黄金卷03（辽宁专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷03 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B A B A B A C C 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11． 12．1 13．/0.16 14．7 15．或 三、解答题：（本大题共8题，第16题10分，第17-21每题8分，第22题12分，第23题13分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．解：（1）原式；（5分） （2）解： ．（10分） 17．（1）解：设每个1元硬币的质量为，10个1元硬币的质量为， 由题意得， 解得， 答：每个1元硬币的质量为；（3分） （2）解：设存钱罐里有个1元硬币， 当时，由题意得， 解得， 当时，由题意得， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴， 答：存钱罐里大约有个1元硬币．（8分） 18．（1）15；88.5；98（3分） （2）解：款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但款评分数据的中位数为比款的中位数87高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）；（5分） （3）解：（人），（8分） 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有69人． 19．（1）解：由表格可知，销售单价每增加5元，则商品每天的销售量减少10件， ∴该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 即， ∴y与x之间的函数关系式为；（2分） （2）解：①根据题意，得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， ∴，， ∴每天的销售量件；（5分） ②根据题意，得， 化简得， 解得， ∴能使每天的销售利润为元，此时销售单价为元．（8分） 20．（1）解：如图，过点E作于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵ ， ， ∴， ∴． 在中，， ∴．（4分） （2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 易知， 在中， ， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（）． 答：的长度约为．（8分） 21．（1）证明：四边形是的内接四边形， ， 又， ， ， ， ， ；（4分） （2）解：如图，连接， ， ， 由（1）可知，， ， 是的直径， ， ， 在中，，， ， ， ．（8分） 22．（1）证明：选择小涵同学的解题思路： 作平分交于点F，如图， ， ． ， , 又， ， 平分， ， ． 又， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ； 选择小慧同学的解题思路： 延长至G，使，连接，如图， ， ． ， ， 又， ， , 为线段的垂直平分线， , ， ． 又， ， 在和中， ， , ， ．（4分） （2）证明：方法一：过A作交延长线于点M，如图， ， ， ， ， , 在和中， ， ， ， ． ， , 在和中， ， ， ， ． ， ， 即 ， ； （8分） （3）解：连接，过F作交的延长线于点M，如图， ，D为中点， ， ． 在中， ， 设， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， , 在和中， ， ， ， ， ， 3， ， ， ， ．（12分） 23．（1）解：当时，， ∴，     即点的双减差为3．（3分） （2）解：可得：， 令，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴时，取最小值， ∴， ∴或， ∵， ∴．（8分） （3）解：∵抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上， ∴顶点坐标为， ∴抛物线为， 令，对称轴是直线， ∵， ∴， 当时，即，不合题意舍去； 当，即， 此时当，取最小值5， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 当，即， 此时当，取最小值5， ∴， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，该抛物线的解析式为：．（13分） 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（    ） A． B． C． D． 2．几种气体的沸点（标准大气压）如下表：其中沸点最低的气体是（    ） 气体 氢气 氮气 氧气 氦气 沸点温度（℃） A．氢气 B．氮气 C．氧气 D．氦气 3．今年，国庆节假期，辽宁文旅围绕“畅游山海，欢庆华诞”主题，整合优质资源，优化文旅服务．据统计，七天国庆假期全省共接待游客5597.6万人次，同比增长．将55976000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形的中心．若，则的长是（    ） A．1 B． C．2 D．3 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘（其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字）．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的字不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 7．我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，又是轴对称的是（    ） A．极氪 B．小鹏 C．理想 D．蔚来 8．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？若设有人，有辆车，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 9．已知：的顶点，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点交于点．②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点E．③画射线，交于点，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 12．如图，点，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 13．如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接交于点G．若，则 ． 14．一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为 ． 15．如图，点D是等边边上一动点，线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，连接并延长交与点E，若，，则的长是 ． 三、解答题：（本大题共8题，第16题10分，第17-21每题8分，第22题12分，第23题13分，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．(1)计算：； (2)化简：． 17．如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 18．近来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题，国内互联网公司也推出了自己的聊天机器人：百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”天机器人（以下简称B款）有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，89，87，88，86； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45％ B 88 87 c 40％ 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由； (3)在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 19．