精品解析：重庆市长寿区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

长寿区2024年秋期初中期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：6页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑，需要书写的地方一律用0.5mm签字笔书写． 4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请在答题卡上，将对应题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 学校运动场的围墙上雕刻着一幅幅精美的运动图案，下列四幅图案中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题关键是抓住轴对称图形是指将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式定义：形如的式子，A、B都是整式，且分母B中含有字母；根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； B、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意； C、分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； D、分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个偶数，则第三边的长不能为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】第三边应该大于两边的差而小于两边的和，因而可得第三边长x满足的关系式．根据第三边长是偶数，就可以判断第三边长的可能值． 【详解】第三边长x满足：5<x<11，并且第三边长是偶数， 因而满足条件的第三边可能为6，8，10. 故选：D. 【点睛】本题考查的是构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，单项式乘以单项式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法，积的乘方，单项式乘以单项式，逐项计算即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，与的边在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使，全等的依据是“ASA”，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键．由题意可得，，再根据全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， A、可得，使，全等依据是“”，符合题意，选项正确； B、不能证明， C、，使，全等的依据是“”，不符合题意，选项错误； D、，使，全等的依据是“”，不符合题意，选项错误． 故选：A． 6. 下列等式从左到右变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式分解成为几个因式相乘的形式，由此即可求解． 【详解】A、不是因式分解，故该选项错误； B、是因式分解，故该选项正确； C、不是因式分解，，故该选项错误； D、不是因式分解，故该选项错误； 故选：B． 7. 若把分式中的都扩大3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的3倍 D. 缩小为原来的6倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 【详解】解：把分式中的都扩大3倍， 即， ∴分式的值扩大为原来的3倍； 故选：A． 8. 如图，已知的面积为6，平分，且于点，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，证明全等三角形是解题的关键．根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，，推出． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 9. 如图，中，，把沿线段折叠，使点落在点处，若，，则的度数（结果用含的式子表示）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据折叠的性质可得，结合易得，再证明，然后由三角形内角和定理可得，进而计算的度数即可． 【详解】解：∵把沿线段折叠，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 已知，，下面关于的三个结论：①关于的方程的解是，②，③若式子的值为整数，则整数的取值是4或2．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，分式的值为整数的条件，理解题意是解本题的关键，先建立分式方程，解方程后可判断①，求解，再结合配方法可判断②，把化为，再结合分式的值可判断③． 【详解】解：∵，， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的根，故①不符合题意； ∵，， ∴ ，故②符合题意； ∵， ∵式子的值为整数，为整数， ∴或， ∴或或或；故③不符合题意； 综上所述，其中正确的有1个． 故选：B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上． 11. 算式的计算结果为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查零指数幂，根据任意非零数的零指数幂为1求解即可． 【详解】解：， 故答案：1． 12. 若式子有意义，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，理解并掌握分式有意义的条件是解题关键．根据分式有意义的条件，可得，求解即可获得答案． 【详解】解：若式子有意义， 则有 ，解得， 所以，的取值范围为． 故答案为：． 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 14. 如图，，此时点恰好在线段上，则的度数为_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，，，可得，求解，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，，再根据线段垂直平分线的性质可得：，推出，进而得到是含角的直角三角形，所以，推出，即可得解． 【详解】解：， ， ∴； ∵是的垂直平分线， ∴， ； 又， ； ， 是含角的直角三角形， ， ， ∴； 故答案为：3． 16. 已知关于的分式方程的解是非负整数，且存在边长为4，a，6的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 【答案】17 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用分式方程的解求参数，三角形三边关系，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出分式方程的解为，然后根据题意得到，且y为非负整数，且，求出，且，然后根据三角形三边关系得到，综合求出或5或9，进而求解即可． 【详解】 解得 ∵关于的分式方程的解是非负整数， ∴，且y为非负整数，且 ∴，且 ∵存在边长为4，a，6的三角形 ∴ ∴ ∴或5或9 ∴． ∴所有满足条件的整数的值之和为17． 故答案为：17． 17. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点G为直线上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】13 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形三线合一性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，，首先求出，然后由三线合一性质得到，然后结合求出，然后根据垂直平分线的性质得到，进而得到周长，得到当点A，G，D三点共线时，周长取得最小值13． 