黄金卷03（陕西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（陕西专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C B D C B 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 9． 10．3 11． 12．/ 13．2 三、解答题：（本大题共13题，第14-20每题5分，第21题6分，第22-23每题7分，第24-25每题8分，第26题10分，共81分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 14． 【详解】解：原式 15． 【详解】解： ． 16． 【详解】解： ． 17． 【详解】解：如图，点E即为所求： 18． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 19． 【详解】解：设每秒钟垫球次，则垫球满分的标准是每分钟次， 根据题意，得：， 解得：， ∴（个）， 答：垫球满分的标准是每分钟个． 20． 【详解】（1）解：∵一张空餐桌共4个座位， ∴小西随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是， 故答案为： （2）列表如下： ① ② ③ ④ ① （②，①） （③，①） （④，①） ② （①，②） （③，②） （④，②） ③ （①，③） （②，③） （④，③） ④ （①，④） （②，④） （③，④） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中小西和小明两位同学坐在正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种， ∴小西和小明两位同学坐在正对面的概率为． 21． 【详解】解：过作于， 在中，， 设，， ，， ， ， ， 点与点关于对称， ， ， ， 解得， ， 答：无人机距离湖面的高度约为． 22． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ∵， ∴该山峰海拔约为：（米）， 答：该山峰海拔约为4250米． 23． 【详解】（1）解：由题意得：抽取的学生人数为（人），， ∴ 中位数为： 故答案为： （2）解：由题意知，抽取的学生人数为（人）， （分） 答：这m名学生的平均成绩为分； （3）解：（名）， 答：估计全校2000名学生中竞赛成绩优秀的学生有名． 24． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即，解得或（舍去）， ． 25． 【详解】（1）解： 点P的坐标为， 设抛物线满足的函数关系式为． ， ， ， 解得， 抛物线满足的函数关系式为． （2）解：在中，令，得， 解得（舍去），， ， ． ， ， ， 即墙的下沿到抛物线的水平距离BM的值为1米； 轴，，， ， ∴点C的纵坐标为． 在中，令，得， 解得（舍去），， ， ， 即墙的上沿到抛物线的水平距离CN的值为米． 26． 【详解】解：（1）证明：如图1，标记字母O， ∵在中，，， ∴四边形，四边形，四边形，四边形均为平行四边形， ，，，         ，， ．                   （2）①如图2，过点A作的平行线，与交于点D，连接，则四边形为矩形，延长与交于点G，延长与交于点H． 同理，四边形，四边形均为矩形，即，， ．               ，， 过点M作交于点N． ， ． ， ， ，．               ，， ．                 ②， ∴当时，S最大，最大值是，此时M为的中点（M与圆心O重合），即，， 为等腰直角三角形， ．                / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（陕西专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．的相反数是（    ） A． B． C．4 D．4 2．西安被誉为中国四大古都之一，具有悠久的历史和丰富的文化遗产．随着“文博热”，“汉服热”，“演艺热”的兴起，西安的旅游业再创辉煌，2024年“五一”期间全市接待游客达到1402.11万人次，1402万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若点在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 6．如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（　　）    A．3 B． C．2 D． 7．如图，正方形中，M为上一点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（     ） A．18 B． C． D． 8．已知抛物线（a、b、c为常数，且）的y与x的部分对应值如下表： x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；④若是抛物线上两点，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 9．比较大小： （填“”、“”、“”）． 10．如图，在正六边形内部以为边作正方形，连接．已知，则点H到的距离为 ． 11．如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于点C，连接，过点C作轴于点D，，则k的值为 ． 12．如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F  若， 则 13．如图，中，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为 ．      三、解答题：（本大题共13题，第14-20每题5分，第21题6分，第22-23每题7分，第24-25每题8分，第26题10分，共81分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 14．计算：． 15．计算：． 16．先化简． 17．如图，在四边形中，，，，请用尺规作图法，在四边形内求作一点E，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，在中，过点作直线，点、在直线上，且在点的两侧，连接、，，，．求证：． 19．某市中考体育测试中包含一分钟排球垫球项目，考试规则为：学生垫球一分钟，若垫球次数达到某一标准及以上，则记为满分．在一次班会中，小明得知以下信息：若每秒钟垫球若干次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次；若每秒钟垫球次数是原来的倍，则一分钟后垫球次数是满分标准的倍少个．求垫球满分的标准是每分钟多少个？ 20．如图是学校食堂一张餐桌的示意图，小西和小明一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌． (1)小西随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是 ； (2)若小西和小明两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求小西和小明两位同学坐在正对面的概率． ① ② ③ ④ ① （②，①） （③，①） （④，①） ② （①，②） （③，②） （④，②） ③ （①，③） （②，③） （④，③） ④ （①，④） （②，④） （③，④） 21．