2025年九年级中考数学选择题复习《方程与不等式之一元二次方程与分式方程》

中考数学第一轮复习 选择题练习 方程与不等式之一元二次方程与分式方程 单选题： 1．下列方程，属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣xy＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C． D．2（x+1）＝x 2．下列方程中，不是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 3．一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，﹣81，0 B．4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81 4．关于x的方程的根为x＝2，则a应取值（　　） A．1 B．3 C．﹣2 D．﹣3 5．若x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则a+b+c的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 6．根据下列表格对应值： x 1.7 1.8 1.9 ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03 判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　） A．x＜1.7 B．1.7＜x＜1.8 C．1.8＜x＜1.9 D．x＞1.9 7．用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　） A．y2+y﹣2＝0 B．y2﹣y+2＝0 C．y2+2y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0 8．将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘（　　） A．x﹣3 B．x C．3（x﹣3） D．x（x﹣3） 9．一元二次方程x2﹣4x＝0的解为（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝4 C．x1＝0，x2＝4 D．无解 10．关于x的方程2有增根，则k的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．2 11．方程x2+8x﹣9＝0配方结果正确的是（　　） A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x﹣4）2＝7 D．（x﹣4）2＝25 12．如果分式方程无解，则a的值为（　　） A．﹣4 B． C．2 D．﹣2 13．解这个方程x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0最简单的方法是（　　） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 14．探求多项式x2+2x﹣4的最小值时，我们可以这样处理： 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣4＝（x+1）2﹣5． ∵无论x取什么数，都有（x+1）2的值为非负数， ∴（x+1）2的最小值为0，此时x＝﹣1． ∴（x+1）2﹣5的最小值是0﹣5＝﹣5． 即当x＝﹣1时，原多项式有最小值﹣5． 根据上面的解题思路，多项式﹣3x2﹣12x+12的最值情况为（　　） A．有最小值22 B．有最小值24 C．有最大值22 D．有最大值24 15．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（　　） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 16．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 17．课堂上，同学们围绕一元二次方程2x2+▲x﹣5＝0的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（　　） A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 18．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B．a＜3 C．a＜﹣3且a≠﹣7 D．a＜3且a≠1 19．关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．则该方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣6 D．两根之和为1 20．关于x的方程无解，则k的值为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．无法确定 21．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．请问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可以列出关于x的方程是（　　） A．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 B．（x+4）2＝x2+（x﹣2）2 C．（x﹣4）2＝x2+（x+2）2 D．（x+4）2＝x2+（x+2）2 22．形如x2+8x＝33的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积33+4×22＝49，则该方程的正数解为7﹣2×2＝3．羊羊同学按此方法解关于x的方程x2+mx＝64（m＞0）时，构造出如图2所示面积为100的大正方形，则该方程的正数解为（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 23．如果关于x的分式方程有正整数解，且关于y的不等式组无解，那么符合条件的所有整数a的和是（　　） A．﹣16 B．﹣15 C．﹣6 D．﹣4 24．解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．x﹣2＝x﹣1 B．x﹣2（x﹣2）＝x﹣1 C．x﹣2（x﹣2）＝﹣x﹣1 D．x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1 25．已知m为方程x2﹣5x+3＝0的解，m也为方程x3+px2+q＝0（p，q为常数）的解，则p的值为（　　） A．﹣4 B． C． D． 26．下列方程中，没有实数解的是（　　） A．x2﹣3＝0 B． C．x2+y2＝0 D． 27．若x为任意实数，则代数式x2+4x+2的最小值是（　　） A．6 B．3 C．﹣1 D．﹣2 28．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤3 B．m≥3 C．m≤3且m≠﹣1 D．m≤2且m≠﹣1 29．若关于x的方程的解为负数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．9 B．7 C．5 D．10 30．已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，无论x取何值，A，B两点都不可能关于原点对称，则m的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 31．嘉淇准备完成题目：解方程0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（　　） A．