【详解】如图所示，连接， ∵，点为边的中点， ∴ ∵中，，点为边的中点 ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∵直线垂直平分线段， ∴ ∴周长 ∴当点A，G，D三点共线时，周长取得最小值13． 故答案为：13． 18. 如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，那么称这个四位数为“递增数”．例如：四位数2358，因为23+35=58，所以2358是“递增数”；又如：四位数3567，因为，所以3567不是“递增数”．若一个“递增数”为，则的值为_____；若一个“递增数”的的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被3整除，则满足条件的最小“递增数”是_____． 【答案】 ①. 7 ②. 1347 【解析】 【分析】本题主要考查新定义运算，整式的加减的运算，理解题目中“递增数”的定义是解题的关键． （1）根据“递增数”的定义和计算方法即可求解； （2）根据“递增数”的定义得到，然后表示出前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，可得为整数，运用代入检验的方法进行试根的方法即可求解． 【详解】解：根据“递增数”的定义可得，， 解得，； 根据题意得， ∴， ∴该“递增数”的前三个数字组成的三位数为：，后三个数字组成的三位数为：， 设前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差为w， ∴， ∴把①代入②得， ∵能被3整除，即为整数， ∴为整数， ∴或6或9 ∵求“递增数”数的最小数， ∴，， ∴代入①得， ∴，即 ∵， ∴ ∴ ∵c为正整数 ∴ ∴． ∴满足条件的最小“递增数”是1347． 故答案为：7，1347 ． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）分解因式：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）首先计算平方差公式和完全平方公式，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确的运用分式的混合运算法则化简成为解答本题的关键． 先将原式运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个合适的数作为x的值代入求解即可． 【详解】解：原式 要使原分式有意义，则且 符合题意的 当时，原式． 21. 如图，在中，的角平分线交于点D． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程． 证明：∵的角平分线交于点D， ∴______． ∵垂直平分， ∴，______，______， ∴， ∴， ∴______． ∴． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、全等三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图是解题的关键； （1）分别以点A、D为圆心，大于长为半径画弧，即可求解； （2）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定可进行求证． 【小问1详解】 解：所作图形如下： 【小问2详解】 证明：∵的角平分线交于点D， ∴， ∵垂直平分， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形． （2）将（1）中的向下平移6个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到，画出． （3）求三角形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）作出A、B、C关于y轴对称的的对应点、、，顺次连接即可； （2）将向下平移6个单位长度，再向右平移1个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 由图可得，三角形的面积 ． 23. 如图，是的平分线，，点在上，连接，过点作，垂足分别是，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据垂直的定义可得，然后根据定理可证，根据全等三角形的性质即可得． 【小问1详解】 证明：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24. 长寿米粉是长寿饮食文化的重要组成部分，深受长寿人民喜爱．2024年9月，一位长寿青年王某在重庆北站附近开设了一家特色米粉店，推广家乡美食．店内主打两款特色米粉：杂酱米粉和牛肉米粉，均以单份形式出售．已知1份杂酱米粉和2份牛肉米粉共60元，2份杂酱米粉和1份牛肉米粉共54元． （1）求每份“杂酱米粉”和“牛肉米粉”的价格分别为多少元？ （2）糊辣壳是该店的重要调料之一，受市场影响，2024年12月份糊辣壳的价格在11月份的基础上会上调，该店每月均用240元购买糊辣壳，这样12月份购买糊辣壳的数量比11月份购买糊辣壳的数量少1千克，求11月份每千克糊辣壳的购买价格为多少元？ 【答案】（1）每份“杂酱米粉”的价格为16元，每份“牛肉米粉”的价格为22元． （2）48元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和分式方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设每份“杂酱米粉”的价格为x元，每份“牛肉米粉”的价格为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设11月份每千克糊辣壳的购买价格为元，12月份每千克糊辣壳的购买价格为元，根据题意列出分式方程并求解即可． 【小问1详解】 解：设每份“杂酱米粉”的价格为x元，每份“牛肉米粉”的价格为y元 根据题意得： 解得： 答：每份“杂酱米粉”的价格为16元，每份“牛肉米粉”的价格为22元． 【小问2详解】 解：设11月份每千克糊辣壳的购买价格为元，12月份每千克糊辣壳的购买价格为元．根据题意得： 解得：． 经检验：是分式方程解，且符合题意 答：11月份每千克糊辣壳的购买价格为48元． 25. 【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点在线段上，过点作于点，过点作于点，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： （1）如图①，请证明； （2）如图②，在平面直角坐标系中，，，过点作，使，请求出点的坐标； （3）如图③，在平面直角坐标系中，，，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）由证明即可； （2）如图②，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，同（1）得，则，求出，，即可解答； （3）分三种情况，①当时，；②当时，；③当∠时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是等腰直角三角形，且， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图②，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F， 同（1）得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：第一象限内存在一点P，使等腰直角三角形，理由如下： 分以下三种情况： ①如图③，当时，，分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ②如图④，当时，，分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ③如图⑤，当∠时，，分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴． 