,g(x)=-x+4x-4,令h(x)=f(x)- g(x)=2x-3x-xln+1,()=4z-In-4,(r)=4x-In- 4,则k'(x)=4->0,令()>0，得x>子，放(x)在(0，)上单调递减，在[}，十∞）上单调递增，又 h'(）=2n2-3<0,k'(e)=4>0,/'(1)=0,.3xm∈(0，)，'(z)=0,∴h(x)在(0，xm)上单调递增， 在(m,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，，h(x)=2x2一3.x一xnx+1=(2x一1)(x一1)一xnx,当x∈ 第1页（共6页） (0,号)时，h(x)>0,又当x∈(，+o∞)时，h(x)≥h(1)=0,又∈(0，)，∴h(x)≥0在(0，十o∞)上恒成立， 当且仅当x=1时等号成立，∴f(x)与g(x)有唯一交点(1，一1).∴y=a.x十b为f(x)与g(x)在x=1处的公切 线时，才能使原不等式恒成立，此时a=了)=2.6=-3+名=一 9.ABD由题意，设a=cos0,b=sin0,直线l:xcos0叶sin0=2(0∈R),对于A,a+b=cos0+sin0-2sim(0+于) <厄<2，放A正确：对于B.2a+3b=2cos0+3n0=5sim(0+p)∈[-B,VB],且amg=号，又2∈ [一√13，√13]，所以直线1可能经过点(2,3)，故B正确：对于C,点(1,1)到直线l:xcos0+ysin0=2(0∈R)的 距离d=lcs9+sm0二2=2一2sim(0叶子)川∈[2-厄，2+2]，故C错误：对于D,原点0(0,0)到直线1： Vcos 0+sin0 xcos0+ysin0=2的距离为- 2 =2,故直线（所围成的图形是半径为2的圆，故D正确 cos20+sin0 10.CD对于A,事件A与事件B可同时发生，枚事件A与事件B不是相互对立事件，故A错误：对于C,由题意， 在引入智能机器人辅助再生纸生产后，其中部分次品会被淘汰，则某再生纸在第一次筛选（智能机器人筛选）合 格的情况下，再通过第二次筛选（人工抽检）的概率要大于其直接进行第二次筛选（人工抽检）的概率，即 P(BA)>P(B),故C正确：对于B,由P(AB)=P(A)·P(BA)>P(A)·P(B),所以P(AB)>P(A)· P(B),故B错误：对于D,又P(AB)+P(AB)=P(A)·P(B引A)+P(A)·P(B|A)=P(A),所以P(AB)> PB·[PAB+PAB].即PAB)-PAB·PCB)>P.PAB.所以0>P品，脚% P(B) >PAB,所以P(AB)>P(AB),故D正确. P(B) 1.ABC由题知p=3,所以抛物线C:y=6,F(号，0)，对于A,如图，设AB中点为G,分 别过点A,B,M向准线作垂线，垂足为A1,B,G,则由抛物线的定义可得，AF= |AA,BF=BB,因为AB中点为G,所以GG=AABB=1AF+BE 2 =AB,所以以AB为直径的圆与C的准线相切，故A正确：对于B,由题知，直线1斜率 2 3 不为0，设4x=m叶号，设A),B(),联立 =m+受'消去x可得y2-6my-9=0,则△=（一 y2=6.x, 6m)2+36=36m2+36>0恒成立，可得y1十边=6m1yy2=一9，则x1十x2=6+3,所以AB=x1+x2+p= 6m+6≥6，当且仅当m=0时取等号，故B正确：对于C,易知抛物线C在点（告）处的切线方程为x=学y ,联立 6'消去x得y一2y十8=(y一%)=0，可知方程组只有一个解，即直线x=学y 2=6x, 普与抛物线C相切，可知抛物线C在点A,B处的切线方程分别为x=学y一普x=学y一普，联立 第2页（共6页） 68 解得 即44的交点为N(g,”产)，结合选项B可得g=。=一号，所 6 6 y=边土边 6 2 以点V在抛物线C的准线x=一 上，故C正确：对于D,由题知，直线m斜率不为0，设m:x=心y十a,设M (告)N(告）40，则Oi=(告)，O成=（倍，w),若∠M0N=90,则Oi.O成=+为 36 x=y十a =0,解得为=一36或y为=0（舍去），联立 消去x可得y2-6ny-6a=0,则为y=一6a=-36, ly=6r. 解得a=6,此时△=(-6m)2+4×36=36m2+144>0,符合题意，所以OM⊥ON,则直线m过定点(6,0)，故D 错误. 12.(o,号] 因为函数f(x)=a@(a>0且a≠1)在区间[2,3]上单调递增，y=√/个一a匠在[2,3]上单调递 0<a<1 减，所以0a<1,且y=1一ax在[2,3]上大于等于0恒成立.所以 1-3a≥≥0 1a 三位数的回文数数字特征：百位与个位相同，放三位数的回文数有C·C=90(个)，当百位数字为1时， 满足各个数位上的数字之和大于12的有0个，当百位数字为2时，满足条件的有1个，当百位数字为3时，满足 条件的有3个，…，故满足各数位上的数字之和大于12的三位数的回文数有1+3+5+7+9十10×3=55，故各 个数位上数字之和大于12的概率P-品-品 143要AB1FF,将=c代入双曲线方程x-苦=1，可得)=士，AF,=BF:=,由题知， 24 △A'BF1,△A'BF2均为等腰三角形，且A'F=BF,A'F:=B'F:,在△A'BF2中，A'B12=() +(6)2-2()2·osa,在△ABF:中，A'B'12=(2+F)2+(2+)2-2(2+)2·cosB,.(b)·(1 0=2+1-o.:5o产16msa=9影-2=（停+1）广-瓷解得分=8，所 以=心+=9，所以C的离心*为e=台=3.把y=5代人-首=1，得2=受，令圆柱的底面半径为1， a 高为5，倒置圆维的底面半径为7，高为5。则对任痘的0心≤5，双曲线旋转体的截面面积为8+修江，圆柱 8 的截面面积为元设圆锥的截面半径为，则三一号，解得，一 2万圆锥的截面面积为。冬，“双曲线旋转 8 22 体的截面面积等于圆柱的截面面积与圆锥截面面积的和，∴.双曲线旋转体的体积=圆柱的体积十圆锥的体积， ∴所求几何体厂的体积V=5m+125x_245 24 24 15.解：(1)1=150+50=200，… 1分 =160-50=110, 2分 (2应在A组抽取器×150=20人， 4分 第3页（共6页） 应在B组抽取是X90=12人， …6分 (3)零假设为H%:选报奥数延时课与喜欢奥数无关联，……7分 根据列联表中的数据，经计算可得X=400X050X090X50)=37.5>7.879,…10分 200X×200×240×160 根据小概率值α=0.O05的独立性检验，我们推断零假设不成立，… …11分 即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.…13分 16.(1)解：在等差数列{an)中，Ss=a1十a2十ag=3a2=9,解得a2=3,而a1=5,…1分 则数列{an}的公差d=ag一a2=2,通项公式为an=a2十(n一2)d=21一1.…2分 由a1十b=0,得b=一1，令等比数列{ba}的公比为q, 由ag+b=a+b=a4一3b,得3-q=5-￠=7+3g,解得q=一1， 3分 所以数列{b,}的通项公式为bn=b1=(一1)”。…4分 《2解：曲a6=产D=(六十） …6分 所以数列1c)的前和项和工=[-1-吉+号+号吉++片+] -1+]=+ …9分 (3)证明：由(1)知S=1+(2卫.=， 2 10分 当≥2时安=<古wm而号（片）小 …12分 所以哈++安++<1+号-+号+吉+…+气+) =1+2(受-)1+是=子 15分 17.解：(1)依题意，函数f(x)的定义域为R, 当a=一1时，f(x)=e-2一x十1，则f(x)=e一2-1， 1分 (3)=e2-9-1=e-1,f(3)=e-2,…2分 所以曲线y=f(x)在点(3，f(3))处的切线方程为y一(e一2)=(e一1)(x一3)，…4分 即y=(e-1)x-2e十1.… …5分 (2)由题意得，子(r)=e-2+a,当a≥0时，f(x)=e2十a>0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增，此 时函数∫(x)不存在极值，不合题意.… …6分 当a<0时，令广(x)=e-+a=0,即e-=一a,则x=2十ln(-a). 当x∈（一o∞，2十ln(一a))时，广(x)<0,函数f(x)单调递减： 当x∈(2+ln(-a),十o∞)时，∫(x)>0,函数f(x)单调递增. 