x﹣1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x2﹣1 32．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ax2+bx+2029能取的最小值是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 33．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 34．2024年12月29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的2024上合昆明马拉松在美丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙多跑2公里．最终甲比乙早1小时到达．设乙的平均速度为每小时x公里，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 35．在解一道一元二次方程时，因印刷不清楚，小影在解题过程中仅看错了常数项，解得方程的两个根是6和1；小冬仅看错了一次项的系数，解得方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣6x﹣10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣7x+10＝0 36．下列关于方程的说法不正确的是（　　） A．各分式的最简公分母是（x+1）（x﹣1） B．去分母，得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6 C．解这个分式方程转化成的整式方程，得x＝1 D．原方程的解是x＝1 37．如图的矩形ABCD为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体．“弓”字形各部分的宽度均相同．已知AB的长为80米，AD的长为200米，空地面积是整个矩形ABCD区域面积的70%．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为x米，则x应满足的方程是（　　） A．（80﹣x）（200﹣4x）＝80×200×70% B．（80﹣x）（200﹣4x）＝80×200×（1﹣70%） C．（80﹣2x）（200﹣4x）＝80×200×70% D．（80﹣2x）（200﹣4x）＝80×200×（1﹣70%） 38．若实数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程2有整数解，则满足条件的整数m有（　　）个 A．5 B．4 C．3 D．2 39．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 40．已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（　　） A．1 B．3 C．4 D．6 41．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 42．若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．0 B．1 C．2 D．5 43．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（　　） A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 44．已知关于x的方程恰有一个实根，则满足条件的实数a的值的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 45．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（　　） A． B． C． D． 46．已知方程a，且关于x的不等式组只有4个整数解，那么b的取值范围是（　　） A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4 47．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（　　） A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 48．某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 49．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2． 其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 50．已知多项式M＝x2﹣3x﹣2，N＝x2﹣ax+3下列说法正确的个数为（　　） ①若M＝0，则代数式的值为； ②当a＝﹣3时，代数式M﹣N的最小值为﹣14； ③当a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则x的取值范围是． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$解析答案 单选题 1．下列方程，属于一元二次方程的是（ ） A．x2﹣xy＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C．�2 + 1� = 1 D．2（x+1）＝x 【解答】解：A．x2﹣xy＝1只含有 2个未知数，所以不是一元二次方程，故该选项不符 合题意； B．x2﹣2x+3＝0，含有一个未知数且最高次数为 2，所以是一元二次方程，故该选项符合 题意； C．�2 + 1� = 1为分式方程，故该选项不符合题意； D．2（x+1）＝x是一元一次方程，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程， 先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax2+bx+c＝0（a≠0）的 形式，则这个方程就为一元二次方程． 2．下列方程中，不是分式方程的是（ ） A． 3�+1 3 = 5�+3 6 B．� + 1� = 2 C．−5� = 17� D． 5�+3 � = 7 【解答】解：A中方程分母中不含未知数，它不是分式方程； B，C，D中方程符合分式方程的定义，它们是分式方程； 故选：A． 【点评】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A．4，﹣81，0 B．4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81 【解答】解：（2x+3）（2x﹣3）＝72， 整理，得 4x2﹣81＝0， 故方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数是 4、一次项系数是 0、常数项是﹣81， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且 a≠0） 特别要注意 a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2叫二 次项，bx叫一次项，c是常数项．其中 a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数 项． 4．关于 x的方程 2��+3 �−� = 5 4 的根为 x＝2，则 a应取值（ ） A．1 B．3 C．﹣2 D．﹣3 【解答】解：把 x＝2代入方程 2��+3 �−� = 5 4 得： 4�+3 �−2 = 5 4 ， 在方程两边同乘 4（a﹣2）得：4（4a+3）＝5（a﹣2）， 解得：a＝﹣2， 检验：当 a＝﹣2时，a﹣x≠0， 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是分式方程． 