如图，一架无人机在湖面上空停留在点处，现要测量无人机的飞行高度，采取如下方案： 先站在的边沿点处，从点观测无人机，满足，记录仰角； （2）再从点观测湖面中无人机的倒影，并记录俯角． 已知：，湖面近似地看作水平面，不考虑折射现象，图中所有的点均在同一平面内，请你根据以上数据求出无人机距离湖面的高度．（结果精确到．参考数据：，，， 22．科学研究发现：海拔高度在米时，大气压是海拔高度的一次函数，当海拔高度为1000米时，大气压约为90千帕，海拔高度为2500米时，大气压约为75千帕；当海拔高度在米时，海拔每升高100米，气压下降约0.8千帕，设山的海拔高度为x米，相应的大气压为y千帕． (1)当时，求y与x之间的函数关系式； (2)小杨和伙伴登山游玩（山峰海拔小于5000米），在山顶测得大气压为60千帕，则该山峰海拔高度约为多少米？ 23．某校开展了以“保护个人信息，远离电信诈骗”为主题的知识竞赛，发现该校全体学生的竞赛成绩均不低于分（满分分），现从中随机抽取m名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩用x表示，共分成四组），并绘制了如下统计图表． 其中“”这组的数据为． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 组内平均分 A 8 B C a D b 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，______，这m名学生成绩的中位数是______； (2)求这m名学生的平均成绩； (3)若学生竞赛成绩达到分以上（含分）为优秀，请你估计全校名学生中竞赛成绩优秀的学生有多少名？ 24．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 25．某公园要建造一个圆形喷泉，如图1所示，在喷泉中心垂直于地面安装一个喷水设施，其顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，将某一水柱抽象成数学图形如图2所示，点O为喷泉中心，点A为喷头，点P为抛物线形水柱的最高点，点B为水柱的落地点，分别以所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知米，点P的坐标为． (1)求该抛物线形水柱满足的函数关系式； (2)为安全起见，工作人员计划在喷泉外围砌一堵高为米的墙（轴于点M），已知墙的外圆半径为4米（米），请你分别计算出墙的上、下沿到抛物线的水平距离的值． 26．问题探究 （1）如图1，在中，E，F，G，H分别是边，，，上的点（不与的顶点重合），连接，，当，时，求证：． 问题解决 （2）某设计师根据客户要求在一块圆形场地进行布景设置．如图2，设计师通过设计软件画出圆形场地，记作，主区域内接于，经过圆心O，M为上一点，，，垂足分别为E，F，要求．观赏区为与，已知．设，观赏区与的面积的和为． ①求S与x之间的函数关系式． ②当S最大时，求的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（陕西专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．的相反数是（    ） A． B． C．4 D．4 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2．西安被誉为中国四大古都之一，具有悠久的历史和丰富的文化遗产．随着“文博热”，“汉服热”，“演艺热”的兴起，西安的旅游业再创辉煌，2024年“五一”期间全市接待游客达到1402.11万人次，1402万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：1402万； 故选C． 3．如图，直线，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的定义以及性质，由平行线的性质得出，由角的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数之间的关系，一次函数的图象有四种情况：当，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；当，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；当时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；当时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小． 由一次函数的图象不经过第一象限可以得到其经过二三四象限或二四象限，由此即可求出的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第一象限， ， 解得：， 故选：C． 5．若点在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ①若点A、点B同在第二或第四象限， ∵， ∴， 此不等式无解； ②若点A在第二象限，且点B在第四象限， ∵， ∴， 解得：； ③由，可知点A在第四象限，且点B在第二象限这种情况不可能， 综上，的取值范围是， 故选：B． 6．如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（　　）    A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．如图，正方形中，M为上一点，，交的延长线于点E．若，，则的长为（     ） A．18 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，证明，列出比例式，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 8．已知抛物线（a、b、c为常数，且）的y与x的部分对应值如下表： x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；④若是抛物线上两点，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据图表信息，用待定系数法求得解析式，依据二次函数的性质逐一判断解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设抛物线解析式为，根据题意，得， 解得， 故解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， 故①正确． 根据纵坐标相同的两个点是对称点， ∴抛物线的对称轴是， 故②正确； ∵抛物线与x轴的两个交点为 ∴两个交点间的距离是4， 故③正确； 根据的性质，得距离对称轴越远，函数值越大， 又是抛物线上两点， 当在对称轴的右侧时，则．当在对称轴的左侧时，则． 故④错误． 故选B． 二、填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 9．