第06讲 二倍角的三角函数（知识点+3大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第06讲 二倍角的三角函数 目录 题型归纳 1 题型01 二倍角的正弦公式 2 题型02 二倍角的余弦公式 3 题型03 二倍角的正切公式 4 分层练习 6 夯实基础 6 能力提升 9 知识点01二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝， sin2α＝ T2α tan 2α＝ 题型01二倍角的正弦公式 【例1】（20-21高一下·北京西城·期末）已知 ． (1)求的值； (2)求的值． 【变式1】（23-24高一上·云南·期末）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，，求的值. 题型02 二倍角的余弦公式 【例2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·吉林白城·期末）已知且，求的值. 【变式2】（23-24高一上·新疆和田·期末）求证： (1) (2) 【变式3】（22-23高一下·甘肃·期末）已知，． (1)求； (2)求． 题型03 二倍角的正切公式 【例3】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·北京石景山·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为．    (1)求的值； (2)求的值． 【变式2】（23-24高一上·黑龙江·期末）已知角α的终边过点，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【变式3】（23-24高一上·宁夏银川·期末）在△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求的值； (2)求的值． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·江苏连云港·期中）下列等式成立的有（   ） A． B． C． D．=1 三、填空题 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）若，则 . 四、解答题 5．（20-21高一下·云南文山·期中）求值：（1）； （2）. 6．（21-22高一上·云南文山·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值． 7．（22-23高一上·安徽芜湖·期末）已知，为锐角，，. (1)求的值； (2)求的值. 8．（22-23高一下·贵州黔东南·阶段练习）已知角的终边经过点. (1)求，，； (2)求，，. 9．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，，， (1)求的值 (2)求的值. 10．（23-24高一下·北京东城·期中）已知， . (1)求的值； (2)求的值. 11．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知， (1)求和值； (2)求的值. 12．（22-23高一下·北京·期中）已知. (1)分别求的值； (2)求的值； (3)求的值. 13．（22-23高一·全国·课堂例题）当时，求证：，，. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·吉林·期末）已知，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）的值为 . 四、解答题 5．（23-24高一下·北京东城·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 6．（24-25高一上·天津南开·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2). 7．（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知． (1)若的终边位于第三象限角，求的值； (2)求的值． 8．（22-23高一下·四川绵阳·期中）已知：. (1)化简； (2)若是第二象限角，且，求. 9．（23-24高一下·江苏常州·期中）已知为钝角，． (1)求的值； (2)若锐角满足，求的值． 10．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2). 11．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 12．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 13．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知是第四象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二倍角的三角函数 目录 题型归纳 1 题型01 二倍角的正弦公式 2 题型02 二倍角的余弦公式 5 题型03 二倍角的正切公式 7 分层练习 10 夯实基础 10 能力提升 19 知识点01二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝， sin2α＝ T2α tan 2α＝ 题型01二倍角的正弦公式 【例1】（20-21高一下·北京西城·期末）已知 ． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据两角和的正切公式求解即可； （2）根据二倍角的正弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）∵ ，∴. （2）. 【变式1】（23-24高一上·云南·期末）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及正弦的二倍角公式即可求解； （2）根据同角三角函数的基本关系及两角和的余弦公式即可求解． 【详解】（1）由，， 则， 所以． （2）由（1）知， 又，，则， 又，则， 所以 【变式2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）利用两角差的正切公式展开计算可得； （2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】（1）因为，即， 解得； （2）因为， 所以. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，，求的值. 