5．若 x＝1是方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根，则 a+b+c的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【解答】解：∵x＝1是方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根， ∴将 x＝1代入方程得：a+b+c＝0． 故选：C． 【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数 的值． 6．根据下列表格对应值： x 1.7 1.8 1.9 ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03 判断关于 x的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解 x的范围是（ ） A．x＜1.7 B．1.7＜x＜1.8 C．1.8＜x＜1.9 D．x＞1.9 【解答】解：∵当 x＝1.7时，ax2+bx+c＝﹣0.02＜0， 当 x＝1.8时，ax2+bx+c＝0.01＞0， ∴一个解 x的范围是 1.7＜x＜1.8． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程解的估算，解题的关键是根据表格中的数据，找出一 元二次方程一个解的范围． 7．用换元法解分式方程 2�−1 � + � 1−2� = 2 时，如果设 2�−1 � = �，并将原方程化为关于 y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A．y2+y﹣2＝0 B．y2﹣y+2＝0 C．y2+2y﹣1＝0 D．y2﹣2y﹣1＝0 【解答】解： 2�−1 � + � 1−2� = 2， 设 2�−1 � = �， 则原方程化为 y− 1� −2＝0， y2﹣2y﹣1＝0， 故选：D． 【点评】本题考查了用换元法解分式方程的应用，解此题的关键是能正确换元． 8．将分式方程 3 �−3 = 4 � 化为整式方程时，方程两边可以同时乘（ ） A．x﹣3 B．x C．3（x﹣3） D．x（x﹣3） 【解答】解：将分式方程 3 �−3 = 4 � 化为整式方程时，方程两边可以同时乘 x（x﹣3）． 故选：D． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转 化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 9．一元二次方程 x2﹣4x＝0的解为（ ） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝4 C．x1＝0，x2＝4 D．无解 【解答】解：x2﹣4x＝0， ∴x（x﹣4）＝0， ∴x＝0或 x﹣4＝0， ∴x1＝0，x2＝4． 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、 因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 10．关于 x的方程 �−1 �−3 =2+ ��−3有增根，则 k的值为（ ） A．±3 B．3 C．﹣3 D．2 【解答】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母 x﹣3＝0， 解得 x＝3， 方程两边都乘（x﹣3）， 得：x﹣1＝2（x﹣3）+k， 当 x＝3时，k＝2，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为 0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 11．方程 x2+8x﹣9＝0配方结果正确的是（ ） A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x﹣4）2＝7 D．（x﹣4）2＝25 【解答】解：x2+8x﹣9＝0， x2+8x＝9， x2+8x+16＝9+16， （x+4）2＝25， 故选：B． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤． 12．如果分式方程 � �−4 = 2 + � 4−� 无解，则 a的值为（ ） A．﹣4 B． 1 2 C．2 D．﹣2 【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a 解得：x＝a+8 根据题意得：a+8＝4 解得：a＝﹣4． 故选：A． 【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．分式方程无解，既要考 虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 13．解这个方程 x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0最简单的方法是（ ） A．公式法 B．因式分解法 C．配方法 D．直接开平方法 【解答】解：解这个方程 x（2x+3）﹣3（2x+3）＝0最简单的方法是因式分解法， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、 因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 14．探求多项式 x2+2x﹣4的最小值时，我们可以这样处理： 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣4＝（x+1）2﹣5． ∵无论 x取什么数，都有（x+1）2的值为非负数， ∴（x+1）2的最小值为 0，此时 x＝﹣1． ∴（x+1）2﹣5的最小值是 0﹣5＝﹣5． 即当 x＝﹣1时，原多项式有最小值﹣5． 根据上面的解题思路，多项式﹣3x2﹣12x+12的最值情况为（ ） A．有最小值 22 B．有最小值 24 C．有最大值 22 D．有最大值 24 【解答】解：﹣3x2﹣12x+12 ＝﹣3（x2+4x）+12 ＝﹣3（x2+4x+22﹣22）+12 ＝﹣3（x+2）2+3×4+12 ＝﹣3（x+2）2+12+12 ＝﹣3（x+2）2+24， ∵无论 x取什么数，都有（x+2）2的值为非负数， ∴（x+2）2的最小值为 0，此时 x＝﹣2， ∴﹣3（x+2）2有最大值为 0， ∴﹣3（x+2）2+24的最大值是 0+24＝24． ∴当 x＝﹣2时，原多项式的最大值是 24． 故选：D． 【点评】本题考查配方法及完全平方的非负性，解答本题的关键是明确题意，利用配方 法解答． 15．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程 度．如图，某路口的斑马线路段 A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中 AB＝BC＝12米，在 绿灯亮时，小敏共用 22 秒通过 AC路段，其中通过 BC路段的速度是通过 AB路段速度 的 1.2倍，则小敏通过 AB路段时的速度是（ ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 【解答】解：设小敏通过 AB路段时的速度是 x米/秒，则小敏通过 BC路段时的速度是 1.2x米/秒， 依题意得： 12 � + 12 1.2� =22， 解得：x＝1， 经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意， ∴小敏通过 AB路段时的速度是 1米/秒． 