青海省西宁市2024-2025学年九年级上学期期末调研测试数学试题

2024-2025学年青海省西宁市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是(    ) A. B. C. D. 2.下列语句所措述的事件中，必然事件是(    ) A. 经过红绿灯路口，遇到红灯 B. 小明买1张彩票，中500万奖金 C. 13个人中至少有2人的生日在同一个月 D. 十拿九稳 3.在平面直角坐标系中，的圆心在原点，半径为5，则点与的位置关系是(    ) A. 点P在上 B. 点P在内 C. 点P在外 D. 无法确定 4.若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值为(    ) A. B. 1 C. D. 0 5.二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法准确判断 6.若正六边形的边长为2，则其内切圆半径的大小是(    ) A. B. 1 C. 2 D. 7.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.如图，以O为原点，原点与水流落地处所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.水流喷出的高度单位：与水平距离单位：之间的函数关系式是下列结论错误的是(    ) A. 水管OA的高度为3m B. 喷出的水流在距水管1m处达到最高 C. 喷出的水流最高是3m D. 水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外 8.如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为4，AC与MN在同一条直线上.开始时点A点M重合，沿MN所在直线匀速向右移动，当点A到达点N时停止.在此过程中，设两图形重合部分的面积为y，线段MA的长为x，则y关于x的函数图象大致是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.方程的根是______. 10.一元二次方程的两根互为倒数，则______. 11.口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黑球的概率是______. 12.若二次函数的图象与x轴交于，B两点，则点B的坐标是______. 13.已知，则          . 14.如图，AB是的直径，AB平分弦CD，交CD于点E，，用的半径长为______. 15.如图，将沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若的半径为3，则的长为______. 16.一个直角三角形的两条边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是______. 17.如图，AB与相切于点B，弦，连结AC，若的半径为，则图中阴影部分的面积______. 18.二次函数，当自变量x的值满足时，其对应的函数值y的最大值为，则a的值是______. 三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题4分 解方程： 20.本小题6分 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球、它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和 从乙口袋中随机取出一个小球，上面恰好是元音字母的概率是______； 从三个口袋中各随机取出一个小球，用画树状图的方法求取出的3个小球上全是辅音字母的概率，并写出所有等可能得结果. 21.本小题6分 元旦期间，数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，共发了210条祝福短信，问这个数学兴趣小组有多少名学生？ 22.本小题6分 已知四边形ABCD内接于，且已知；请仅用无刻度直尺完成以下作图保留作图痕迹，不写作法，写明答案 在图1中，已知，在上求作一个度数为的圆周角； 在图2中，已知，在上求作一个度数为的圆周角． 23.本小题8分 足球射门训练中，足球行进高度单位：与水平距离单位：之间是二次函数关系.球员从球门正前方8米处的A点射门，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.如图，现以O为原点建立平面直角坐标系. 求y关于x的函数解析式； 已知球门OB高为米，通过计算判断球能否射进球门忽略其他因素 24.本小题8分 如图，AB是的直径，AC和BD分别与相切于A，B两点，OC平分 求证：CD是的切线； 若，，求的半径长. 25.本小题8分 如图，二次函数的图象经过点，和原点 求二次函数的解析式； 点P为直线OA上方二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，交直线OA于点C，当时，求点P的坐标. 26.本小题10分 综合与实践 【问题提出】 如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在边BC，DC上，且，求证： 【思路梳理】 我们可以利用本学期学习的旋转变换，将三条线段MN，BM，DN转化到同一个三角形中将下列分析过程补充完整 证明：将绕点A顺时针旋转得到 ______≌______， ，，，， 正方形ABCD，， ，，B，E三点共线， 只需再证______≌____________ 可得， ， 【类比引申】 如图2，在四边形ABCD中，，，点M，N分别在边BC，CD上，且，则结论是否仍然成立？并说明理由； 【联想拓展】 如图3，在中，，，点D，E在BC边上，且，则BD，DE，EC满足的数量关系是______. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选： 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2.【答案】C  【解析】解：A、经过红绿灯路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； B、小明买1张彩票，中500万奖金是随机事件，不符合题意； C、13个人中至少有2人的生日在同一个月是必然事件，符合题意； D、十拿九稳是随机事件，不符合题意； 故选： 根据事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3.【答案】A  【解析】解：点P的坐标为， 的半径为5， 原点P在上． 故选： 先根据勾股定理求出OP的长，再与的半径为5相比较即可． 本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：根据题意得，， 解得， ， ， ， 故选： 根据常数项为0得出，求出a的值，再根据二次项系数不为0得出，即可确定a的值． 本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，正确计算是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：一元二次方程的根即为二次函数的图象与x轴的交点的横坐标， 结合图象，可知二次函数的图象与x轴没有交点， 方程没有实数根， 故选： 一元二次方程的根即为二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，结合图象即可得到答案． 本题考查抛物线与x轴的交点，根的判别式，解答本题的关键是掌握二次函数的性质． 6.【答案】A  【解析】解：如图，是正六边形的内切圆，H是切点， 连接OA，OB，OH， ， ，， 是等边三角形， ， ， 正六边形的边长是2， ， ， 内切圆半径是 故选： 如图，是正六边形的内切圆，H是切点，连接OA，OB，OH，得到，判定是等边三角形，由，求出，即可得到内切圆半径是 本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是判定是等边三角形，求出OH的长． 7.【答案】C  【解析】解：当时，，即水管OA的高度为3m，故选项A不符合题意； ， ， 抛物线开口向下，函数有最大值，顶点坐标为， 喷出的水流在距水管1m处达到最高，喷出的水流最高是4m，故B选项不符合题意，C选项符合题意； 当时，， 解得不合题意，舍去，， 水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外，故D选项不符合题意． 故选： A、把代入即可得到结论；B、C、把化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；D、解方程即可得到结论． 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 8.