上海市备战2025年中考数学模拟卷（1）

上海市备战2025年中考数学模拟卷（1） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．1．的相反数是（ ） A． B． C． D． 2．已知为非零向量，且，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（   ） A． B． C． D． 4．如图，AB是⊙O的弦，C是弦AB上一点，且BC：CA=2：1，连接OC并延长交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，则圆心O到弦AB的距离为（　　） A． B． C． D． 5．某校教师志愿者团队经常做公益活动，下表是对10名成员本学期参加公益活动情况进行的统计： 次数/次 10 8 7 4 人数 3 4 2 1 那么关于活动次数的统计数据描述正确的是（    ） A．中位数是8，平均数是8 B．中位数是8，众数是3 C．中位数是3，平均数是8 D．中位数是3，众数是8 6．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．因式分解： ． 8．方程的解为 ． 9．代数式有意义，则x的取值范围是 ． 10．据央视网报道，2022年1~4月份我国社会物流总额为98.9万亿元人民币，“98.9万亿”用科学记数法表示为 ． 11．如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则 °． 12．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”（如图1）这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体）轻松撬动．小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为的正方体和长度为的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，木棒和石头相切于点N，正方体横截面上的点E，点M，A，E，F在一条直线上．若木棒与水平面的夹角，切点N恰好为的中点，则石头的半径为 ．（结果保留根号） 13．从，，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，则抛物线开口向下的概率是 ． 14．若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为 ． 15．数轴上A、B两点所表示的数是和，点C是线段的中点，则点C所表示的数是 ． 16．已知矩形纸片的边，（如图），将它折叠后，点落在边的中点处，那么折痕的长为 ． 17．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 18．如果关于x的一元二次方程有实数根，那么实数m的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：. 20．解方程组： 21．食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队．接下来不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列，食堂目前开放了4个售餐窗口．（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队够餐，每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示．    (1)求a的值． (2)求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． (3)若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 22．在中，，，，点O是边上动点，以O为圆心，为半径的与边的另一交点为D，过点D作的垂线，交于点E，交于点F，连结． (1)如图1，当时， 求的半径长； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)若以A为圆心的与有公共点D、E，当恰好也过点B时，求的长． 23．已知：在梯形中，，点E在边上（点E不与点A、D重合），点F在边上，且． (1)求证：； (2)连接，与交于点G，如果，求证：四边形为等腰梯形． 24．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 25．如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，． (1)求：的值 (2)如图2，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，交圆于点，过点作于点．设，． ①求：关于的函数解析式及其定义域 ②延长交半圆于点，求当为何值时的值最大时，并求出最大值 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市备战2025年中考数学模拟卷（1） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．1．的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 求一个数的相反数就是在这个数前面添上一个负号即可． 【详解】解：的相反数是； 故选：B． 2．已知为非零向量，且，那么下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的相关定义，根据其运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：．∵为非零向量，且，∴，正确，故本选项不符合题意； ．∵为非零向量，且，∴，正确，故本选项不符合题意； ．∵为非零向量，且，∴，原说法错误，故本选项符合题意； ．∵为非零向量，且，∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：A.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意； B.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过在一、二、三象限；当时，y随x的增大而增大．故选项B不符合题意； C.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意； D.对于，当时，，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键． 4．如图，AB是⊙O的弦，C是弦AB上一点，且BC：CA=2：1，连接OC并延长交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，则圆心O到弦AB的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先延长DO交圆O于点E，连接AD，BE，BO，作OF⊥AB，即可求出CE，再证明，即可求出AC，BC，然后根据垂径定理求出BF，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】先延长DO交圆O于点E，连接AD，BE，BO，过点O作OF⊥AB，于点F， ∴EO=CO+CD=5cm， ∴CE=8cm． ∵∠ADC=∠CBE，∠ACD=∠BCE， ∴， ∴， 即AC·BC=CE·CD， 则2AC2=16， 解得， ∴， 则． ∵OF⊥AB， ∴． 在Rt△BOF中，BO=5cm， ∴（cm）． 故选：C． 【点睛】这是一道关于圆得综合问题，考查了相似三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，构造相似三角形求出线段的长是解题的关键． 5．某校教师志愿者团队经常做公益活动，下表是对10名成员本学期参加公益活动情况进行的统计： 次数/次 10 8 7 4 人数 3 4 2 1 那么关于活动次数的统计数据描述正确的是（    ） A．中位数是8，平均数是8 B．中位数是8，众数是3 C．中位数是3，平均数是8 D．中位数是3，众数是8 【答案】A 【分析】由表格可直接进行求解． 【详解】解：由表格得：次数为8的人数有4人，故众数为8，这组数据的中位数为，平均数为； 故选A． 