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 16．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一 份文件用慢马送到 800里外的城市，需要的时间比规定时间多 1天；如果用快马送，所 需的时间比规定时间少 3天．已知快马的速度是慢马的 2倍，求慢马的速度．若设慢马 的速度为 x里/天，则可列方程为（ ） A． 800 �+1 = 800 �−3 × 2 B． 800 � + 1 = 800 2� − 3 C． 800 �+1 × 2 = 800 �−3 D． 800 � − 1 = 800 2� + 3 【解答】解：设慢马的速度为 x里/天，则快马的速度为 2x里/天， 根据题意，得 800 � − 1 = 800 2� + 3． 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目 中的等量关系． 17．课堂上，同学们围绕一元二次方程 2x2+▲x﹣5＝0的根的情况展开讨论，其中一次项系 数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（ ） A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根 B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根 C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根 D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根 【解答】解：由条件可知：Δ＝▲2﹣4×2×（﹣5）＝▲2+40， ∵▲2≥0， ∴▲2+40＞0， ∴一定有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当 Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方 程没有实数根． 18．关于 x的分式方程 �−1 �2−4 − 2 �+2 = 0的解是负数，则 a的取值范围是（ ） A．a＜﹣3 B．a＜3 C．a＜﹣3且 a≠﹣7 D．a＜3且 a≠1 【解答】解： �−1 �2−4 − 2 �+2 = 0， 去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得：a﹣1﹣2（x﹣2）＝0， 解得：� = �+32 ， ∵该方程的解是负数， ∴ �+3 2 ＜0， 解得：a＜﹣3， ∵x＝±2是该方程的增根， ∴x＝2时， �+3 2 = 2，解得：a＝1， 当 x＝﹣2时， �+3 2 =− 2，解得：a＝﹣7， 综上所述：a的取值范围是：a＜﹣3且 a≠﹣7． 故选：C． 【点评】此题主要分式方程的解，解一元一次方程，理解分式方程的解，熟练掌握解一 元一次方程是解决问题的关键． 19．关于 x的一元二次方程 x2﹣（k+1）x﹣6＝0中，k＜0．则该方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为﹣6 D．两根之和为 1 【解答】解：∵Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（﹣6）＝（k+1）2+24＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故 A错误，该选项不符合题意； 设 x1、x2是一元二次方程 x2﹣（k+1）x﹣6＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝k+1，x1•x2＝﹣6， 故 C正确，该选项不符合题意；D错误，该选项不符合题意； ∴两根的符号相反， 故 B错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解答本题的关键要明确：若二次项 系数不为 1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时， x1+x2=− � �，x1x2= � �． 20．关于 x的方程 � �−3 = 2 − � 3−� 无解，则 k的值为（ ） A．±3 B．3 C．﹣3 D．无法确定 【解答】解：原方程移项得： � �−3 − � �−3 = 2， 去分母得：x﹣k＝2（x﹣3）， 合并同类项得：x＝6﹣k， ∵原方程无解， ∴x＝6﹣k，x﹣3＝0， 解得 k＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程是关键． 21．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，其中记载：今有户不知高、广，竿不知长、 短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有 门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出 4尺；竖放，竿比门高 长出 2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．请问门高、宽、对角线长分别是多少？若设 门对角线长为 x尺，则可以列出关于 x的方程是（ ） A．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 B．（x+4）2＝x2+（x﹣2）2 C．（x﹣4）2＝x2+（x+2）2 D．（x+4）2＝x2+（x+2）2 【解答】解：根据题意得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2， 故选：A． 【点评】本题考查有实际问题抽象出一元二次方程及勾股定理的应用，找准等量，正确 运用勾股定理，关系是解答本题的关键． 22．形如 x2+8x＝33的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图 1，先构造一个面积为 x2 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 2x的矩形，得到大正方形的面 积 33+4×22＝49，则该方程的正数解为 7﹣2×2＝3．羊羊同学按此方法解关于 x的方程 x2+mx＝64（m＞0）时，构造出如图 2 所示面积为 100 的大正方形，则该方程的正数解 为（ ） A．8 B．6 C．4 D．3 【解答】解：∵x2+mx＝64， ∴阴影部分的面积为 64， ∵大正方形的面积为 100， ∴四个小正方形的面积＝大正方形的面积﹣阴影部分的面积＝100﹣64＝36， ∴小正方形的边长为 36 4 =3， ∴大正方形的面积＝（x+2×3）2＝100， 即（x+6）2＝100， 解得：x1＝4，x2＝﹣16（不符合题意，舍去）， ∴x2+mx＝64（m＞0）的正数解为 4． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及正方形的性质等知识，借助数形结合的思 想得出方程（x+2×3）2＝100是解题的关键． 23．如果关于 x的分式方程 2+�� 3−� + 2 = 4 �−3 有正整数解，且关于 y的不等式组 3(� − 3)＞4� � ≥ � 无解，那么符合条件的所有整数 a的和是（ ） A．﹣16 B．﹣15 C．﹣6 D．﹣4 【解答】解：分式方程去分母得：2+ax﹣2x+6＝﹣4， 整理得：（a﹣2）x＝﹣12（a﹣2≠0）， 解得：x=− 12�−2， 由分式方程有正整数解，得到 a＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10， 当 a＝﹣2时，x＝3，原分式方程无解， 所以 a＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10， 不等式组整理得： �＜ − 9 � ≥ � ， 解得：a≤y＜﹣9， 由不等式组无解，即 a≥﹣9， ∴a＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4， 故选：D． 【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整 数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．解分式方程 � �−2 − 2 = �−1 2−� 时，去分母正确的是（ ） A．x﹣2＝x﹣1 B．x﹣2（x﹣2）＝x﹣1 C．x﹣2（x﹣2）＝﹣x﹣1 D．x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1 【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣2）去分母得：x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1， 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的解法，解题关键在于最简公分母的确定． 25．已知 m为方程 x2﹣5x+3＝0的解，m也为方程 x3+px2+q＝0（p，q为常数）的解，则 p 的值为（ ） A．﹣4 B．− 215 C．− 22 5 D．− 23 5 【解答】解：由题意可得：m2﹣5m+3＝0， ∴m2＝5m﹣3，m3+pm2+q＝0． 把 m2＝5m﹣3代入 m3+pm2+q＝0，得 m（5m﹣3）+p（5m﹣3）+q＝0， ∴5m2+（5p﹣3）m﹣3p+q＝0 ∴5（5m﹣3）+（5p﹣3）m﹣3p+q＝0， ∴（22+5p）m﹣15﹣3p+q＝0， ∵m为方程 x2﹣5x+3＝0的解，m也为方程 x3+px2+q＝0的解， ∴m是两个不相等的值， ∴对于（22+5p）m﹣15﹣3p+q＝0来说，22+5p＝0， ∴� =− 225， 故选：C． 【点评】本题主要考查一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键． 26．下列方程中，没有实数解的是（ ） A．x2﹣3＝0 B． �2 �−2 = 4 �−2 C．x2+y2＝0 D． � − 4 + 1 = 0 【解答】解：A．x2﹣3＝0，解得：� =± 3，故 A选项不正确，不符合题意； B． �2 �−2 = 4 �−2 方程两边同时乘以 x﹣2，得，x2＝4， 解得：x＝2或 x＝﹣2， 经检验，x＝2是原方程的增根，原方程的解为 x＝﹣2， 故 B选项不正确，不符合题意； C．x2+y2＝0，方程有实数解，故 C选项不正确，不符合题意； D． � − 4 + 1 = 0， ∴ � − 4 =− 1， 又∵ � − 4 ≥ 0， ∴原方程无实数解， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程——直接开平方，分式方程的解，无理方程，熟练 掌握相关概念是关键． 27．若 x为任意实数，则代数式 x2+4x+2的最小值是（ ） A．6 B．3 C．﹣1 D．﹣2 【解答】解：由题意得，x2+4x+2＝（x+2）2﹣2． 又∵对于任意实数 x，（x+2）2≥0， ∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥＝2． ∴x2+4x+2的最小值是﹣2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法进行变 形是关键． 28．已知关于 x的分式方程 � 2−� − 1 �−2 = 2的解是非负数，则 m的取值范围是（ ） A．m≤3 B．m≥3 C．m≤3且 m≠﹣1 D．m≤2且 m≠﹣1 【解答】解： � 2−� − 1 �−2 = 2， ﹣m﹣1＝2（x﹣2）， ﹣m﹣1＝2x﹣4， 2x＝4﹣1﹣m， 2x＝3﹣m， � = 3−�2 ， ∵关于 x的分式方程 � 2−� − 1 �−2 = 2的解是非负数， ∴ 3−� 2 ≥ 0且 3−� 2 ≠ 2， 3﹣m≥0且 3﹣m≠4， m≤3且 m≠﹣1， 故选：C． 【点评】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方 程和一元一次不等式的一般步骤． 29．若关于 x的方程 � �−1 + 1 = �+� �+1 的解为负数，且关于 x的不等式组 − 12 (� − �)＞0 � − 1 ≥ 2�+13 无解， 则所有满足条件的整数 a的值之和是（ ） A．9 B．7 C．5 D．10 【解答】解： � �−1 + 1 = �+� �+1 ， a（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝（x+a）（x﹣1）， ax+a+x2﹣1＝x2﹣x+ax﹣a， x2﹣x2+ax﹣ax+x＝1﹣a﹣a， x＝1﹣2a， ∵关于 x的方程 � �−1 + 1 = �+� �+1 的解为负数， ∴1﹣2a＜0且 1﹣2a≠±1， 解得：�＞ 12且 a≠1； − 12 (� − �)＞0① � − 1 ≥ 2�+13 ② ， 由①得：x＜a， 由②得：x≥4， ∵关于 x的不等式组 − 12 (� − �)＞0 � − 1 ≥ 2�+13 无解， ∴a≤4， ∴a的取值范围为： 1 2 ＜� ≤ 4且 a≠1， ∴所有满足条件的整数 a的值为：2或 3或 4， ∴所有满足条件的整数 a的值之和是：2+3+4＝9， 故选：A． 【点评】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次不等式（组），解题关键是熟练掌握 解分式方程和一元一次不等式（组）的一般步骤． 30．已知点 A，B在数轴上所对应的数分别为 � �−6 ， �+4 6−� ，无论 x取何值，A，B两点都不可 能关于原点对称，则 m的值为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【解答】解：由题意得： � �−6 + �+4 6−� ≠ 0， � �−6 − �+4 �−6 ≠ 0， �−�−4 �−6 ≠ 0， ∵x﹣6≠0， ∴x≠6， ∴m﹣x﹣4≠0， m﹣6﹣4≠0， ∴m≠10， ∴当 m＝10时，无论 x取何值，A，B两点都不可能关于原点对称． 故选：C． 【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验． 31．嘉淇准备完成题目：解方程 2 □ + 1 �+2 =0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现 标准答案是 x＝﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（ ） A．x﹣1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x2﹣1 【解答】解：设印刷不清的位置的式子为 a，即 2 � + 1 �+2 =0， 把 x＝﹣1代入得： 2 � +1＝0， 解得：a＝﹣2， 检验：把 a＝﹣2代入得：a≠0， ∴分式方程的解为 a＝﹣2，即 x﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2， 则推断印刷不清的位置可能是 x﹣1． 故选：A． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 32．新定义：关于 x的一元二次方程�1(� − �)2 + � = 0 与�2(� − �)2 + � = 0称为“同族 二次方程”如 2（x﹣3）2+4＝0与 3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于 x的 一元二次方程 2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么 代数式 ax2+bx+2029能取的最小值是（ ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【解答】解：由条件可知：（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1， ∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3， ∴ � − 4 =− 2(� + 2) 8 = � + 3 ， 解得： � = 5 � =− 10， ∴ax2+bx+2024＝5x2﹣10x+2029＝5（x﹣1）2+2024， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+2024≥2024， ∴当 x＝1时，ax2+bx+2029能取的最小值是 2024， 故选：D． 【点评】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题 的关键． 33．若关于 x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则 m的最小整 数值为（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：∵关于 x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＝4+4（m﹣1）＞0，且 m﹣1≠0， ∴m＞0且 m≠1， ∴m的最小整数值为 2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 34．2024年 12月 29日，主题为“跑出新高度，追梦彩云南”的 2024上合昆明马拉松在美 丽的滇池边鸣枪起跑．甲，乙两人参加约 40公里的比赛，两人同时出发，甲每小时比乙 多跑 2公里．最终甲比乙早 1小时到达．设乙的平均速度为每小时 x公里，根据题意可 列方程为（ ） A． 40 � = 40 �+2 + 1 B． 40 � = 40 �+2 − 1 C． 40 � = 40 �−2 − 1 D． 40 � = 40 �−2 + 1 【解答】解：设乙的平均速度为每小时 x公里，则甲的速度为每小时（x+2）公里， 则 40 � = 40 �+2 +1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据乙所用的时间＝甲所用的时 间+1，找出等量关系是解决问题的关键． 35．在解一道一元二次方程时，因印刷不清楚，小影在解题过程中仅看错了常数项，解得方 程的两个根是 6和 1；小冬仅看错了一次项的系数，解得方程的两个根是﹣2 和﹣5．则 原来的方程是（ ） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣6x﹣10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣7x+10＝0 【解答】解：不妨假设一元二次方程为 x2+bx+c＝0， 由题意 6 + 1 =− � −2 × ( − 5) = �， ∴b＝﹣7，c＝10， ∴一元二次方程为 x2﹣7x+10＝0． 故选：D． 【点评】本题考查根与系数关系，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，解题 的关键是掌握相关知识解决问题． 36．下列关于方程 2 �+1 + 3 �−1 = 6 �2−1 的说法不正确的是（ ） A．各分式的最简公分母是（x+1）（x﹣1） B．去分母，得整式方程 2（x﹣1）+3（x+1）＝6 C．解这个分式方程转化成的整式方程，得 x＝1 D．原方程的解是 x＝1 【解答】解：∵方程的最简公分母是（x+1）（x﹣1）， ∴A选项的说法不符合题意； ∵去分母，得整式方程为：2（x﹣1）+3（x+1）＝6， ∴B选项的说法不符合题意； ∵去分母，得整式方程为：2（x﹣1）+3（x+1）＝6， 去括号得：2x﹣2+3x+3＝6， 移项得：2x+3x＝6﹣3+2 合并同类项得：5x＝5， ∴x＝1， ∴C选项的说法不符合题意； ∵检验：当 x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0， ∴x＝1是原方程的增根， ∴原方程无解． ∴D选项的说法符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 37．如图的矩形 ABCD为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼 体．“弓”字形各部分的宽度均相同．已知 AB的长为 80米，AD的长为 200米，空地面 积是整个矩形 ABCD区域面积的 70%．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为 x米，则 x 应满足的方程是（ ） A．（80﹣x）（200﹣4x）＝80×200×70% B．（80﹣x）（200﹣4x）＝80×200×（1﹣70%） C．（80﹣2x）（200﹣4x）＝80×200×70% D．（80﹣2x）（200﹣4x）＝80×200×（1﹣70%） 【解答】解：根据等积法可知空白部分的面积为（80﹣x）（200﹣4x）， 由此可得：（80﹣x）（200﹣4x）＝80×200×70%； 故选：A． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意． 38．若实数 m使关于 x的不等式组 2−� 3 ≤ 2 + � �＜�3 有解且至多有 3个整数解，且使关于 x的分 式方程 ��−2 �−1 + 3 1−� =2有整数解，则满足条件的整数 m有（ ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解： 2−� 3 ≤ 2 + �① �＜�3② ， 解不等式①得：x≥﹣1， ∴﹣1≤x＜�3， ∵不等式组有解且至多 3个整数解， ∴﹣1＜�3 ≤2， ∴﹣3＜m≤6， 分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1）， ∴x= 3�−2， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， ∴ 3 �−2 ≠1， ∴m≠5， ∵方程有整数解， ∴m﹣2＝±1，±3， 解得：m＝3，1，5，﹣1， ∵m≠5，﹣3＜m≤6， ∴m＝3，1，﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，解答本题的关键是熟练掌握解 分式方程的方法． 39．关于 x的方程 x2﹣2mx+m2﹣4＝0 的两个根 x1，x2满足 x1＝2x2+3，且 x1＞x2，则 m的 值为（ ） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或 x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得 m＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得 x1＝m+2，x2＝m﹣ 2． 40．已知关于 x的分式方程 � �−3 + 2 3−� = 1 2 的解为正数，关于 y的不等式组 �−1 2 − 2＜ 7−2� 2 2� − 1 ≥ � − 2� ， 恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数 a的和是（ ） A．1 B．3 C．4 D．6 【解答】解：关于 x的分式方程解为 x＝2a﹣1， ∵x解为正数， ∴2a﹣1＞0， ∴a＞ 12， 关于 y的不等式组解为 �＜4 � ≥ �+14 ， ∵y恰有三个整数解， ∴0＜ �+14 ≤1， ∴﹣1＜a≤3， 分式方程中，x≠3， ∴2a﹣1≠3， ∴a≠2， 综上所述： 1 2 ＜a≤3， ∴满足条件的整数 a为：1、3， 则所有满足条件的整数 a的和是 4． 故选：C． 【点评】考查解分式方程和解一元一次不等式组，关键是把分式方程化整式方程，解不 等式组时分情况讨论解集． 41．关于 x的方程 x2﹣2mx+m2＝4的两个根 x1，x2满足 x1＝2x2+3，且 x1＞x2，则 m的值为 （ ） A．﹣3 B．1 C．3 D．9 【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4， ∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0， ∴x﹣m+2＝0或 x﹣m﹣2＝0， ∵x1＞x2， ∴x1＝m+2，x2＝m﹣2， ∵x1＝2x2+3， ∴m+2＝2（m﹣2）+3， 解得 m＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得 x1＝m+2，x2＝m﹣ 2． 42．若关于 x的不等式组 � − 3(� − 2)＞ − 2 �+� 2 ＜� 有解，关于 y的分式方程 ��−1 4−� + 3 �−4 =− 2有 整数解，则符合条件的所有整数 a的和为（ ） A．0 B．1 C．2 D．5 【解答】解： � − 3(� − 2)＞ − 2① �+� 2 ＜�② 解不等式①，得：x＜4， 解不等式②，得：x＞a， ∵这个不等式组有解， ∴a＜4． ��−1 4−� + 3 �−4 =−2， ay﹣1﹣3＝﹣2（4﹣y）， ay﹣4＝﹣8+2y， （a﹣2）y＝﹣4， y= 42−�． ∵避免出现增根， ∴4﹣y≠0， ∴y≠4， ∴ 4 2−� ≠4， ∴2﹣a≠1． 又∵要使 y为整数， ∴2﹣a只能取±4，±2，﹣1， ∵a＜4， ∴a只能等于﹣2，0，3， ∴﹣2+0+3＝1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解不等式组，解分式方程以及分式方程的整数解，需要注意的 是解分式方程的最后一步是检验，避免增根的出现． 43．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过 M作 DE⊥AM，分别交 AB、AC于 D，E 两点，设 BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于 x的方程 ax2+bx+c＝0（ ） A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM＝∠AEM，MD＝ME= 12DE= 1 2b， ∴∠BDM＝∠MEC＝90°+ 12∠BAC， ∴∠BMC＝90°+ 12∠BAC， ∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， ∴△DBM∽△EMC， ∴ �� �� = �� �� ， ∴BD•EC＝MD•ME， 即：ac= 14b 2， 即Δ＝b2﹣4ac＝0， 故选：A． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知 得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC是解题关键． 44．已知关于 x的方程 � �−2 + �−2 � = �−� �2−2� 恰有一个实根，则满足条件的实数 a的值的个数 为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：去分母，将原方程两边同乘 x（x﹣2），整理得 2x2﹣3x+（4﹣a）＝0．① 方程①的根的情况有两种： （1）方程①有两个相等的实数根，即Δ＝9﹣4×2（4﹣a）＝0． 解得 a= 238． 当 a= 238时，解方程 2x 2﹣3x+（4− 238）＝0，得 x1＝x2= 3 4． （2）方程①有两个不等的实数根，而其中一根使原方程分母为零，即方程①有一个根 为 0或 2． （i）当 x＝0时，代入①式得 4﹣a＝0，即 a＝4． 当 a＝4时，解方程 2x2﹣3x＝0，x（2x﹣3）＝0，x1＝0或 x2＝1.5． 而 x1＝0是增根，即这时方程①的另一个根是 x＝1.5．它不使分母为零，确是原方程的 唯一根． （ii）当 x＝2时，代入①式，得 2×4﹣2×3+（4﹣a）＝0，即 a＝6． 当 a＝6时，解方程 2x2﹣3x﹣2＝0，x1＝2，x2=− 1 2． x1是增根，故 x=− 1 2为方程的唯一实根； 因此，若原分式方程只有一个实数根时，所求的 a的值分别是 23 8 ，4，6共 3个． 故选：C． 【点评】本题考查了分式方程的解法及增根问题．由于原分式方程去分母后，得到一个 含有字母的一元二次方程，所以要分情况进行讨论．理解分式方程产生增根的原因及一 元二次方程解的情况从而正确进行分类是解题的关键，本题属于竞赛题型，有一定难度． 45．已知 x，y为实数，且满足 x2﹣xy+4y2＝4，记 u＝x2+xy+4y2的最大值为 M，最小值为 m， 则 M+m＝（ ） A． 40 3 B． 64 15 C． 136 15 D． 31 5 【解答】解：方法一：∵x2﹣xy+4y2＝4， ∴x2+4y2＝xy+4， ∴u＝x2+xy+4y2＝2xy+4， ∵5xy＝4xy+（x2+4y2﹣4）＝（x+2y）2﹣4≥﹣4，当且仅当 x＝﹣2y，即� =− 2 105 ，� = 10 5 ， 或� = 2 105 ，� =− 10 5 时等号成立． ∴xy的最小值为− 45，u＝x 2+xy+4y2＝2xy+4的最小值为 12 5 ，即� = 125 ． ∵3xy＝4xy﹣（x2+4y2﹣4）＝4﹣（x﹣2y）2≤4，当且仅当 x＝2y，即� = 2 63 ，� = 6 3 或� =− 2 63 ，� =− 6 3时等号成立． ∴xy的最大值为 4 3 ，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最大值为 20 3 ，即� = 203． ∴�+� = 203 + 12 5 = 136 15 ． 方法二：由 x2﹣xy+4y2＝4，得 x2+4y2＝xy+4，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4． 设 xy＝t，若 x＝0，则 u＝4；x≠0时，� = ��，将� = � �代入 x 2﹣xy+4y2＝4， 得�2 − � + 4� 2 �2 = 4，即 x 4﹣（t+4）x2+4t2＝0，…① 由△＝（t+4）2﹣16t2≥0，解得− 45 ≤ � ≤ 4 3． 将� = 43代入方程①，解得� 2 = 83，� =± 2 6 3 ；� =− 4 5代入方程①，解得� 2 = 85，� =± 2 10 5 ． ∴xy的最大值为 4 3 ，最小值为− 45． 因此，� = 83+ 4 = 20 3，� =− 8 5+ 4 = 12 5，�+� = 20 3 + 12 5 = 136 15 ， 故选：C． 方法三： 由题意得 �2 + �� + 4�2 = �① �2 − �� + 4�2 = 4② ， ①﹣②，得 2xy＝u﹣4， u＝2xy+4， 把②两边加 5xy，得（x+2y）2＝4+5xy⩾ 0， 解得：��⩾− 45， 把②两边减 3xy，得（x﹣2y）2＝4﹣3xy⩾ 0， 解得：xy≤ 43， ∴− 85 + 4⩽�⩽2 × 4 3 + 4， 12 5 ⩽�⩽ 20 3 ， 因此，� = 83+ 4 = 20 3， � =− 85 + 4 = 12 5 ， �+� = 203 + 12 5 = 136 15， 故选：C． 【点评】本题考查了代数式的最值问题，关键是将 u转化为 2xy+4，再确定 xy的范围． 46．已知方程 3−� �−4 −a= 14−�，且关于 x的不等式组 �＞� � ≤ � 只有 4个整数解，那么 b的取值范 围是（ ） A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4 【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a＝﹣1，即（a﹣4）（a+1）＝0， 解得：a＝4或 a＝﹣1， 经检验 a＝4是增根，故分式方程的解为 a＝﹣1， 已知不等式组解得：﹣1＜x≤b， ∵不等式组只有 4个整数解， ∴3≤b＜4． 故选：D． 【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本 题的关键． 47．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过 M作 DE⊥AM，分别交 AB、AC于 D，E 两点，设 BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于 x的方程 ax2+bx+c＝0（ ） A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM＝∠AEM，MD＝ME= 12DE= 1 2b， ∴∠BDM＝∠MEC＝90°+ 12∠BAC， ∴∠BMC＝90°+ 12∠BAC， ∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， ∴△DBM∽△EMC， ∴ �� �� = �� �� ， ∴BD•EC＝MD•ME， 即：ac= 14b 2， 即Δ＝b2﹣4ac＝0， 故选：A． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知 得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC是解题关键． 48．某学校篮球社团准备了 720元经费去商店采购 x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌 篮球，标价都为每个 y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满 688元， 送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费 正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余 48元．下面四个方程：① 720 �−2 × 0.7 = 720−48 � ； ② 720 �−2 = 720−48 � × 0.7；③ 720+2� � = 720−48 0.7� ；④ 720−2� 0.7� = 720−48 � ．正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【解答】解：设采购 x个篮球，可得方程为 720 �−2 ×0.7= 720−48� ； 设标价都为每个 y元，可得方程为 720+2� � = 720−48 0.7� ； 故选项 A符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出等量关系 列出方程． 49．对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若 a+b+c＝0，则 b2﹣4ac≥0； ②若方程 ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程 ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若 c是方程 ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有 ac+b+1＝0成立； ④若 x0是一元二次方程 ax2+bx+c＝0的根，则 b2﹣4ac＝（2ax0+b）2． 其中正确的（ ） A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 【解答】解：①若 a+b+c＝0，则 x＝1是方程 ax2+bx+c＝0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确； ②∵方程 ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝0﹣4ac＞0， ∴﹣4ac＞0， 则方程 ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程 ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程 ax2+bx+c＝0的一个根， 则 ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0， 若 c＝0，等式仍然成立， 但 ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确； ④若 x0是一元二次方程 ax2+bx+c＝0的根， 则由求根公式可得： x0= −�+ �2−4�� 2� 或 x0= −�− �2−4�� 2� ， ∴2ax0+b= �2 − 4��或 2ax0+b=− �2 − 4��， ∴�2 − 4�� = (2��0 + �)2． 故④正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系 并灵活运用，是解题的关键． 50．已知多项式 M＝x2﹣3x﹣2，N＝x2﹣ax+3下列说法正确的个数为（ ） ①若 M＝0，则代数式 13� �2−3�−1 的值为 26 3 ； ②当 a＝﹣3时，代数式 M﹣N的最小值为﹣14； ③当 a＝3时，若|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13，则 x的取值范围是− 73＜�＜2． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：①∵M＝0， ∴x2﹣3x﹣2＝0， 解得：x= 3+ 172 或 x= 3− 17 2 ， ∴13x= 39±13 172 ， ∵x2﹣3x﹣2＝0， ∴x2﹣3x﹣1＝1， ∴ 13� �2+3�−1 =13x= 39±13 172 ， 故①是错误的，不符合题意； ②当 a＝﹣3时， M﹣N＝（x2﹣3x﹣2）﹣（x2+3x+3） ＝﹣6x﹣5， ∴M﹣N没有最小值， 故②是错误的，不符合题意； ③当 a＝3时，N＝x2﹣3x+3， ∴M﹣2N+2＝x2﹣3x﹣2﹣2（x2﹣3x+3）+2＝﹣x2+3x﹣6＝﹣（x− 32） 2− 154， M﹣2N+15＝﹣x2+3x+7＝﹣（x− 32） 2+ 374， ∴|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|= 154 + 37 4 =13， ∴﹣15≤﹣x2+3x﹣8≤﹣2， 令 y＝﹣x2+3x﹣8＝﹣（x− 32） 2− 234， ∵﹣1＜0， ∴y有最大值− 234， ∵﹣15＜ − 234 ＜ −2， 当﹣x2+3x﹣8＝﹣15时， 解得 x1= 3− 37 2 ，x2= 3+ 37 2 ， ∴﹣x2+3x﹣8≥﹣15的解集为 3− 37 2 ≤x≤ 3− 372 ， 即当|M﹣2N+2|+|M﹣2N+15|＝13时，则 x的取值范围是 3− 37 2 ≤x≤ 3− 372 ． 故③错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了配方的应用和一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的 解法