所以函数f(x)在x=2十n(一a)处取得极小值，…7分 f(2+In(-a))=-a+2a+aln(-a)+a-2a=a+aln(-a)-a. 8分 又a<0,则a3十dln(一a)一a<0等价于a2十n(一a)一1>0.…9分 第4页（共6页） 令g(x)=x2+ln(-x)-1,x<0, 则g(x)=2十子<0，所以函数g(x)在(-6∞，0)上单调递减， 又g(-1)=(-1)2+ln1-1=0,所以当x∈(-o∞，-1)时，g(x)=x2+1n(-x)-1>0,当x∈[一1,0)时， g(x)=x2+ln(-x)-10, 故不等式a2十n(一a)一1>0的解集为（一∞，一1）， 故实数a的取值范围是（一0，一1）.… 15分 2a=4, a=2, 18.解：(1)依题意可得 解得 所以b=√a2-=5,…2分 2c=a, c=1, 椭圆的标准方程为天十艺-1，一 0 (2)由(1)知，F(一1,0)，故该直线为y=√5(x十1)，…4分 y=3(x+1), 8 由 …6分 +号=1， 消去y可得52+8x=0,故m=-号，m=0, 所以MN=+1x-=√+(·-号-0= …9分 (3)显然直线AB的斜率存在（否则AB⊥x轴，根据对称性，A市=FB,与题设矛盾）， 设A(,为)，B(2,),直线AB的方程为y=k(x+1), y=k(x+1), 三+受L消去y得4十3)r+8张十4状-12=0，显然0， 由韦达定理可得：十=一牛①一纸背 8k2 4k十3 11分 由A下=2FB,得(-1-x1,-y)=2(2十1，y)故1十2=-3②， 由①②得x2= 4k2+30=- 4k2十9 4k2-9 4k2+3' …13分 故x1=46+9)(4k-92=4地-12 (4k2+3)2 4k2十3' 14分 即16k一81=(4k2+3)(4k2一12)，化简可得4k=5,解得k=士 16分 故直线AB的方程为y=士号（x十1). …17分 19.(1)证明：如图①，在四棱锥P-AEFC中，EF∥AC,而ACC平面PAC,EF亡平面 PAC,所以EF∥平面PAC.…2分 (2)解：由AC⊥BC,EF∥AC,得EF⊥BC,折叠后，在四棱锥P-AEFC中，EF⊥ FC,EF⊥PF,由二面角P-EF-C是直二面角，即平面PEF⊥平面EFC, 平面PEF∩平面EFC=EF,PF⊥EF,PFC平面PEF,PF⊥平面EFC, CFC平面EFC,PF⊥CF.… …3分 第5页（共6页） 以FE,FC,FP分别为工，y,:轴建立空间直角坐标系，如图②，则A(2,号，0， P(0,0,号)，C(0,号0)，E(侍0,0)M(1,3,号) P心-(o,号-寺).C正-（告号0）.pi=(1,3号) …4分 mP元=号y=0 设平面PCE的法向量为m=(x,y,之)，则 令x=1,得m=(1,2,1), 6分 故点M到平面PEC的距离为d=P或：ml=上一6 m6 6 …8分 (3)解：以直线CA和CB分别为x,y轴，过C作平面ACFE的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 设P(0,s,u),F(0,t,0),D(一1,0,0)，A(一2,0,0)，E(1-2,1,0),由对称性，不 妨令>0， Ai=(,0),Pi=(-1,-s,-), A正，P=-1-=0,得s=-1,则P(0,-1,),则P克=(1-2，t十1，-u), 点P与其在直线FC上射影点及点F围成以线段PF为斜边的直角三角形， 则+(1+1)2=(2-)2，即2=3-6，且2->+1且>0，即0<<2 ……11分 平面ABC的法向量为n=(0,0,1),设直线PE与平面ABC所成角为B, inf=|cos(P2,ml=P座·nl- |PE|n/(t-2)2+(t+1)+W 3-6 3-6t=6(1-212 6(1-21) 6 则simB=2-)++)+3-6-20-8+8-(21-4=[3+(1-2)厅 1-2)+2+6 小…14分 令1-21=X∈(0,1)，函数f(x)=A+号+6在(0,1)上递减，f()>f1)=16, 因此1-2)+2十6>16，期0<r<是，解得0<血9乐， 所以直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围是(0，） …17分 案第6页（共6页）