比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查比较二次根式的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，在正六边形内部以为边作正方形，连接．已知，则点H到的距离为 ． 【答案】3 【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正多边形，掌握正六边形，正方形的性质，等腰直角三角形的性质是正确解答的关键．根据正六边形和正方形的性质得出，过点H作于Q，利用等腰直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 如图，过点H作于Q， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 即点H到的距离是3， ∴点H到的距离为3． 故答案为：3． 11．如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于点C，连接，过点C作轴于点D，，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由一次函数解析式可得点B坐标，根据，可得点D坐标，继而可得点C的坐标，即可求出k值． 【详解】解：在函数中，令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：． 12．如图， 在菱形纸片中， 点E在边上，将纸片沿折叠， 点B落在处，， 垂足为F  若， 则 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折，菱形的性质，得： ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点E作， 设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 13．如图，中，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为 ．      【答案】2 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出，则的最小值等于减去半径． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴点在以为直径的上， ∴当、、共线时最小， 在中，， ， ， ， ∴最小值为2． 故答案为：2．    三、解答题：（本大题共13题，第14-20每题5分，第21题6分，第22-23每题7分，第24-25每题8分，第26题10分，共81分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 14．计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、化为最简二次根式 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先化简二次根式，零次幂，负整数指数幂的含义，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解：原式 15．计算：． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，运用完全平方公式以及平方差公式的运算，然后合并即可解题． 【详解】解： ． 16．先化简． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算、完全平方公式分解因式、运用平方差公式进行运算 【分析】先计算括号里边的式子，通分化成同分母的分式相加，再计算除法运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查学生分式运算，以及完全平方公式、平方差公式的运用，解答此题的关键是把分式化到最简． 17．如图，在四边形中，，，，请用尺规作图法，在四边形内求作一点E，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图——角平分线和垂直平分线的作法，由，可得，因此线段的垂直平分线与的角平分线的交点即为点E． 【详解】解：如图，点E即为所求： 18．如图，在中，过点作直线，点、在直线上，且在点的两侧，连接、，，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据证明，得，所以． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 19．某市中考体育测试中包含一分钟排球垫球项目，考试规则为：学生垫球一分钟，若垫球次数达到某一标准及以上，则记为满分．在一次班会中，小明得知以下信息：若每秒钟垫球若干次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次；若每秒钟垫球次数是原来的倍，则一分钟后垫球次数是满分标准的倍少个．求垫球满分的标准是每分钟多少个？ 【答案】个 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设每秒钟垫球次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次，则垫球满分要求的每分钟的标准次数为次，列方程得，解方程求出的值，再求出代数式的值即得到问题的答案．正确理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每秒钟垫球次，则垫球满分的标准是每分钟次， 根据题意，得：， 解得：， ∴（个）， 答：垫球满分的标准是每分钟个． 20．如图是学校食堂一张餐桌的示意图，小西和小明一起去食堂吃饭，他们选了一张空餐桌． (1)小西随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是 ； (2)若小西和小明两位同学随机坐在①，②，③，④四个座位中，请用画树状图或列表的方法，求小西和小明两位同学坐在正对面的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】此题考查了概率公式、利用树状图或列表法求概率， （1）利用概率公式即可得到答案； （2）列表表示出所有等可能的情况，用小西和小明两位同学坐在正对面的结果数除以所有等可能情况数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一张空餐桌共4个座位， ∴小西随机选择一个座位坐下，他坐在③号座位上的概率是， 故答案为： （2）列表如下： ① ② ③ ④ ① （②，①） （③，①） （④，①） ② （①，②） （③，②） （④，②） ③ （①，③） （②，③） （④，③） ④ （①，④） （②，④） （③，④） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中小西和小明两位同学坐在正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种， ∴小西和小明两位同学坐在正对面的概率为． 21．如图，一架无人机在湖面上空停留在点处，现要测量无人机的飞行高度，采取如下方案： 先站在的边沿点处，从点观测无人机，满足，记录仰角； （2）再从点观测湖面中无人机的倒影，并记录俯角． 已知：，湖面近似地看作水平面，不考虑折射现象，图中所有的点均在同一平面内，请你根据以上数据求出无人机距离湖面的高度．（结果精确到．参考数据：，，， 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．过作于，设，，根据平行线的性质得到，求得，由点与点关于对称，得到，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：过作于， 在中，， 设，， ，， ， ， ， 点与点关于对称， ， ， ， 解得， ， 答：无人机距离湖面的高度约为． 22．科学研究发现：海拔高度在米时，大气压是海拔高度的一次函数，当海拔高度为1000米时，大气压约为90千帕，海拔高度为2500米时，大气压约为75千帕；当海拔高度在米时，海拔每升高100米，气压下降约0.8千帕，设山的海拔高度为x米，相应的大气压为y千帕． (1)当时，求y与x之间的函数关系式； (2)小杨和伙伴登山游玩（山峰海拔小于5000米），在山顶测得大气压为60千帕，则该山峰海拔高度约为多少米？ 【答案】(1) (2)该山峰海拔约为4250米 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求自变量的值或函数值、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查一次函数的实际应用及有理数的则运算的实际应用． （1）设y与x之间的函数关系式为，由海拔高度为1000米时，大气压约为90千帕，海拔高度为2500米时，大气压约为75千帕；代入函数关系式，求解即可； （2）将代入解析式求值，确定60千帕对应的海拔高度在3000米以上，从而发求出海拔高度.． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ∵， ∴该山峰海拔约为：（米）， 答：该山峰海拔约为4250米． 23．某校开展了以“保护个人信息，远离电信诈骗”为主题的知识竞赛，发现该校全体学生的竞赛成绩均不低于分（满分分），现从中随机抽取m名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩用x表示，共分成四组），并绘制了如下统计图表． 其中“”这组的数据为． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 组内平均分 A 8 B C a D b 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，______，这m名学生成绩的中位数是______； (2)求这m名学生的平均成绩； (3)若学生竞赛成绩达到分以上（含分）为优秀，请你估计全校名学生中竞赛成绩优秀的学生有多少名？ 【答案】(1) (2)分 (3)名 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求一组数据的平均数、求中位数 【分析】本题考查了中位数、平均数、用样本估计总体及扇形统计图等统计的相关知识点，旨在考查学生的数据处理能力． （1）求出总人数即可求解； （2）求出总人数即可求解； （3）计算除样本中竞赛成绩优秀的学生占比即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：抽取的学生人数为（人），， ∴ 中位数为： 故答案为： （2）解：由题意知，抽取的学生人数为（人）， （分） 答：这m名学生的平均成绩为分； （3）解：（名）， 答：估计全校2000名学生中竞赛成绩优秀的学生有名． 24．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即，解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． 25．某公园要建造一个圆形喷泉，如图1所示，在喷泉中心垂直于地面安装一个喷水设施，其顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，将某一水柱抽象成数学图形如图2所示，点O为喷泉中心，点A为喷头，点P为抛物线形水柱的最高点，点B为水柱的落地点，分别以所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知米，点P的坐标为． (1)求该抛物线形水柱满足的函数关系式； (2)为安全起见，工作人员计划在喷泉外围砌一堵高为米的墙（轴于点M），已知墙的外圆半径为4米（米），请你分别计算出墙的上、下沿到抛物线的水平距离的值． 【答案】(1) (2)的值为米；的值为1米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用： （1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，将点P的坐标代入即可求解； （2）求出抛物线与x轴的交点B的坐标，可求；根据可得点C的纵坐标为，代入二次函数解析式求出点C的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解： 点P的坐标为， 设抛物线满足的函数关系式为． ， ， ， 解得， 抛物线满足的函数关系式为． （2）解：在中，令，得， 解得（舍去），， ， ． ， ， ， 即墙的下沿到抛物线的水平距离BM的值为1米； 轴，，， ， ∴点C的纵坐标为． 在中，令，得， 解得（舍去），， ， ， 即墙的上沿到抛物线的水平距离CN的值为米． 26．问题探究 （1）如图1，在中，E，F，G，H分别是边，，，上的点（不与的顶点重合），连接，，当，时，求证：． 问题解决 （2）某设计师根据客户要求在一块圆形场地进行布景设置．如图2，设计师通过设计软件画出圆形场地，记作，主区域内接于，经过圆心O，M为上一点，，，垂足分别为E，F，要求．观赏区为与，已知．设，观赏区与的面积的和为． ①求S与x之间的函数关系式． ②当S最大时，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）， 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】（1）判断四边形，四边形，四边形，四边形均为平行四边形，即可证结论 （2）①类似（1）中作辅助线，得出面积关系，证明，可得，用x取表示面积S即可 利用二次函数性质，配成顶点式，求取最大值． 【详解】解：（1）证明：如图1，标记字母O， ∵在中，，， ∴四边形，四边形，四边形，四边形均为平行四边形， ，，，         ，， ．                   （2）①如图2，过点A作的平行线，与交于点D，连接，则四边形为矩形，延长与交于点G，延长与交于点H． 同理，四边形，四边形均为矩形，即，， ．               ，， 过点M作交于点N． ， ． ， ， ，．               ，， ．                 ②， ∴当时，S最大，最大值是，此时M为的中点（M与圆心O重合），即，， 为等腰直角三角形， ．                【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用，类比迁移作出合适的辅助线是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$