送科技下乡，实行乡村振兴，返乡创业的小红利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一定数量关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元/件） … … 销售数量y（件） … … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)销售期间，网络平台要求每件商品获利不得高于． ①要使该商品每天的销售利润为元，求每天的销售量； ②能使每天的销售利润为元吗？若能，求出销售单价？否则，请说明理由． 20．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 21．如图，在中，为的直径，点、为上一点（点、在直径同侧），点在 延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．【问题初探】： （1）数学活动课上，刘老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，垂足为E．求证：． ①如图2，小涵同学从，这个条件出发，给出如下解题思路：得出，作平分交于点F，将转化为与之间的数量关系． ②如图3，小慧同学从结论的角度出发给出如下的解题思路：延长至点G，使，连接， 将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】： （2）刘老师发现之前两名同学都运用了转化思想，证明一条线段是另一条线段的2倍，将长的线段平分或将短的线段倍长，从而转化为证明两条线段相等．为了帮助学生更好地感悟转化思想，刘老师提出了下面的问题，请你解答． 如图4，在中， ，D是边上一点，连接，过点B作于点E，在上截取，连接交于点G．求证：． 【学以致用】： （3）如图5，在中，，，D是中点，点E在线段上，连接，延长 至点F，使，连接，若．求的值． 23．定义：函数图象上的点的纵坐标与横坐标的差叫做点的“双减差”，图象上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象的“幸福值”如：抛物线上有点，则点的“双减差”为12；而抛物线上所有点的“双减差” ，即该抛物线的“幸福值”为 ．根据定义，解答下列问题： (1)已知函数图象上点的横坐标，求点的“双减差”的值； (2)若直线的“幸福值”为，求的值； (3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线，当 时，抛物线的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（辽宁专用） 黄金卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题 1．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确解答的关键，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：榫的俯视图如下： 故选：D． 2．几种气体的沸点（标准大气压）如下表：其中沸点最低的气体是（    ） 气体 氢气 氮气 氧气 氦气 沸点温度（℃） A．氢气 B．氮气 C．氧气 D．氦气 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较， 根据负数相比较，绝对值大的反而小，即可得出答案． 【详解】解：由， ∵， ∴， 所以沸点最低的气体是氦气． 故选：D． 3．今年，国庆节假期，辽宁文旅围绕“畅游山海，欢庆华诞”主题，整合优质资源，优化文旅服务．据统计，七天国庆假期全省共接待游客5597.6万人次，同比增长．将55976000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形的中心．若，则的长是（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，理解正多边形的边，圆心角的数量的特点是解题的关键． 根据正多边形的性质可得，，是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：正六边形，点为中心， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A ． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方，完全平方公式，同底数幂乘法和合并同类项，根据幂的乘方，完全平方公式，同底数幂乘法和合并同类项等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 6．北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘（其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字）．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的字不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法或画树状图求随机事件的概率，清晰地列出所有可能的情况，并准确找出满足条件的情况，是解题的关键； 首先明确靶盘的布局，然后找出所有可能的投掷结果，并确定其中两次射中卡片上的字不相同的结果数，最后计算概率． 【详解】解：设正方形靶盘被分为四个相等的正方形区域，分别标记为“春1”，“春2”，“福1”，“福2”． 春1 春2 福1 福2 春1 春1春1 春2春1 福1春1 福2春1 春2 春1春2 春2春2 福1春2 福2春2 福1 春1福1 春2福1 福1福1 福2福1 福2 春1福2 春2福2 福1福2 福2福2 两次射中卡片的总情况有16种，即每张卡片都有可能被射中两次，形成种组合． 射中“春”和“福”的组合有8种，即（春1，福1），（春1，福2），（春2，福1），（春2，福2），以及反向的（福1，春1），（福1，春2），（福2，春1），（福2，春2）．这8种情况满足条件． 因此，两次射中的卡片上的字不相同的概率为， 故选：A． 7．我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，又是轴对称的是（    ） A．极氪 B．小鹏 C．理想 D．蔚来 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 8．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？若设有人，有辆车，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确列出方程组是解题关键．设有人，有辆车，根据如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车可列方程，根据如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行可列方程，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程组为， 故选：A． 9．已知：的顶点，点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点交于点．②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点E．③画射线，交于点，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图，利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，接着证明得到，设交轴于，如图，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程求出即可得到点坐标． 【详解】解：由作法得平分，则， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 设交轴于，如图， ， ，， 设， ，， 在中，，解得， ，． 