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的平与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质、平行线的性质、分类讨论等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26. （1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点与交于，若，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，交于点，等边的边与相交于点．若，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． （2）延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图：证明，，可得，再进一步可得结论； （3）过作于，连接，证明，进而证明，可得，则，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）证明：是以、为腰的等腰三角形， ， ， ， 在和中， ， ∴ （2）证明：延长至，使，连接，如图： ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； （3）过作于，连接． 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长寿区2024年秋期初中期末质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：6页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑，需要书写的地方一律用0.5mm签字笔书写． 4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在以下的每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．请在答题卡上，将对应题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 学校运动场的围墙上雕刻着一幅幅精美的运动图案，下列四幅图案中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个三角形的两边长分别为3和8，第三边长是一个偶数，则第三边的长不能为（　　） A 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与的边在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使，全等的依据是“ASA”，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列等式从左到右变形，是因式分解的是（ ） A. B. C D. 7. 若把分式中的都扩大3倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 不变 C. 缩小为原来的3倍 D. 缩小为原来的6倍 8. 如图，已知的面积为6，平分，且于点，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，中，，把沿线段折叠，使点落在点处，若，，则的度数（结果用含的式子表示）为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，下面关于的三个结论：①关于的方程的解是，②，③若式子的值为整数，则整数的取值是4或2．其中正确的有（ ） A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上． 11. 算式的计算结果为_____． 12. 若式子有意义，则的取值范围为_____． 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 14. 如图，，此时点恰好在线段上，则的度数为_____． 15. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则___________． 16. 已知关于的分式方程的解是非负整数，且存在边长为4，a，6的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 17. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点G为直线上一动点，则周长的最小值为_____． 18. 如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，且满足，那么称这个四位数为“递增数”．例如：四位数2358，因为23+35=58，所以2358是“递增数”；又如：四位数3567，因为，所以3567不是“递增数”．若一个“递增数”为，则的值为_____；若一个“递增数”的的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差能被3整除，则满足条件的最小“递增数”是_____． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20-26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）分解因式：； （2）计算：． 20. 先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 21. 如图，在中，的角平分线交于点D． （1）用尺规完成以下基本作图：作垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程． 证明：∵的角平分线交于点D， ∴______． ∵垂直平分， ∴，______，______， ∴， ∴， ∴______． ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形． （2）将（1）中的向下平移6个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到，画出． （3）求三角形的面积． 23. 如图，是平分线，，点在上，连接，过点作，垂足分别是，． （1）求证：； （2）求的长． 24. 长寿米粉是长寿饮食文化的重要组成部分，深受长寿人民喜爱．2024年9月，一位长寿青年王某在重庆北站附近开设了一家特色米粉店，推广家乡美食．店内主打两款特色米粉：杂酱米粉和牛肉米粉，均以单份形式出售．已知1份杂酱米粉和2份牛肉米粉共60元，2份杂酱米粉和1份牛肉米粉共54元． （1）求每份“杂酱米粉”和“牛肉米粉”的价格分别为多少元？ （2）糊辣壳是该店的重要调料之一，受市场影响，2024年12月份糊辣壳的价格在11月份的基础上会上调，该店每月均用240元购买糊辣壳，这样12月份购买糊辣壳的数量比11月份购买糊辣壳的数量少1千克，求11月份每千克糊辣壳的购买价格为多少元？ 25. 【建立模型】如图①，等腰直角三角形的直角顶点在线段上，过点作于点，过点作于点，可以得到结论：． 【运用模型】请利用这一结论解决下列问题： （1）如图①，请证明； （2）如图②，在平面直角坐标系中，，，过点作，使，请求出点的坐标； （3）如图③，在平面直角坐标系中，，，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？请直接写出符合条件的点的坐标． 26. （1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：． （2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点与交于，若，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，交于点，等边的边与相交于点．若，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$