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】首先根据角的变换求，再根据同角三角函数基本关系式求，再利用，利用二倍角公式化简用表示，代入后即可求解. 【详解】∵且， ∴，， ∴， 根据，，得. . 原式 题型02 二倍角的余弦公式 【例2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】首先根据两角和的正弦公式展开，再利用辅助角公式，求得，进而求得，根据，得出答案. 【详解】由，得，所， 由二倍角公式得， 又， 所以， 所以. 故选：B 【变式1】（24-25高一上·吉林白城·期末）已知且，求的值. 【答案】，， 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的余弦公式 【分析】根据给定条件，由同角公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】由，且，得， 又，则，而， 所以， 【变式2】（23-24高一上·新疆和田·期末）求证： (1) (2) 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）分式的分子和分母同时乘，即可得出结论； （2）化简，然后分子分母同时除以，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下， . （2）由题意证明如下， 【变式3】（22-23高一下·甘肃·期末）已知，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）根据两角和的余弦公式运算求解； （2）根据两角差的余弦公式可得，再结合倍角公式运算求解. 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以 题型03 二倍角的正切公式 【例3】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正切公式 【分析】根据条件可得，利用正切的倍角公式可得结果. 【详解】∵，∴， ∴. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·北京石景山·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为．    (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正切公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）由任意角三角函数定义结合题意可得答案. （2）由题结合二倍角正切公式可得答案. 【详解】（1）由题结合任意角三角函数定义可得： ； （2）由题可得：， 则. 【变式2】（23-24高一上·黑龙江·期末）已知角α的终边过点，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、二倍角的正切公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）首先根据三角函数的定义，求，再根据三角函数的定义求； （2）根据两角差的正切函数求，再根据二倍角的正切公式，即可求解. 【详解】（1）因为角α的终边过点，， 所以，解得， 则. （2）由，，解得， 所以 【变式3】（23-24高一上·宁夏银川·期末）在△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、二倍角的正切公式、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据三角形内角的取值范围，利用同角三角函数的平方式和商式，结合正切函数的二倍角公式，可得答案； （2）利用正切函数的二倍角公式以及差角公式，可得答案. 【详解】（1）因为，A为三角形内角， 所以A为锐角，可得，可得， 所以. （2）因为，所以， 所以 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的正切公式计算即可求得结论. 【详解】． 故选：C. 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式结合角的范围即可求解. 【详解】，， ，，， 故选：A. 二、多选题 3．（23-24高一下·江苏连云港·期中）下列等式成立的有（   ） A． B． C． D．=1 【答案】BD 【分析】利用二倍角的正弦公式可判断A选项；利用同角三角关系式和二倍角正弦公式可判断B选项；利用二倍角的余弦公式公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项. 【详解】对于A, A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确； 故选：BD 三、填空题 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）若，则 . 【答案】/ 【分析】令，结合诱导公式代入，利用三角公式变形计算即可. 【详解】令，则， 所以 . 故答案为：. 四、解答题 5．（20-21高一下·云南文山·期中）求值：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式即可求解；（2）利用二倍角的正切公式即可求解. 【详解】（1）； （2）. 6．（21-22高一上·云南文山·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据平方关系求出，再根据二倍角的正弦公式即可得解； （2）根据二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）因为，，所以， 所以； （2）. 7．（22-23高一上·安徽芜湖·期末）已知，为锐角，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】（1）因为为锐角，，所以， 则； （2）由于，为锐角，则， 又，所以 . 8．（22-23高一下·贵州黔东南·阶段练习）已知角的终边经过点. (1)求，，； (2)求，，. 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解，，的值； （2）由（1）中值结合二倍角公式与商数关系，即可求得，，的值. 【详解】（1）因为角的终边经过点， 所以，； （2）由（1）可得， ，则. 9．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，，， (1)求的值 (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求，再代入两角和的正切公式，求； （2）根据（1）的结果，代入二倍角的正切公式，即可求解. 【详解】（1）在中， 由，，得， 所以， 又， 所以，. （2）所以 . 