故选：C． 10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，设BN＝x，则FN＝2x，则AN＝4−x，由对称的性质得出DE＝EF，DA＝AF＝4，证明△ADE≌△AFE（SSS），得∠D＝∠AFE＝90°，由勾股定理求出x，由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M， ∵AB∥CD， ∴MN⊥CD， ∴∠FME＝90°， ∵tan∠ABF＝2， ∴＝2， 设BN＝x，则FN＝2x， ∴AN＝4﹣x， ∵点F是点D关于直线AE对称的点， ∴DE＝EF，DA＝AF＝4， ∵AE＝AE， ∴△ADE≌△AFE（SSS）， ∴∠D＝∠AFE＝90°， ∵AN2＋NF2＝AF2， ∴（4﹣x）2＋（2x）2＝42， ∴x1＝0（舍），x2＝， ∴AN＝4﹣x＝4﹣＝，MF＝4﹣2x＝4﹣＝， ∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°， ∴∠EFM＝∠FAN， ∴cos∠EFM＝cos∠FAN， ∴＝，即， ∴EF＝， ∴DE＝EF＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数以及对称的性质，熟练掌握对称的性质是解题的关键． 二、填空题 11．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解分式方程，根据新运算的法则，列出分式方程求解即可． 【详解】解：∵，方程， ∴， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴方程的解是， 故答案为：． 12．如图，点，，若将线段平移至的位置，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的知识、有理数的乘方、代数式求值，解决本题的关键是根据点、的横坐标与纵坐标的变化得到线段平移的方向和距离，根据平移的方向和距离得到、的值．点的纵坐标由变为，可知线段向上平移了个单位长度，所以可得，点的横坐标由变为，线段向右平移了个单位长度，所以可得，把和代入计算即可． 【详解】解：将线段平移至的位置， 点的纵坐标由变为， 线段向上平移了个单位长度， ， 点的横坐标由变为， 线段向右平移了个单位长度， ， ． 故答案为： ． 13．如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边于点F，连接交于点G．若，则 ． 【答案】/0.16 【分析】本题考查了基本作图，掌握三角形的面积公式和相似三角形的性质是关键． 由作图得平分垂直平分，再根据三角形面积公式求出和的面积关系，再根据相似三角形的性质求解． 【详解】解：设， 由作图得平分垂直平分， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 故答案为：． 14．一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为 ． 【答案】 【分析】先以的中点为原点建立平面直角坐标系，然后求解轮廓线、所在抛物线的解析式，再求解直线的解析式，最后求解抛物线与直线的交点的坐标即可． 【详解】解：如图，以的中点为原点，所在直线为x轴，垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， ∴，，，， 设轮廓线、所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入抛物线解析式，得： ， 解得：， ∴轮廓线、所在抛物线的解析式为：， ∵， ， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入直线的解析式，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 解方程组得：，， ∴， 此时点P到杯口的距离为， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，求一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 15．如图，点D是等边边上一动点，线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，连接并延长交与点E，若，，则的长是 ． 【答案】或 【分析】证明得，，证明得，作于点M，根据勾股定理求出，，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． 由旋转的性质得，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 如图，作于点M，    ∵， ∴， ∴，． 当点D靠近点C时，， ∴， ∴； 当点D靠近点A时，    ， ∴， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三线合一等知识，分类讨论是解答本题的关键． 三、解答题 16. (1)计算： (2)化简：． 【答案】(1)7；(2) ． 【分析】（1）直接利用绝对值性质，零指数幂的性质，负整数指数幂的性质，二次根式的性质，分别化简，再加减即得出答案；（2）先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．本题考查分式的混合运算，掌握通分和约分的技巧是解题关键． 【详解】解：（1）原式；       （2）解： ． 17．如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 【答案】(1)6 (2)存钱罐里大约有个1元硬币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用． （1）设每个1元硬币的质量为，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设存钱罐里有个1元硬币，根据题意列出不等式组，，据此求解即可． 【详解】（1）解：设每个1元硬币的质量为，10个1元硬币的质量为， 由题意得， 解得， 答：每个1元硬币的质量为； 故答案为：6； （2）解：设存钱罐里有个1元硬币， 当时，由题意得， 解得， 当时，由题意得， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴， 答：存钱罐里大约有个1元硬币． 18．近来，由于智能聊天机器人的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题，国内互联网公司也推出了自己的聊天机器人：百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”天机器人（以下简称B款）有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，89，87，88，86； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45％ B 88 87 c 40％ 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由； (3)在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】(1)15；88.5；98 (2)款聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析（答案不唯一） (3)69人 【分析】（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 即， 款的评分非常满意有（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， 中位数， 在款的评分数据中，98出现的次数最多， 众数； 故答案为：15，，98； （2）解：款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但款评分数据的中位数为比款的中位数87高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）； （3）解：（人）， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有69人． 