【点睛】本题主要考查平均数、众数及中位数，熟练掌握平均数、众数与中位数的求法是解题的关键． 6．已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握对于反比例函数，当时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内随的增大而减小，当时，图象的两个分支在第二、四象限变化，且在每一个象限内随的增大而增大．首先根据得函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每一个象限内随的增大而减小，然后再根据点的横坐标得点在第三象限内，点在第一象限内，进而可判断，最后再根据得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每一个象限内随的增大而减小， ∵点 ∴点在第三象限内，点在第一象限内， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．因式分解： ． 【答案】x(y+1)(y－1) 【分析】提公因式与平方差公式的逆应用相结合解题． 【详解】解：先提取公因式，再用平方差公式的逆应用，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式与平方差公式的逆应用，是重要考点，难度较易，此类题第一步一般是提取公因式． 8．方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据两个数的积为零，则至少一个为零，即可求解． 【详解】解：∵， ∴或， 即或， 解得：或， 经检验，时，，故它不是原方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解无理方程，关键是通过乘方转化为有理方程，注意解无理方程要检验． 9．代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于0是解题的关键． 10．据央视网报道，2022年1~4月份我国社会物流总额为98.9万亿元人民币，“98.9万亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】9.89×1013 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：98.9万亿=98900000000000=9.89×1013． 故答案为：9.89×1013． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 11．如图，边长相等的正五边形和正六边形如图拼接在一起，则 °． 【答案】24 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角和正六边形的内角，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【详解】解：由题意可得，正五边形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， ∵， ∴． 故答案为：24． 12．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动地球．”（如图1）这句话形容杠杆的作用之大：只要有合适的工具和一个合适的支点（或像地球一样重的物体）轻松撬动．小亮看到广场上有一块球形的大石头，他想知道这块球形石头的半径为多少，他找来一块棱长为的正方体和长度为的木棒，模仿阿基米德撬动地球的方法，如图2，木棒和石头相切于点N，正方体横截面上的点E，点M，A，E，F在一条直线上．若木棒与水平面的夹角，切点N恰好为的中点，则石头的半径为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】（1）根据切线的性质得到，即可得，再根据正方形的性质得到，过点N作于点G，过点N作于点H，证明四边形为矩形，即可得到，设圆的半径为，再根据，解直角三角形，列方程，即可解答． 【详解】解：切于点M，切于点N， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 如图，过点N作于点G，过点N作于点H，   ， ， ∵点N为的中点， 是的中位线， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵， 是等腰直角三角形， ， 设石头的半径为，则， ， ， 解得， ∴石头的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，设计圆的切线的性质及应用，勾股定理，作出正确的辅助线是解题的关键． 13．从，，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，则抛物线开口向下的概率是 ． 【答案】/0.4 【分析】使抛物线的开口向下的条件是，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得． 【详解】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线的开口向下的有，共2种结果， ∴使抛物线的开口向下的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式以及二次函数的性质，掌握概率公式和二次函数的性质是解题的关键． 14．若是关于的方程的两实数根，，则之间距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两点间距离公式，根的判别式，完全平方公式，二次函数的性质，利用根和系数的关系可得，，进而得到，再利用根的判别式可得，得到，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的两实数根， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴的最小值为，即之间距离的最小值为， 故答案为：． 15．数轴上A、B两点所表示的数是和，点C是线段的中点，则点C所表示的数是 ． 【答案】 【分析】利用数轴上两点间距离计算即可． 【详解】解：设点C所表示的数是x， 由题意得：， 解得：， 所以：点C所表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴以及二次根式的运算，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键． 16．已知矩形纸片的边，（如图），将它折叠后，点落在边的中点处，那么折痕的长为 ． 【答案】 【分析】通过作出折叠后的图形，作， 先证，得到 ，再求出，，，代入求解即可． 【详解】解：作出折叠后的图形，作，垂足为点M，连接PD． ∵矩形纸片，将它折叠后，点落在边的中点处，与点P重合 ∴, ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是矩形，，，点落在边的中点P处， ∴，，， 在中，， ∴则． 故答案：． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质，能找到相似三角形得到边与边的关系是解答此题的关键． 17．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 【答案】4500 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 18．如果关于x的一元二次方程有实数根，那么实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了根的判别式．根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出的范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：， 则的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：. 【答案】－8 【分析】根据绝对值的性质，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，特殊角的三角函数值，任何非零数的零次幂等于1进行计算即可得解； 【详解】原式=-1-8-2×+1 =-8- =-8 【点睛】本题考查实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．