10．（23-24高一下·北京东城·期中）已知， . (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出，然后利用同角三角函数的关系可求得答案； （2）先利用二倍角公式求出，然后利用两角差的余弦公式化简计算即可. 【详解】（1）因为， ， 所以， 所以； （2）因为，， 所以， ， 所以 . 11．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知， (1)求和值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先由已知求出，即可由结合两角差的余弦公式求出，接着求出，进而结合正弦倍角公式即可求出. （2）先由（1）结合余弦倍角公式求出，再由结合两角和的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以由得， 所以， 所以， 所以. （2）由（1），，， 所以， 所以. 12．（22-23高一下·北京·期中）已知. (1)分别求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)；；； (2)； (3). 【分析】（1）由解得，再利用同角基本关系即可求解； （2）利用倍角正余弦公式即可求解； （3）利用倍角正余弦公式求得因为，，再利用差角余弦公式即可求解. 【详解】（1），解得 则，即， 又因为，所以 因为，所以. 所以 （2）由（1）可得 （3）因为，， 所以. 13．（22-23高一·全国·课堂例题）当时，求证：，，. 【答案】证明见解析 【分析】根据二倍角公式、弦切互化及同角三角函数的商数关系可求得结果. 【详解】当时，利用二倍角公式及， 可得，① .② 将①②两式相除，可得. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高一下·山东临沂·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方关系以及二倍角的正弦公式即可求得结果. 【详解】将两边平方可得， 即，可得. 故选：C 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的二倍角公式依次判断． 【详解】选项A，，错误； 选项B，，正确； 选项C，，原式的值为1，错误； 选项D，，错误. 故选：B. 二、多选题 3．（24-25高一上·吉林·期末）已知，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二倍角的正切公式及两角和的正切公式进行求值判断. 【详解】，， 由，解得或（舍去），故A正确； 由，又，则解得，故B正确； 由，且， 即，故C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）的值为 . 【答案】/ 【分析】利用二倍角公式、诱导公式化简可得出所求代数式的值. 【详解】. 故答案为：. 四、解答题 5．（23-24高一下·北京东城·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，，再由两角差的正切公式计算可得； （2）利用二倍角公式和降幂公式将其化为一倍角，再代入计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，则， 所以. （2） . 6．（24-25高一上·天津南开·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用余弦差角公式求出答案； (2)根据同角三角函数关系得到余弦和正切，化简得到，代入求值. 【详解】（1）因为，，所以，， ； （2）由(1)可知， 故. 7．（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知． (1)若的终边位于第三象限角，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用两角差的正切公式计算的值，再利用同角三角函数关系求得的值，最后求出的值； （2）利用二倍角的余弦、正弦公式，整理所求式子，并利用同角三角函数的商数关系化为用的表达形式，代入（1）中所求得的的值计算. 【详解】（1）， ∴，∴，∴， 又∵的终边位于第三象限角，∴，∴， ∴； （2） . 8．（22-23高一下·四川绵阳·期中）已知：. (1)化简； (2)若是第二象限角，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用倍角公式化简即可； （2）利用同角三角函数关系和两角和的余弦公式可得. 【详解】（1）. （2）因为是第二象限角，所以，且， 所以， 故 . 9．（23-24高一下·江苏常州·期中）已知为钝角，． (1)求的值； (2)若锐角满足，求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据二倍角的正切公式及两角差的正切公式得解； （2）先求出，再由二倍角的正切公式及两角和的正切公式求出， 根据角的范围求出角即可. 【详解】（1）， . （2）由可得， 由锐角知，， 所以， 所以， 由，则，又， 所以，又， 所以，又， 所以. 10．（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的余弦公式化简计算即可； （2）先求出，再利用正切的二倍角公式可求得答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以 ； （2）由（1）知，，， 所以， 所以. 11．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2)7 【分析】（1）直接利用三角函数的定义求出三角函数的值，由二倍角公式以及弦切互化即可求解 （2）利用正切的和差角公式，即可代入求解． 【详解】（1）已知,,故 所以， 故 （2）由得：． 12．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立，即可解得； （2）由（1）可得，由，代入计算可得. 【详解】（1）因为，由， 解得，. （2）由（1）知，，所以， 则. 13．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知是第四象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式以及二倍角公式求解即可； （2）先利用二倍角余弦公式求得,再利用两角差的余弦公式展开，将的值代入求解即可. 【详解】（1）∵，且是第四象限角， ∴， ∴； （2）∵， ∴ . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$