【点睛】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． 19．送科技下乡，实行乡村振兴，返乡创业的小红利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一定数量关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元/件） … … 销售数量y（件） … … (1)求y与x之间的函数关系式； (2)销售期间，网络平台要求每件商品获利不得高于． ①要使该商品每天的销售利润为元，求每天的销售量； ②能使每天的销售利润为元吗？若能，求出销售单价？否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)①每天的销售量件；②能使每天的销售利润为元，此时销售单价为元 【分析】本题考查了求函数关系式以及一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系是解题的关键． （1）销售单价每增加5元，则商品每天的销售量减少10件，据此求出函数关系式； （2）①根据每件的利润乘以销售量等于利润元，列出方程并求解，再结合每件商品获利不得高于，可得符合题意的答案； ②根据每件的利润乘以销售量等于利润元，然后判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，销售单价每增加5元，则商品每天的销售量减少10件， ∴该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 即， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：①根据题意，得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， ∴，， ∴每天的销售量件； ②根据题意，得， 化简得， 解得， ∴能使每天的销售利润为元，此时销售单价为元． 20．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】(1)． (2)的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过点E作于点G．可得四边形为矩形，推出．根据题意得， ．结合，即可求解； （2）过点B分别作于点H，于点P．可推出四边形是矩形，得∴．在中，根据，，即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点E作于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在中，， ∴． （2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 易知， 在中， ， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（）． 答：的长度约为． 21．如图，在中，为的直径，点、为上一点（点、在直径同侧），点在 延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角的性质是解题关键． （1）利用圆内接四边形的性质，得出，再结合三角形外角的性质，即可证明结论； （2）连接，根据等边对等角的性质，得出，再根据直角所对的圆周角是直角，推出，然后解直角三角形，求出，即可得到的长． 【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， 由（1）可知，， ， 是的直径， ， ， 在中，，， ， ， ． 22．【问题初探】： （1）数学活动课上，刘老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，垂足为E．求证：． ①如图2，小涵同学从，这个条件出发，给出如下解题思路：得出，作平分交于点F，将转化为与之间的数量关系． ②如图3，小慧同学从结论的角度出发给出如下的解题思路：延长至点G，使，连接， 将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】： （2）刘老师发现之前两名同学都运用了转化思想，证明一条线段是另一条线段的2倍，将长的线段平分或将短的线段倍长，从而转化为证明两条线段相等．为了帮助学生更好地感悟转化思想，刘老师提出了下面的问题，请你解答． 如图4，在中， ，D是边上一点，连接，过点B作于点E，在上截取，连接交于点G．求证：． 【学以致用】： （3）如图5，在中，，，D是中点，点E在线段上，连接，延长 至点F，使，连接，若．求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）选择小涵同学的解题思路：作平分交于点F，利用等腰三角形的想着全等三角形的判定与性质解答即可；选择小慧同学的解题思路：延长至G，使，连接，利用等腰三角形的想着全等三角形的判定与性质解答即可； （2）方法一：过A作交延长线于点M，利用直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）连接，过F作交的延长线于点M，利用直角三角形的边角关系定理，表示出的三边，利用等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：选择小涵同学的解题思路： 作平分交于点F，如图， ， ． ， , 又， ， 平分， ， ． 又， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ； 选择小慧同学的解题思路： 延长至G，使，连接，如图， ， ． ， ， 又， ， , 为线段的垂直平分线， , ， ． 又， ， 在和中， ， , ， ． （2）证明：方法一：过A作交延长线于点M，如图， ， ， ， ， , 在和中， ， ， ， ． ， , 在和中， ， ， ， ． ， ， 即 ， ； （3）解：连接，过F作交的延长线于点M，如图， ，D为中点， ， ． 在中， ， 设， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， , 在和中， ， ， ， ， ， 3， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 23．定义：函数图象上的点的纵坐标与横坐标的差叫做点的“双减差”，图象上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象的“幸福值”如：抛物线上有点，则点的“双减差”为12；而抛物线上所有点的“双减差” ，即该抛物线的“幸福值”为 ．根据定义，解答下列问题： (1)已知函数图象上点的横坐标，求点的“双减差”的值； (2)若直线的“幸福值”为，求的值； (3)设抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线，当 时，抛物线的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式． 【答案】(1)3 (2)3 (3) 【分析】本题考查一次函数的性质，二次函数的性质，需要先理解题文给出的新定义“双减差”以及“幸福值”的概念，进而根据题意要求去求解问题，在求值时要注意取值范围的问题． （1）根据题目对于“双减差”的定义即可代数求解． （2）根据题目对于“幸福值”的定义即可求解． （3）此时根据给出的抛物线顶点在直线上的条件可得到顶点坐标，进而可根据“幸福值”的定义进行求解的值，此时需注意有取值范围，排除不符合题意的即可得到抛物线方程． 【详解】（1）解：当时，， ∴，     即点的双减差为3． （2）解：可得：， 令，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴时，取最小值， ∴， ∴或， ∵， ∴． （3）解：∵抛物线顶点的横坐标为，且该抛物线的顶点在直线上， ∴顶点坐标为， ∴抛物线为， 令，对称轴是直线， ∵， ∴， 当时，即，不合题意舍去； 当，即， 此时当，取最小值5， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 当，即， 此时当，取最小值5， ∴， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，该抛物线的解析式为：． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$