熟练掌握运算法则及特殊角的三角函数值是解题关键. 20．解方程组： 【答案】 【分析】先对x2-3xy+2y2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可． 【详解】将方程 的左边因式分解，得或． 原方程组可以化为或 解这两个方程组得       所以原方程组的解是   【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键． 21．食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队．接下来不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列，食堂目前开放了4个售餐窗口．（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队够餐，每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示．    (1)求a的值． (2)求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数． (3)若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？ 【答案】(1)4 (2)160人 (3)6 【分析】（1）根据题意，得a进入人数为，此时排队总人数为； 每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出，4个窗口共售出，余下人数为，建立等式解答即可． （2）设线段的解析式为，根据题意，得，解方程组，得到解析式，后计算当时的函数值即可． （3）设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出，x个窗口共售出，此时排队总人数为；故，解答即可． 本题考查了图象信息，待定系数法，不等式的应用，熟练掌握待定系数法，不等式的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得a进入人数为，此时排队总人数为； 每分钟一个窗口售出15份，a分钟售出，4个窗口共售出， 余下人数为， 根据图象信息，得， 解得， 故a的值为4． （2）设线段的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故线段的解析式为， 当时， ， 故开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数为160． （3）设需要开放x个窗口，根据题意，每分钟一个窗口售出15份，7分钟售出，x个窗口共售出，此时排队总人数为； 故， 解得， 由x必需是正整数， 故至少开放6个窗口． 22．在中，，，，点O是边上动点，以O为圆心，为半径的与边的另一交点为D，过点D作的垂线，交于点E，交于点F，连结． (1)如图1，当时， 求的半径长； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)若以A为圆心的与有公共点D、E，当恰好也过点B时，求的长． 【答案】(1)的半径长为； (2)； (3)的长为或． 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，利用相似求出，再在中，根据勾股定理求出半径； （2）作于M，利用相似表示出和，再根据勾股定理求出即可；当点D在点B处时，根据勾股定理求出半径即可讨论出x的取值范围； （3）若以A为圆心的与有公共点D、E，当恰好也过点B时，，把代关系式，求出x即可解答． 【详解】（1）解：如图1，连接， 设半径为r， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径长为； （2）解：如图2，作于M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 当点D在点B处时， 如图3，连接， 在中， ，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：当经过点B、点E时，， 把代入， 整理得 解得或， ∴的长为或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的应用及勾股定理的应用．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23．已知：在梯形中，，点E在边上（点E不与点A、D重合），点F在边上，且． (1)求证：； (2)连接，与交于点G，如果，求证：四边形为等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形判定及性质，等腰梯形判定等． （1）根据题意判定即可得到本题答案； （2）根据角的转换，证明两个底角即，继而得到本题答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意如下图： ∵， ∴， ∵，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∴， ∴， ∴四边形为等腰梯形． 24．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）过点作轴，垂足为点，根据等腰直角三角形的性质可求点，用待定系数法可求抛物线的表达式； （2）根据平行线的性质可得，可求点坐标，用待定系数法可求直线，直线，直线的解析式，即可求点坐标； （3）延长交轴于点，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得，，根据锐角三角函数可得，可得，根据面积关系可求的值，再求出的值，即可得证． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为点， 点， ，， ，， ， ， 点， 抛物线过原点、点、， 设抛物线的表达式为， ， 解得：，， 抛物的线表达式为：． （2）解：如图， ， ，且， ， ， 设点，且点在抛物线上， ， （舍去），， 点， 点，点，点， 直线解析式为，直线解析式为，， 设解析式为，且过点， ， ， 解析式为， ， 解得：， 点． （3）解：如图，延长交轴于点，作于点， ，， ， ，， 又，， ，， ， ， ， 点坐标， ， ， ， 的面积等于的面积的2倍， ， ， ， 直线解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 25．如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，． (1)求：的值 (2)如图2，连接，为线段上一点，过点作的平行线分别交，于点，，交圆于点，过点作于点．设，． ①求：关于的函数解析式及其定义域 ②延长交半圆于点，求当为何值时的值最大时，并求出最大值 【答案】(1) (2)①关于的函数表达式为；②当为时的值最大，最大值为 【分析】（1）连接，先求出的长，可得，，由此可求、的长，结合三角形面积公式即可求解； （2）①证明，可得，即可求解； ②如图，连接、，证明，可得，得到，然后用含的代数式表示出，最后根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵切半圆于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴的面积为； （2）∵为半圆的直径，，设，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵为线段上一点， ∴， ∴关于的函数表达式为； ②连接、， ∵圆周角、所对的弧是， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：， ∴当为时的值最大，最大值为． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，二次函数的最值，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 试卷第2页，共24页 试卷第1页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $$