精品解析：福建省长乐第一中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷

长乐一中2023-2024学年第二学期高二第二次月考 数学试卷 考试范围：导数､选择性必修三至一轮复习函数性质 考试时间：2024-5-30 限时：120分钟；满分：150分 命题人：高二数学集备组 第I卷选择题部分（共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量的分布列为 0 2 4 则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ） A. 48种 B. 32种 C. 24种 D. 16种 6. 正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华•龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地时，场地有且只有1名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间.若，试以使得最大的值作为的估计值，则为（ ） A. 51 B. 52 C. 53 D. 54 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 各二项式系数的和为64 B. 各项系数的绝对值的和为729 C. 有理项有3项 D. 常数项是第4项 10. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最大值为 D. 没有最大值 11. 已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（ ） A. B. 过点的切线方程 C. 对，不等式恒成立 D. 若为函数的极值点，则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的系数为40，则实数__________. 13. 在上是增函数，则的取值范围是__________. 14. 某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则__________；__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为，阅读达标的女生与男生的人数比为． （1）完成下面的列联表： 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 女生 合计 （2）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？ （3）从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数. （1）若是的极大值点，求在处的切线方程； （2）求的单调区间； 17. 为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图. （1）求的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； （2）若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 18. 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中， （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率. （2）已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由. 附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 19. 定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为； （1）求实数的值； （2）对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长乐一中2023-2024学年第二学期高二第二次月考 数学试卷 考试范围：导数､选择性必修三至一轮复习函数性质 考试时间：2024-5-30 限时：120分钟；满分：150分 命题人：高二数学集备组 第I卷选择题部分（共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 又，所以，得到， 故选：A. 2. 一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次方程判别式以及两根的符号，结合韦达定理列不等式求出a的取值范围,再根据充分、必要条件的定义可得答案 【详解】设两个不等负实数根分别为， 则需满足， 解得，即， 所以是方程有两个不相等负根的充要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件， 故选：B. 3. 已知随机变量的分布列为 0 2 4 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出，再根据期望、方差公式求解即可. 【详解】由分布列性质知，， 解得，则， 则． 故选：B. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，又因为，所以， 所以， 故选：. 5. 某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ） A. 48种 B. 32种 C. 24种 D. 16种 【答案】B 【解析】 【分析】由排列组合以及分类分步计数原理即可得解. 【详解】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有种排法， 当老师从左到右排在第三位时，共有种排法，于是共有种排法. 故选：B. 6. 正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华•龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地时，场地有且只有1名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将其他四人分组为、、三种情况，求出甲去场地的所有安排，再求出场地有且只有1名志愿者的安排方法数，即可求概率. 【详解】其它四人分成三组，有种，再把三组安排到场地，有种， 其它四人分成两组，有种，再把两组安排到场地，有种， 其它四人分成两组，有种，再把两组安排到场地，有2种， 所以甲去场地时共有种安排方法， 场地有且只有1名志愿者，分成三组有种，分成两组有种，分成两组有0种， 所以甲去场地时，场地有且只有1名志愿者共有种安排方法， 所求概率为. 故选：C 7. 若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，设切点为，利用导数的几何意义求出过点P的切线方程，代入点P坐标，化简为，根据这个方程有三个不等根即可求解. 【详解】设切点为，过点P的切线方程为， 代入点P坐标可得， 化简为， 过点可以作三条直线与曲线相切，即这个方程有三个不等根. 令，求导得：. 令，解得：，所以在上递增； 令，解得：或， 所以在和上递减. 有极小值，有极大值 要使方程有三个不等根即可. 只需，即. 故选：D 8. 已知，则.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间.若，试以使得最大的值作为的估计值，则为（ ） A. 51 B. 52 C. 53 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又， 所以，则， 设， 则， 所以，所以. ， 所以，所以. 所以以使得最大的值作为的估计值，则为. 故选：B 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 各二项式系数的和为64 B. 各项系数的绝对值的和为729 C. 有理项有3项 D. 常数项是第4项 【答案】AB 【解析】 【分析】利用各二项系数和可判断A选项；根据二项式展开式的系数的绝对值和与二项式的展开式的系数和相等，可判断B选项；根据展开式的通项可判断C选项和D选项； 【详解】在的展开式中，各二项式系数的和为，故A正确； 各项系数的绝对值的和与的各项系数和相等， 令，可得各项系数的绝对值的和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得时，展开式的项为有理项， 所以有理项有4项，故C错误； 令，得，所以常数项是第5项，故D错误. 故选：AB. 10. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最大值为 D. 没有最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】将代入，根据二次函数的性质即可判断A；根据及基本不等式可判断B；，根据基本不等式可判断C；，，根据导数可判断D. 【详解】因为x，y为正实数，且，所以. 所以， 当时，的最小值为，故A正确； ， 当且仅当时等号成立，故B错误； ， 当且仅当时等号成立， 故，即的最大值为，故C正确； ， 而，设，其中， 故， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故当时，，所以的最大值为， 所以有最大值，故D错误. 故选：AC. 11. 已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（ ） A. B. 过点的切线方程 C. 对，不等式恒成立 D. 若为函数的极值点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件①结合导数的运算法则可设，再由条件②，求得，选项A，B易判断；对C，构造函数，利用导数证明即可；对D，利用导数判断极值点的范围，即可得证. 【详解】恒有， ， 可设（其中C为常数）， 又对任意的正数恒有， 对任意的正数恒有， ， ， ，即， 对于A，由上式可得，故A正确； 对于B，，设切点为，则切线斜率为， ，化简得，解， 所以点 就是切点，所以切线方程为，故B错误； 对于C，令，，则， 令，可得，，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以，对恒成立，故C正确； 对于D，设，， 在上单调递增，且，， 所以使在上单调递减，在上单调递增， 为函数的极小值点且满足，， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题属于导数的应用问题，难度较大.首先分析条件①，由导数的运算法则得，可设，再由条件②，代入运算求得，再根据导数知识可依次判断各个选项得解. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的展开式中的系数为40，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，分别求两个二项式中的系数，再合并列方程，求解即得. 【详解】因， 故其展开式中的系数为，解得. 故答案为：. 13. 在上是增函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，以及对数函数的性质，即可求解. 【详解】由复合函数的单调性可知，在单调递增，且， 所以，得. 故答案为： 14. 某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则__________；__________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】记玩家第次抽盲盒并抽中奖品为事件，则由全概率公式可得，利用构造法可求通项并得到. 【详解】记玩家第次抽盲盒并抽中奖品为事件， 依题意，，，，， ， 所以，所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，则， 故， 故答案为： ， . 【点睛】思路点睛：概率计算中马尔科夫链问题，关键在于利用全概率公式构建数列的递推关系，再结合数列中构造法即可求出概率的一般形式. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为促进全面阅读，建设书香校园，鼓励学生参加阅读活动，某校随机抽查了男、女生各200名，统计他们在暑假期间每天阅读时长，并把每天阅读时长超过1小时的记为“阅读达标”，时长不超过1小时的记为“阅读不达标”，阅读达标与阅读不达标的人数比为，阅读达标的女生与男生的人数比为． （1）完成下面的列联表： 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 女生 合计 （2）根据上述数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“阅读达标情况”与“性别”有关联？ （3）从阅读达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 80 120 200 女生 120 80 200 合计 200 200 400 （2）“阅读达标情况”与“性别”有关联 （3） X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）根据分析阅读达标与阅读不达标的人数，以及阅读达标的女生与男生的人数，进而可得列联表； （2）根据列联表计算，并与临界值对比分析，结合独立性检验分析说明； （3）由题意可知：X的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】 由题意可知：阅读达标与阅读不达标的人数分别为200，200， 阅读达标的女生与男生的人数比为， 据此可得列联表： 性别 阅读达标情况 合计 阅读达标 阅读不达标 男生 80 120 200 女生 120 80 200 合计 200 200 400 【小问2详解】 零假设： “阅读达标情况”与“性别”没有关联， 由（1）可得：， 依据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立， 所以“阅读达标情况”与“性别”有关联. 【小问3详解】 因为抽取5人中男、女生人数分别为， 由题意可知：X的可能取值为0，1，2，则有： ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为. 16. 已知函数. （1）若是的极大值点，求在处的切线方程； （2）求的单调区间； 【答案】（1） （2） 当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为和，递减区间为. 【解析】 【分析】（1）根据是的极大值点求出，再利用导数求切线斜率，即可求在处的切线方程； （2）求出，分三种情况讨论，分别判断导函数的符号，即可求出的单调区间； 【小问1详解】 根据题意，函数，其定义域为R， 令得， 经检验，符合题意， 则在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 根据题意，函数，其导数，分3种情况讨论： ①当时，，则在上为增函数； ②当时，若，解得或， 若，解得， 则的递增区间为和，递减区间为； ③，当时，若，解得或， 若，解得， 则的递增区间为和，递减区间为； 综上可得：当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为和，递减区间为. 17. 为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图. （1）求的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率； （2）若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； ②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列. 附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】（1）； （2）① ； ②的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可； （2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图性质可得：， 所以，由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有人， 获二等奖的有人，获三等奖的有人， 共有30人获奖，70人没有获奖， 从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为， 设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件， 则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等， 所以， 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为. 【小问2详解】 由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值， ， 则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布， ①因为，， 所以， 故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为． ②由，得， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为， 所以随机变量服从二项分布， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 18. 放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值. 2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8 其中， （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率. （2）已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题： （i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由. 附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 参考数据：，，. 【答案】（1）适宜，预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率 （2）（i）0.778； （ii）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由如下： ， ， ， 因为， 所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大. 【解析】 【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可； （2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况. 【小问1详解】 由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型. 令，先建立y关于t的线性回归方程. 由于， ， 该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为， 因此y关于年份数x的回归方程为 所以当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为 . 所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为. 【小问2详解】 设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”， 则，，， ，，. （i）由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为0.778. （ii）该航班飞往其他地区的可能性最大，理由略. 19. 定义：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率；已知函数，，曲线在点处的曲率为； （1）求实数的值； （2）对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）设方程在区间内的根为，…比较与的大小，并证明. 【答案】（1）； （2） （3） ，证明如下： 由已知方程可化为， 令，则， 因为，所以， 所以，所以在区间上单调递减， 故 ， ， 所以存在唯一，使得， 又， 则 ， 由单调递减可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据曲率的定义求解即可； （2）分及两种情况讨论，分别判断导数的符号即可； （3）令，利用导数分析可知，，由单调递减即可得出结论． 【小问1详解】 由已知， 所以，解得（舍去， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，则， 对任意的，即恒成立， 令，则，不等式恒成立， 当时，，原不等式化为， 令， 则， 所以在区间单调递增，所以， 所以， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $