甘肃省靖远县第一中学2024-2025学年高三上学期1月高考模拟数学试卷

高考模拟卷·数学 (120分钟150分) 考生须知： 1.本卷侧重：高考评价体系之应用性 2.本卷怎么考：①考查数学文化及德智体美劳的实际应用（题7）：②考查与国家经济社会发展，科 学技术进步、生产生活相关的实际应用（题5）. 3.本卷典型情境题：题5、7、14、19. 4.本卷测试范围：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.已知集合A={x2<2,集合B={-2,-1,0,6,则AnB= A.{6} B.{-2,-1} C.{-2,-1,6} D.{-2,-1,0,6} 封 2.已知复数名=1十2i,z2=1一√3i,则 A.|a|<|z2| B.la|>|z2 C.1>2 D.1<z2 3.已知向量a=(3十λ，4)，b=(-1,1),若a∥b,则a·b= A跨 B C.-2 32 5 D 线 4设等比数列a,}的前n项和为S.,若a,=1,aa=27,则2- A司 B品 5.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况： 加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米 2024年8月1日 20 26000 2024年8月10日 45 26500 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 第1页（共8页） 在这段时间内，该车每100千米的平均耗油量为 A5升 B.6升 C.9升 D.11升 6.若ina-cosa=号e∈(x,2m,则sin(a+） A2 3 B-22 3 c将 D.-2 0 7.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表 面积增加了 A.108-72√2 B.81-542 C.54-36√2 D.30-18√2 8.已知函数f(x)=x2+1(x≥0)，g(x)=aex(a>0),点P,Q分別在函数y=f(x)和 y=g(x)的图象上，O为坐标原点，若存在点P,Q满足∠POQ=90°，则a的最大 值为 A 4e c号 2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分， 9.利用信息技术工具，根据给定的a,b,c,d的值，可以画出函数f(x)=ax3+bx2+cx 十d(a≠0)的图象.在以下四个组合中，可使得函数f(x)在R上单调递增的有 A.a=3,b=3,c=1,d=-9 B.a=4,b=6,c=2,d=7 C.a=2,b=3,c=4,d=5 D.a=-2,b=3,c=-4,d=-1 第2页（共8页） 10.如图，已知抛物线y2=4x,圆(x一1)2+y=1,过抛物线的焦点F的直线l自上而 下分别交抛物线与圆于A,C,D,B四点，则 A.IACI·|BDI≥2 B.IOFI·|AB|≥4 C.1OA|·IOB|≥5 D.A丽十B丽≥2 1 1.已知函数fx)=2sin(ax+p)+(o>0,lp<受，t长Z)有最小正零点子，f(0)= 1,若f(x)在(4，号)上单调，则 A.w=π 8w-3数 C.f(9)=1 D.f(9)=-1 题序 4 5 8 9 10 1 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12设椭圆E:聋+芳-1(0<<2)的左右焦点分别为F,R,若E上有且仅有2个 点P,使得|OP|=c,其中c为椭圆的半焦距，O是坐标原点，则△PFF2的面积为 2rx-a-2,x<2, 13.已知函数f(x)= 恰有三个零点，则实数a的取值范围是 lnx-2,x≥2 14.已知有编号为1,2,3,4,5的5把锁和对应的5把钥匙.现给这5把钥匙也贴上编 号为1,2,3,4,5的5个标签，则共有 种不同的贴标签的方法.若想使这5 把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁，则有 种不同的贴标签的 方法.（本题两个空均用数字作答） 第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知5sin2B+5sin2C=5sinA+ 6sin Bsin C. (1)求sinA的值； (2)若sinB=3sinC,求sinB,并判断△ABC的形状. 16.(15分) 已知函数f(x)=xe-1-2, x十a(a≠0). (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)若Hx∈[0，十∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰 直角三角形，且∠PAD=,F为棱PC上的点（异于端点），平面ADF与棱PB交 于点E (1)求证：EF∥平面ABCD. (2)若器-号，且平面PAD.L平面ABCD,求异面直线PB与DF所成角的余 弦值. E 18.(17分) 已知双曲线C芹芳=1(a>0,b>0)的离心率为2，点（3，-1D在双曲线C上， 过C的左焦点F的直线！与C的左支相交于A,B两点，且l分别交C的两条渐近 线于M,N两点. (1)求双曲线C的方程： (2)若O是坐标原点，|MN|=8√6，求△MON的面积； (3)已知点P(一4,2)，直线AP交直线x=一2于点Q,设直线QA,QB的斜率分 别k1,k2,求证：k1一k2为定值. 19.(17分) 甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲手中的3张卡片的颜色为 1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色.