【答案】D  【解析】解：由题意可得，y与x的关系式为 故选： 先写出y与x的关系式，进而得出答案． 本题主要考查动点问题的函数图象，写出函数关系式是解题的关键． 9.【答案】，  【解析】解：， ， 则或， 所以， 故答案为：， 利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 10.【答案】1  【解析】解：由题意可知：两根之积， ， ， 故答案为：1 根据根与系数的关系即可求出c的值． 本题考查根与系数的关系，属于基础题型． 11.【答案】  【解析】解：根据概率公式摸出黑球的概率是 让1减去摸出红球和白球的概率即为所求的概率． 用到的知识点为：各个部分的概率之和为 12.【答案】  【解析】解：由抛物线的解析式可知对称轴为直线， ，A，B关于对称， ， 故答案为： 根据二次函数的性质解决问题即可． 本题考查抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13.【答案】8  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么把已知条件两边开方得到，然后根据非负数和的性质求解． 【解答】 解：， ， 或舍去 故答案为 14.【答案】5  【解析】解：如图，连接设 平分弦CD， ，， 在中，， ， 解得 故答案为： 如图，连接设利用勾股定理构建方程求解． 本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 15.【答案】  【解析】解：连接OA、OB，作于C， 由题意得，， ， ， ， ， 的长， 故答案为： 连接OA、OB，作于C，根据翻转变换的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据弧长公式计算即可． 本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键． 16.【答案】6或  【解析】解：， 或 ①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是； ②当长是4的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是 故答案为：6或 先解出方程的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解． 本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：连接OC，作交CB的延长线于点D， 与相切于点B， ， ， ，， ，， ， 的半径为2， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为： 连接OC，作交CB的延长线于点D，由AB与相切于点B，得，由，得，而，则是等边三角形，所以，因为，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：， 函数为常数，且的大致函数图象如图所示， 在自变量x的值满足时，其对应的函数值y的最大值为， 当时，，即， 解得 故答案为： 根据函数解析式画出函数的大致图象，结合图象解题． 本题考查了二次函数的最值，解题时可采用配方法和数形结合的数学思想，使问题变得形象化，简单化． 19.【答案】解：， ， ， 则， 所以  【解析】利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-公式法，熟知公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 20.【答案】  【解析】解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中上面恰好是元音字母的结果有1种， 从乙口袋中随机取出一个小球，上面恰好是元音字母的概率是 故答案为： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上全是辅音字母的结果有：，，共2种， 取出的3个小球上全是辅音字母的概率为 所有等可能得结果有：，，，，，，，，，，， 由题意知，共有3种等可能的结果，其中上面恰好是元音字母的结果有1种，利用概率公式可得答案． 根据题意画出树状图，即可得出所有等可能的结果以及取出的3个小球上全是辅音字母的结果，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21.【答案】解：设这个数学兴趣小组有x名学生，则每名学生需发送条祝福短信， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：这个数学兴趣小组有15名学生．  【解析】设这个数学兴趣小组有x名学生，则每名学生需发送条祝福短信，根据这个数学兴趣小组共发了210条祝福短信，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22.【答案】解：如图1所示：或； 如图2所示：  【解析】此题主要考查了复杂作图以及圆周角定理，正确应用圆周角定理是解题关键． 连接BD，或，利用圆周角定理结合圆内接四边形的性质得出答案； 过点A作的直径AE，连接AC，CE，，则，利用圆周角定理得出直径所对圆周角是90度进而得出答案． 23.【答案】解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线 ， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； 当时，， ， 球不能射进球门．  【解析】用待定系数法即可求解； 当时，求出y的值与比较即可． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． 24.【答案】证明：作于点E， 与相切于点A， ， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， 点E在上， 是的半径，且， 是的切线． 解：作于点F，则， 、BD、CD分别与相切于点A、B、E，，， ，，，， ， 四边形ABDF是矩形， ， ，， ， ， 的半径长为  【解析】作于点E，由切线的性质得，则，而，，可根据“AAS”证明≌，得，则点E在上，即可OE是的半径，且，证明CD是的切线； 作于点F，由AC、BD、CD分别与相切于点A、B、E，得，，由，证明四边形ABDF是矩形，则，求得，，则，所以，则的半径长为 此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定与性质、矩形的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解的关键． 25.【答案】解：二次函数的图象经过原点O， 设二次函数解析式为， 把、代入得， 解得， 函数的解析式为； 设直线OA的解析式为，把代入得：， 直线OA的解析式为； 设， ，， ，， ， 当时，即， 当时，则有， 解得，舍去，   【解析】由A、B的坐标利用待定系数法可求得直线OA和二次函数解析式； 用m可表示出P点坐标，则可表示出PC的长，由条件可得到，则可得到关于m的方程，可求得m的值，则可求得P点坐标． 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、一元二次方程等知识．在中注意待定系数法的应用，在中用m表示出PC的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 26.【答案】        SAS    【解析】证明：将绕点A顺时针旋转得到 ≌， ，，，， 正方形ABCD， ， ， ，B，E三点共线， 只需再证≌， 可得， ， ； 故答案为：，，，，SAS； 解：结论仍然成立，理由如下： ， 把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合，如图2， ， ，， ， ， ， ， ，点N、D、G共线， 在和中， ， ≌， ， ； 解： 理由是：如图3，把旋转到ABF的位置，连接DF， 则 ，， ， 又， ， 则在和中， ， ≌， ，， ， 是直角三角形， ， 故答案为： 将绕点A顺时针旋转得到，可使AB与AD重合，证出≌，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； 把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合，证出≌，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； 把旋转到ABF的位置，连接DF，证明≌，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可解决问题． 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$