现在两人各从自己的卡片 中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片 x张，恰有2张银色纪念卡片的概率为p,恰有1张银色纪念卡片的概率为g (1)分别求2,92的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0 张，并求首次出现这种情况的概率p. (2)记an=2pn十qm. 弥 (i)证明数列{an一1}是等比数列； (ii)求xm的数学期望.（用n表示） 封 线 第8页（共8页）高考模拟卷·数学 参考答案 题序12345678910 11 答案C BAD CDADAC BCBC 1.答系C 图题费预集合A={女士<2=女r<0或>}，放AnB=(-2,-1,6. 2.离率B 解题分析虚数不能比较大小，|=√+2=5,2|=√1十（一5）”=2，故>. 3.客票A 图题酚因为a/b,所以3十A=一4以，解得入=一号，所以a·6=一(3十A》十4以=-兰. 4.客系D 照票分记等比数列a}的公比为q,因为aa,=a山=27，所以=27=ag,解得g=3,所以受=千 中 5.C 照份由表申的数搭可知该车行骏了500千米，耗油量为45升，则该车每100千米的平均耗油量为智 9升. 6.路索D 解题分析因为(sina一cosa)2=1一2 sin acos a= 名·所以2血0sa-筹>0， 又因为a∈（π，2x),所以sina<0,cosa<0, 所以（sina十=1+2snac0sa-是，即sa十osa=- 房以(+子)=号(n叶os= 72 101 7.离系A 题分析如图，转动了45后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积，显然小三角 形为等腰直角三角形， 设其直角边为则斜边为2，则2x+厄x=3,解得r=33 由儿何关系得1个小三角形的面积为S=(3-3号)-孕-9号 所以增加的面积为S=16S,=16(空-号）)=108-72厄. 8.客察D 爵题分析令P(x1,x号+1)，Q(,ae2),由题意得O庐·0-=x十ae2(+1)=0, 显然x12≠0，且>02<0a= h‘音令G)=吉>0，则G)= 参考答案第1页（共5页） 当0<x<1时，G(x)>0,函数G(x)单调递增，当x>1时，G(x)<0,G(x)单调递减，因此G(x)m=G(1)=, 所以0<G<是，所以0<e号< 雨0升≤会=分，当且仅当=1时等号成立， 所以0<有'。号≤记，即0<a≤记故选D 9.高室AC 解题分因为f(x)=a.x十x十cx十d(a≠0)，所以了(xr)=3a.x+2hx十c(a≠0)，当a>0且？一3a≤0时， 广(x)>0,则f(x)在R上单调递增，通过一一验算，可知A,C项正确.故选AC 10.BC 解题分标由题知F(1,0).设直线1的方程为x=y十1，A(x1,为)，>0，B(,为)，>0， Jx=y十1， 抽y=4 消去x,得y2一4my-4=0,所以y十为=4m,M为=一4. 由抛物线的定义知AF例=十专=十1，BF到=十1， 因为|AC|=|AF|-1,|BD=|BF|-1, 所以AC1·BD1=(AF-1)BF-1)=I1x=兰，兰=1，放A项错误： 4 AB=1十x十2，所以|OF·AB=x1+n+2≥2T1x2十2=4，当且仅当D=x2=1时等号成立，故B 项正确： OA·|OB=√/+y·√+5=+4·十4=√ix+4x1x2(x1十+4)， 由上述分析知=1，十≥2x2=2,当且仅当==1时等号成立， 所以OA·OB|≥5，故C项正确： 雨+你+有流异中号1：放D项错说 11.高索BC 醒题纷析由f0)=2sinp十1-1，g<受，知1(1-厄，1+2)， 2sin(2十p+1=0,得1[-2wE],故(1-22， 叉因为1∈Z,所以t=0或1=1. 当1=0时，ng-号，-音<g<受，所以g=吾，)=厄sn(r十吾)w>0, 因为面数)有最小正零点子，所以子。十子=标k∈N,所以m=号x吾∈N,由题意知子≥号-4 =号，则T=红≥l,即w≤2x,故w=,x)=Esin(x+平）》 当(4，号)时十吾∈(，1），函数)不单调，排除。 当1=1时，血g=0,-受<g<受，所以g=0,可得血是=一号。 因为w>0,所以是=2kx+乎，k∈N或子w-=2张x+牙，kEN, 所以w=号x+受k∈N或。广亭x+号EN,由ow<2,得w-钙 所以f)=厄sn受x十1，经验证，特合题意，故/(9)=厄sinl5x十1=1.故选C 12.答率2 解题分析由椭国上有且仅有2个点P,使OP|=c,结合椭国的对称性可知b=, 参考答案第2页（共5页） 因为a=2,所以(-号a=厅，此时点P在着圆的短轴端点处，所以5所5-女-2 13.2(-∞，） 解题分析当x≥2时，令lnx一2=0，得x=C>2,可知函数f(x)在[2，十o)上有一个零点，则f八x)在(-∞， 2)上有两个零点，即当x<2时，方程2=2有两个不同的根，即函数g(x)=x(x一a)一1在（一∞，2）上有 两个家点：者=受则（号）一号-1<0结合通英尚图象可得学2解得号 g(2)>0, 14.s离12031 解题分福第一个问题等价于将五个数进行全排列，即A3=120. 第二个问题可分为三类：①有2把能打开贴有相同标签的锁的情况有C×2=20种： ②有3把能打开贴有相同标签的锁的情况有C×1=10种： ③有5把能打开贴有相同标签的锁的情况有C=1种. 综上，总共有20+10+1=31种. 16.照要分(D由正弦定理得5冰+5=5a+6k,得公+-a2=号c, 由余弦定理得sA公士=号，雨AE(0,, 所以inA=FosA-√-(g)=青 …4分 (2)由(1)知smA=号，osA=是，在△ABC中，B=x-(A+O, 所以sinB=sin(A+C=sin Aos C+oAsin C-音osC+是sinC, 因光3nC=吉casC+是snC.即osC=3inC 又因为sirC十osC=1,所以simC=,而simC>0, 所以nC=晋，故血B=3nC=3 10 由正弦定理得ab:c=sinA:simB:simC=8:30:10,可知角B最大， 因为a+-6<0,所以sB=+龙<0，所以Be(受x小： 2ac 故△ABC是锐角三角形.… …13分 16.解题分析(1)当a=1时，f(x)=xe-1一2x十1，则了(x)=(x十1)e-1一2，了(1D=0, 当x>1时，f(x)>0,f(x)单调递增： 当x<1时，f(x)<0,f(x)单调递减. 故f(x)的单调递减区间为（一，1），单调递增区间为(1，十).…5分 (2)若Hr∈[0，十o∞)，f(x)≥0恒成立， 则f10=a+2a-D≥0，且f0)=a>0,可知4≥1. 下面证当a>1时，f(x)≥0， 令h(a)=xc1二二x十a,a>1,则问题转化为证h(a)≥0 由h(a)在[1，十c∞)上单调递增，得h(a)≥xe-1-2r十1， 令G(x)=xc-2x+1,x>0, 由(1)知G(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 所以G(x)≥G1)=0,所以h(a)>0,证毕 参考答案第3页（共5页） 综上所述，实数a的取值范围为[1，十∞). …15分 17.解题分福(1)因为底面ABCD是正方形，所以AD∥BC, 因为BCC平面PBC,AD女平面PBC,所以AD∥平面PBC 又因为ADC平面ADFE,平面ADFE∩平面PBC=EF,所以EF∥AD, 因为ADC平面ABCD,EF中平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD.…6分 (2)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊥AD,PAC平面PAD,所以PA⊥平面 ABCD,又由四边形ABCD为正方形，得AB⊥AD. 以A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、：轴建立如图所示的空 间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0). 器-号，易得（号吕》又因为球=市-(o,号.o小 所以F(号号，）， 所以D亦=(g，9）,P市=(2,0，-2. 设异面直线PB与DF所成的角为O, 16_20 D亦.p克 99 则cos0= 33 IDFPBI 266×22 66 9 放异面直线PB与DF所成角的余生位为震 …15分 18.解题分析(1)由双尚线C的离心率为√2，且点(3，一1)在双曲线C上， 可得二台一厅，郑得一8.=8.所以双油线C的方程为号苦=L…3分 c2=a2+6, (2)设M(,),N(如)，由(1)可知双曲线C的左焦点为F(一4,0)，所以可设直线I的方程为x=my一4， 当m=0时，易知MN=8,不合题意，故m≠0. 由 x-y=0, y=士x 即 x=my-4. lx=my-4. 清去得y共中0<m<1, 记直线1的倾斜角为a,由ma=,得sma= 十m n一N血，用高没每释-子合去减时-子 所以1y-为=16，款5aw=号×4X1-为=7×4×16=32 (3)由题意设直线l的方程为x=my一4(m≠0)，设A(为)，B(x,当)， 由直线AP:y-2=1(x+4),得Q(一2,2+2k1), 男学又6-o-a青-子 +2 x3+41y 所以k-每=当二2-业二2-2=5-2D(my-2)-my(y-2-2k m为y-2 m为(y一2) =一2my一2y+4十2my+2mk1当 m3为(my-2) 参考答案第4页（共5页） 由8清去，得(m-1D一8mwy+8=0,其中0m㎡< 则4=32m+32>0,%十=2=8，所以为十美=m. 8 因为=二2，所以m1为=为一2， 3为 2m(二y)=2(y=4=2(二2=-2， 所以一=网mm一云-为十一29 一h 即k1一为定值. 17分 19.解题分析(1)根据题意，p2表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片： 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片 则A=号×号=了=号×号-子 A=×号×号+×号×号×+号×号- 3分 表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片： 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片，乙交换金色卡片， 则=×号×是+×（号×+号×号）=子×号+号×号-品 …分 结合少十9=1，可知交换一次不会出乳=0的情况，雨：十9一器，如操作两次甲手中的银色纪念卡片就 可能首次出现0张，共概率为p=1一A一= …7分 (②)D题意可得A1=AX×号十，X号×号-A十号a, 91=A×号×号+X(号×号+号×号)+0-A-w)x号×号 99+2 1 则a=+=音a=2孙+a=号+十号-+号， 所以a1-1=号a,-10a-1=子， 所以数列a,一1)是首项为号，公比为号的等比数列. …13分 (D由D知a-1=,所以a,=+1 x的所有可能取值为0,1,2， 其分布列为 w 0 1 2 P 1-pm一n 名 Pa 从雨Ex)=2p.十g=号十1.… …17分 参考答案第5页（共5页）